9.8. Задача Энгессера об устойчивости сжатого стержня

из нелинейно - упругого материала

В 1889 г. Ф. Энгессер (Германия) предложил расширить область при-

менения формулы Эйлера путём введения вместо упругого модуля Е пере-

менного касательного модуля Е_К :

(9.58)

Формула (9.58) носит название формулы Энгессера для касательно- модульной нагрузки. Ошибка Энгессера состояла в том, что он не учёл за пределом упругости различие законов нагрузки и разгрузки, потому полу-

чил формулу бифуркационной нагрузки для нелинейно - упругого тела. Свою ошибку он понял в 1895 году после критического замечания Ф. Ясин-

ского. При изгибе стержня под действием продольной силы Р возникает до-

полнительная деформация продольного волокна АВ на расстоянии

(рис. 9.24,б), равная:

Так как то имеем:

132

Согласно рис. 9.23,в в произвольной точке М диаграммы нелинейно- упругого тела догрузка и разгрузка происходят по одному и тому же закону:

(9.59)

Изгибающий момент М, возникающий в результате выпучивания стержня:

а) б) в)

Рис. 9.23

Подставляя вместо его выражение (9.59), находим:

С другой стороны, из условия равновесия отсечённой части стержня имеем:

Приравняв моменты, получаем:

Дифференцируя дважды, получаем:

или

133

(9.60)

где (9.61)

Уравнение (9.60) в точности совпадает с (9.27) для упругого стержня. Отличие задачи состоит лишь в том, что выражение (9.61) для k² иное, чем (9.26) в линейно-упругом случае.

Общее решение уравнения (9.60) имеет вид

(9.62)

Дальнейший ход решения конкретных задач ничем не отличается от задачи Эйлера. Из (9.55) находим формулу (9.58) Энгессера:

Для бифуркационного значения напряжения по Энгессеру имеем:

(9.63)

откуда

(9.64)

Задавая значение из (9.64), вычисляем гибкость и строим диаг-

рамму критических, а точнее бифуркационных значений напряжений

(рис. 9.24).

а) б)

Рис. 9.24

134