9.4. Устойчивость сжатого стержня с шарнирно

закреплёнными краями

Л.Эйлер рассмотрел задачу с шарнирно опёртыми краями, т.е. с грани-

чными условиями:

при . (9.36)

Удовлетворяя решение (9.29) четырём условиям (9.36), получим систему четырёх уравнений относительно неизвестных постоянных

откуда получаем

114

Если , то Если , то и откуда следует где Следовательно

откуда эйлерова бифуркационная нагрузка:

(9.37)

Минимальная бифуркационная сила имеет место при , т.е. при из-

гибе стержня по одной полуволне:

(9.38)

При выпучивание возможно, если в точках смены знаков кривиз-

ны и прогибов установить дополнительные опоры (рис. 9.16) В этом слу-

чае .

Рис. 9.16

9.5. Устойчивость стержней с иными

видами закрепления

Рассмотрим задачи о продольном изгибе сжатых стержней с иными ви-

дами закрепления их краёв. На рис. 9.17 представлены различные случаи закрепления краёв стержня. Случаи а) и б) уже рассмотрены нами в 9.4. Обратимся к другим случаям на рис. 9.17:

а) Колонна с защемлённым нижним и свободным верхним краями

(рис. 9.17, в). Пусть при стержень жёстко защемлён, а при - свободен от закрепления.

Граничные условия имеют вид

при

при (9.39)

115

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.39) получим:

откуда находим

Это условие может быть выполнено если Мы получим

Рис. 9.17

В этом случае стержень остаётся в исходном прямолинейном состоя-

нии равновесия, т.е. устойчив. Если то это приводит к значени-

ям . Критическая сила с учётом равна:

.

Её наименьшее значение отвечает n = 0, т.е.

. (9.40)

116

Уравнение изогнутой оси стержня при найденных значениях постоянных :

Сравнивая (9.40) с (9.33) находим

Эту задачу можно решить несколько иначе, воспользовавшись реше-

нием (9.28) уравнения (9.26) второго порядка. Для рассматриваемой задачи где - прогиб незакреплённого края при Тогда, согласно (9.28), имеем:

Удовлетворяя это решение граничным условиям:

,

получаем

,

откуда следует: Это условие удовлетворяется, если положить

Тогда

Следовательно, оба решения приводят к одной критической силе Эй-

лера (9.40).

б) Стержень с шарнирно опёртым и жёстко защемлённым краями. В этом случае граничные условия имеют вид

(9.41)

Подстановка общего решения (9.29) в (9.41) приводит к системе урав-

нений:

откуда находим а также систему двух уравнений:

Приравнивая к нулю определитель этой системы, находим уравнение

откуда получаем его наименьший корень: (рис. 9.18).

117

Рис. 9.18

С учётом находим критическое значение силы Эйлера:

. (9.42)

Сравнивая (9.42) с (9.33), получаем . Уравнение изогнутой оси имеет вид:

в) Сжатый стержень с двумя жёстко защемлёнными краями

Граничные условия имеют вид:

. (9.43)

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.43), получим систему уравнений:

откуда находим: и систему двух уравнений:

118

Приравнивая к нулю определитель этой системы двух уравнений, по-

лучим соотношение:

, которое будет выполнено, если

либо .

Первое приводит к и критической силе Эйлера при n = 1:

(9.44)

Второе условие приводит к наименьшему значению и критической силе Эйлера:

большей, чем значение, которое даёт формула (9.44). Таким образом, на-

именьшей критической силой для жёстко защемлённого по обоим концам стержня является (9.44), для которой . Уравнение изогнутой оси в этом случае описывается уравнением:

г) Влияние упругого защемления на устойчивость сжатой колонны.

Рассмотрим сжатую стойку (колонну), нижний конец которой при z = 0 упруго защемлён (рис. 9.19). Мысленно рассечём узел и заменим упругую связь пружиной. Граничные условиями задачи будут:

Поскольку момент m заранее неизвестен, то следует дополнить условие совместности деформирования стержня и балки в узле при z = 0. Это до-

полнительное граничное условие имеет вид

,

где угол найден из решения задачи об изгибе балки с помощью форму-

лы Мора.

119

а) б)

Рис. 9.19

Удовлетворяя теперь решение (9.24) граничным условиям, находим:

Решая полученную систему уравнений, находим:

,

откуда следует:

.

Если стержень жёстко защемлён при z = 0, то

что с учётом

приводит к выражению критической силы Эйлера:

Пусть Тогда и наименьшее значение корня этого трансцендентного уравнения С учётом получаем выражение критической силы для упругозащемлённого стержня при частных соотношениях геометрических параметров:

120

что в 1,74 раза меньше критической нагрузки при жёстком защемлении. Таким образом, упругое защемление концов стержня снижает критическое значение сжимающей силы.