9.2. Модельные задачи и методы исследования

устойчивости упругих систем

1. Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая по-

может выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении. Реакцию пружины представим соотношением :

(9.3)

где - горизонтальное перемещение верхнего конца стойки. Если переме-

104

щение мало, то нелинейными членами можно пренебречь и принять В противном случае задача принимает геометрически нелинейный характер.

Нагрузим стойку вертикальной силой Р. Если подействовать на жёст-

кий стержень поперечной малой возмущающей силой , то он отклонится на некоторый малый угол . Теперь снимем эту силу статически. Если стойка вернётся при заданном значении силы Р в исходное состояние, то она устойчива в смысле Эйлера, если не вернётся, то неустойчива. Пусть имеет место второй случай. Составим уравнение равновесия стойки:

(9.4)

где - реакция упругой пружины.

Из (9.4) следует уравнение

откуда либо (устойчивость), либо (неустойчивость). Пусть Тогда в нуль обратится круглая скобка, что позволяет найти крити-

ческую силу

(9.5)

Полученное значение силы при котором система впервые не возв-

ратилась к исходному состоянию, называется бифуркационной нагрузкой Эйлера. При этом значении силы происходит нарушение единственнос-

ти решения задачи , т.е. бифуркация или ветвление решения. Воп-

рос о том, как будет вести себя стойка при > = остаётся открытым.

2. Метод Лагранжа. В основу этого метода положено динамическое определение устойчивости состояния равновесия Лагранжа. Для отклонён-

ного состояния стойки, пользуясь принципом Даламбера, имеем

(рис. 9.10,б):

(9.6)

где - упругая реактивная сила, - сила инерции, - прогиб, - ускорение, m – масса груза на конце стойки.

105

а) б)

Рис. 9.10

Из (9.6) находим уравнение колебаний системы с сосредоточенной мас-

сой m:

(9.7)

Полагая , получим характеристическое уравнение:

(9.8)

где

(9.9)

Если Р< , то >0,

(9.10)

где - круговая частота колебаний, - начальная фаза, А – амплитуда колебаний. Движение носит периодический характер и потому устойчиво. Если учесть внешнее и внутреннее сопротивление системы, то решение будет иметь вид

,

где - параметр, определяющий сопротивление движений. Колебания с ростом времени t затухнут, и система вернётся в своё исходное состояние. Следовательно, исходное состояние равновесия устойчиво.

Если Р> , то k – действительное число. Решение принимает вид:

(9.11)

106

и носит апериодический, т.е. неустойчивый характер. При имеем . При происходит переход от устойчивого периодического движения стойки к неустойчивому апериодическому. Это происходит при критической силе

Таким образом, динамический метод Лагранжа приводит к тому же результату, что и метод Эйлера.

3. Метод Кармана (начальных несовершенств). Т. Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершен-

ствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не нахо-

дила поддержки. Применим метод Кармана к стойке на рис. 9.11а.

а) б) в)

Рис. 9.11

Стойка имеет отклонение от вертикали на некоторый угол и сжимается силой Р. При Р>0 стойка отклонится от вертикали на угол > . Уравне-

ние равновесия в некоторый момент процесса продольного нагружения стойки имеет вид

(9.12)

где Из (9.12) следует:

, (9.13)

107

Дифференцируя по или по Р соответственно, находим:

(9.14)

откуда при следует Согласно изложенной в 9.1 концепции значение силы является пределом устойчивости и совпадает с эйлеровой силой.

4. Энергетический метод С.П. Тимошенко. При отклонении системы на угол от положения равновесия (рис. 9.11в), верхний конец стержня опускается на величину . Сила Р совершает работу . Перемещение

где прогиб

Работа силы Р на перемещение принимает вид

Упругая внутренняя реактивная сила совершает работу, назы-

ваемую потенциальной энергией деформации:

Величина

носит название полной потенциальной энергии системы, связанной с поте-

рей устойчивости. Если П > 0 (Р < ), то энергии П достаточно для возв-

ращения стержня в исходное состояние, т.е. его состояние равновесия устойчиво. Если П < 0 (P > ), то энергии деформации недостаточно для возвращения стержня в исходное состояние равновесия, т.е. он находится в неустойчивом состоянии равновесия. Граничное значение энергии П = 0 является критерием для определения критической силы . Таким образом, энергетический метод приводит к критической нагрузке, равной нагрузке Эйлера для данной модели.

108

5. Метод Койтера исследования нелинейного послебифуркационного процесса выпучивания (нагружения). Пусть реакция в упругой пружине (рис. 9.13):

(9.15)

т.е. зависимость носит нелинейный характер.

а) б)

Рис. 9.13

Тогда уравнение равновесия (9.3) примет вид

(9.16)

откуда либо либо , и тогда равно нулю выражение в квадра-

тной скобке. Второе условие приводит к соотношению, которое позволяет установить зависимость между силой Р и перемещением в процессе наг-

ружения элемента:

(9.17)

Если > 0, то имеем кривые зависимости с симметричной бифурка-

цией (рис. 9.13,а). Предположим, что с развитием выпучивания и увеличе-

нием перемещения в пружине при >0 возникают пластические деформации. Тогда вместо (9.3) при имеем:

откуда

(9.18)

и с ростом нагрузка Р будет падать (рис. 9.13,а).

109

В реальных системах переход к пластической стадии деформирования осуществляется на графике от плавно с экстремальной предельной точкой.

Если < 0 , то согласно (9.17) имеем симметричную неусто-

йчивую бифуркацию, характерную для сжатых неупругих стержней и пла-

стины (рис. 9.13,б).

Пусть теперь

( >0).

Тогда, согласно (9.12), имеем:

откуда при получаем:

(9.19)

При >0, <0, <0 зависимость (9.19) имеет несимметричный вид (рис. 9.14,а). Прогибы после бифуркации растут при падающей нагруз-

ке. Такая точка бифуркации называется неустойчивой. Она характерна для упругих оболочек.

Если >0, >0, <0, то бифуркация будет также несимметричной (рис. 9.14,б).

а) б)

Рис. 9.14