9.11. Устойчивость стержней как элементов конструкций.

Концепция Ильюшина – Зубчанинова

Стержни являются, как правило, элементами различных стержневых конструкций. На рис. 9.32 изображена простейшая статически неопредели-

мая система, в которую входит сжатый силой Р стержень. В докритичес-

ком состоянии (рис. 9.32,б) имеем известную зависимость:

(9.87)

где - сближение концов стержня, - прогиб балки.

а) б)

Рис. 9.32

В результате потери устойчивости при R = const произойдёт дополни-

тельное сближение концов стержня которое можно выразить че-

рез изменение сил путём дифференцирования (9.83):

(9.88)

где

разгружающая жёсткость конструкции.

Из (9.83) следует, что при потере устойчивости стержня т.е. передаваемая на стержень нагрузка Р уменьшится. Такая конструкция для рассматриваемого стержня называется разгружающей конструкцией.

Изменим конструкцию (рис. 9.33).

147

а) б)

Рис. 9.33

В докритическом состоянии имеем (рис. 9.33,а):

(9.89)

где прогиб балки связан со сближением концов стержня зависимостью (рис. 9.33,б):

(9.90)

Кроме того имеем очевидное соотношение:

(9.91)

Допустим, что произошла потеря устойчивости стержня при R = const, и он получил дополнительное сближение своих концов, а балка полу-

чила дополнительный прогиб (рис. 9.33,а). Дифференцируя (9.89) – (9.91), получим:

откуда следует:

148

где

Если k < 0, то dP > 0. Такая конструкция для данного стержня называется догружающей. Если k > 0, то вновь dP < 0, и мы имеем разгружающую систему.

На рис. 9.34,а приведена статически неопределимая стержневая конст-

рукция, нагруженная в узле А силой Q.

а) б) в)

Рис. 9.34

Наклонные стержни конструкции с длинами сжаты силами Р за пре-

делом упругости, а вертикальный стержень длины а растянут усилием N в пределах упругости. Уравнение равновесия узла А (рис. 9.34,б) имеет вид

(9.92)

В результате деформации конструкции узел А перемещается вниз на величину , равную удлинению вертикального стержня:

(9.93)

Из рис. 9.34,в следует соотношение между удлинением стержня и перемещением узла А конструкции:

(9.94)

Полученное соотношение представляет собой уравнение совместности деформаций и стержневой системы. Из рис. 9.34,в находим дру-

гое геометрическое соотношение:

(9.95)

149

Допустим, что при некотором критическом значении силы Q_кр произо-

шли потери устойчивости сжатых наклонных стержней в смысле Эйлера . В результате узел А^/ получил перемещение а у стержней АВ и АС концы сблизятся на расстояние . С учётом (9.92) – (9.95), получаем систему уравнений:

откуда после исключения находим:

(9.96)

Из (9.91) следует, что при малых при заданных Q, EF, жёстко-

сть k может быть меньше нуля, а dP > 0. В этом случае стержни при потере устойчивости догружаются. При достаточно больших можно получить k > 0, dP < 0. В этом случае стержни при потере устойчивости будут раз-

гружаться. Если k = 0,

то стержни потеряют устойчивость в соответствии с теорией приведённого модуля Кармана.

Таким образом, рассмотренная конструкция может быть как догружа-

ющей, так и разгружающей. Догружающее либо разгружающее действие конструкции на стержень оказывает существенное влияние на величину нагрузки бифуркации. Запишем первое уравнение (9.67) для границы раз-

дела зон у_р в развёрнутом виде:

(9.97)

Граница раздела зон у_р заключена в пределах:

Пусть (см. рис. 9.27, 9.28). В этом случае все сечения полно-

стью перейдут в упругое состояние.

150

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

Из (9.97) получаем:

(9.98)

Следовательно, этот случай реализуется в разгружающей системе. Жёсткость D, согласно (9.66), (9.67), (9.94), равна D = EJ. Решение уравне-

ния (9.71) приводит к эйлеровой нагрузке Р_Э (9.33).

Пусть теперь . В этом случае все сечения находятся в пластичес-

ком состоянии, так что

Из (9.97) следует:

(9.99)

Следовательно, этот случай реализуется в догружающих системах. Жёсткость D, согласно (9.68), (9.69), равна D = E_KJ. Решение уравнения (9.73) приводит к касательно- модульной нагрузке Энгессера – Шенли (9.48).

При dP = 0 имеем задачу Кармана, когда у_Р= -С, D= KJ. Бифуркацио-

нная нагрузка определяется приведенно-модульным значением (9.75). На рис. 9.35 приведены границы распределения пластических и упругих зон деформирования в продольном разрезе стержня. Таким образом, нагрузка бифуркации Р_* при работе стержня за пределом упругости в догружающих системах лежит в интервале

(9.100)

а при работе в разгружающих системах – в интервале:

(9.101)

где - нагрузка бифуркации для предельно жёсткой разгружающей сис-

темы (рис. 9.36).

После бифуркации примерная зависимость между сжимающей силой Р и прогибом изображена на рис. 9.36,а. Для интервала бифуркационных нагрузок (9.100) увеличение прогибов требует увеличения нагрузки Р в догружающих системах. Поэтому соответствующие этим нагрузкам точки бифуркации называются устойчивыми или докритическими. При нагруз-

ках бифуркации из интервала (9.96) увеличение прогибов происходит при

151

падающей нагрузке Р. Соответствующие точки бифуркации для изолиро-

ванного стержня называются неустойчивыми (послекритическими).

а)

б)

Рис. 9.35

152

а) б)

Рис. 9.36

Однако при работе этого же стержня в разгружающей системе увеличение прогибов требует увеличения внешней нагрузки Q (рис. 9.36,б). Благодаря поддерживающему влиянию конструкции, стержню не грозит опасность катастрофического выпучивания. Поэтому все нагрузки бифуркации из ин-

тервала оказываются устойчивыми, т.к. для них Это означает, что если удержать стержень от выпучивания при касательно- модульной нагрузке с помощью какой-либо временной поддерживающей связи (рис. 9.37,а) и нагрузить силой из интервала а затем снять временную связь, то стержень сохранит свое устойчивое состояние.-

а) б)

Рис. 9.37

Отмеченное исключительное свойство пластически сжатого стержня, работающего в разгружающей системе, может быть использовано для по-

вышения его устойчивости. Для этого следует применить систему време-

153

нных поддерживающих связей, от которых впоследствии можно освободи-ться. Вместо дополнительных поддерживающих связей можно применить

иной метод – метод упругопластической тренировки, предложенной

В.Г. Зубчаниновым. Согласно ему стержень подвергается сжатию до зада-

нной нагрузки Р>P_K в заводских условиях на специальном стенде с поддер-

живающими связями, а затем разгружается (рис. 9.37).

Элемент поступает на сборку конструкции. После тренировки зависи-

мость между критическим напряжением и гибкостью становится иной, что отражает эффект использования временных поддерживающих систем и на-

личие целого спектра нагрузок бифуркации, которые естественно зависят от достигнутого пластического состояния и жёсткости стержня в момент выпучивания (рис. 9.38).

Эффект увеличения критических нагрузок в разгружающих системах должен учитываться при расчёте составных элементов конструкций (слоистые стержни, плиты, подкреплённые рёбрами жёсткости и др.).

а) б)

Рис. 9.38

На рис. 9.39 приведены результаты расчёта, выполненные для случая, когда стержень изготовлен из дюраля. Кривые 1, 2, 3 на рис. 9.39 соответ-

ствуют теории касательного модуля, приведенно–модульной теории и теории Эйлера для упругого стержня. Кривая 4 соответствует разработа-

нной нами теории устойчивости разгружающих конструкций.

154

Рис. 9.39