3.3. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ |
35 |
(x1; : : : ; xn) и (y1; : : : ; yn) в Rn. Таким образом, построенное отображение ' – изоморфизм евклидовых пространств X и Rn.
Это утверждение позволяет использовать геометрическую интуицию, развитую при решении геометрических задач на плоскости и в трехмерном пространстве, при изучении различных свойств объектов в конечномерных евклидовых пространствах. Разумеется, “переносимыми” являются только те результаты, которые формулируются в терминах линейной и евклидовой структур, т.е. в терминах линейных операций, скалярных произведений, норм векторов и углов между векторами и т.п.
3.3. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы
Выясним, какими свойствами обладает матрица перехода от одного ортонормиро-
ванного базиса в евклидовом пространстве к другому. Пусть X – евклидово простран-
ство, dim X = n, n 2 N, и пусть e = fe1; : : : ; eng и e0 = fe01; : : : ; e0ng – два ортонормированных базиса в X. Пусть S = ( jk) – матрица перехода от e к e0, т.е. e0 = eS. Так
как
n
X
e0k = jkej j=1
и так как базисы e и e0 ортогональны, то
n |
n |
n |
|
Xj |
X |
X |
(3.3) |
k;` = hek0 ; e`0 i = |
|
jk t`hej; eti = jk j`: |
|
=1 t=1 |
j=1 |
|
|
Исходя из правил умножения матриц, последнее соотношение в точности означает, что S>S = E, где E – единичная n n матрица, а A> обозначает матрицу, транспонированную к матрице A. Проверка этого факта оставляется в качестве упражнения.
Таким образом, матрица S перехода от одного ортонормированного базиса к другому обладает тем свойством, что S>S = E. Из этого вытекает, что S> = S 1 и, так как, SS 1 = S 1S = E, то SS> = E в рассматриваемом случае.
Определение. Вещественная n n-матрица A называется ортогональной, если она удовлетворяет соотношению A>A = E.
Предложение. Ортогональная матрица A невырождена, det A = 1 и AA> = E.
Доказательство. В самом деле, пусть матрица A ортогональна, т.е. A>A = E. Следовательно, так как det A> = det A, то (det A)2 = 1 и следовательно, матрица A невырождена и det A = 1. Отсюда вытекает, что существует обратная матрица, а из
свойства ортогональности вытекает, что A> = A 1. А так как AA 1 = A 1A = E, то
AA> = E.
Итак, если базисы e и e0 ортонормированы, то матрица перехода S от e к e0 является ортогональной. Верно и обратное утверждение: если базис e ортонормированный, а матрица S перехода от e к некоторому базису e0 ортогональна, то базис e0 также будет ортогональным. В самом деле, достаточно заметить, что если e – произвольный (не обязательно ортонормированный) базис в евклидовом пространстве X, то
G(e) = e>e: |
(3.4) |
Из формулы (3.4) немедленно вытекает, что если базис e – ортонормированный, а матрица S перехода от e к e0 ортогональна, то
G(e0) = e0>e0 = (eS)>(eS) = S>e>eS = S>G(e)S = S>ES = S>S = E;
т.е. базис e0 – ортонормированный. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3.12. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной матрицей. Любая ортогональная матрица является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к некоторому другому.
3.4. ЭРМИТОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
36 |
В завершении этого раздела отметим еще одно простое, но полезное свойство ортогональных матриц: если ортогональная матрица S = ( jk) является матрицей пе-
рехода от ортонормированного базиса e = fe1; : : : ; eng к ортонормированному базису e0 = fe01; : : : ; e0ng, то jk = hej; e0ki = cos jk, где jk – угол между векторами ej и e0k.
3.4. Эрмитовы пространства
Во многих теоретических и прикладных задачах, требующих использования методов линейной алгебры естественно возникают не вещественные, а комплексные линейные пространства. Соответственно, возникает необходимость рассматривать в таких пространствах и скалярные произведения. Однако заметим, что непосредственный перенос скалярного произведения со случая вещественных пространств на случай пространств комплексных оказывается невозможным.
В самом деле, пусть X – комплексное линейное пространство (т.е. линейное пространство над полем F = C комплексных чисел). Предположим, что в X задано евклидово скалярное произведение h ; iE. Тогда если x 2 X такой вектор, что hx; xiE > 0, то, в силу свойств евклидова скалярного произведения, hix; ixiE = hx; xiE < 0, что противоречит неотрицательности евклидова скалярного произведения.
Таким образом, для “обслуживания” комплексных пространств необходимо придумать какое-то другое скалярное произведение, более адекватное “комплексной природе” пространства X. Ясно, что какие-то из свойств евклидова скалярного произведения придется для этого ослабить. Оказывается, что достаточно несколько ослабить свойство коммутативности, согласно которому hx; yiE = hy; xiE для любых x; y 2 X.
Определение. Комплексное линейное пространство X является эрмитовым пространством, если для любых двух элементов x; y 2 X определено комплексное число hx; yi, которое называется эрмитовым скалярным произведением x и y такое, что
(1)hx; yi = hy; xi для любых элементов x; y 2 X, черта обозначает комплексное сопряжение;
(2)hx1 + x2; yi = hx1; yi + hx2; yi для любых элементов x1; x2; y 2 X;
(3)h x; yi = hx; yi для любого элемента x 2 X и 2 C;
(4)для любого x 2 X величина hx; xi – это некоторое неотрицательное вещественное число, которое обращается в нуль если и только если x = 0.
Замечание. Говорят, что задание эрмитова скалярного произведения hx; yi задает в (комплексном) линейном пространстве X структуру эрмитова пространства.
Эрмитово скалярное произведение обладает следующими свойствами:
(5)hx; yi = hx; yi для любого элемента x 2 X и 2 C;
(6)hx; y1 + y2i = hx; y1i + hx; y2i для любых элементов x; y1; y2 2 X; Проверка этих свойств оставляется в качестве простого упражнения.
Пример 3.13. Рассмотрим пространство Cn, элементами которого служат всевозможные упорядоченные наборы, состоящие из n комплексных чисел, n 2 N. Двум векторам z = (z1; : : : ; zn) 2 Cn и w = (w1; : : : ; wn) 2 Cn поставим в соответствие число
hz; wi = z1w1 + + znwn:
Легко проверить (проверка оставляется в качестве упражнения), что это выражение задает в Cn эрмитову структуру.
Аналогично, совокупность всех непрерывных комплекснозначных функций на некотором отрезке [a; b] числовой прямой со скалярным произведением, определенным по формуле
Z b
hf; gi = f(t)g(t) dt; f; g 2 C([a; b])
a
будет эрмитовым пространством.
3.4. ЭРМИТОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
37 |
Упражнение. Выяснить, какими свойствами должна обладать комплексная n n матрица A = (ajk), n 2 N, чтобы выражение
n
X
hz; wi = ajkzjwk
j;k=1
определяло скалярное произведение и чтобы множество Cn с этим скалярным произведением было эрмитовым пространством.
Неравенство Коши-Буняковского и норма в эрмитовом пространстве.
Пусть x и y – произвольные элементы эрмитова пространства X. Тогда
h x y; x yi 0
для любого 2 C. В силу свойств скалярного произведения получаем, что
h x y; x yi = hx; xi hx; yi hy; xi + hy; yi
и, следовательно, первое неравенство этого подраздела имеет вид
j j2hx; xi (x; yi hx; yi + hy; yi 0
Пусть теперь
hx; yi = jhx; yijei
и возьмем число = re i , где r 2 R. Тогда hx; yi = jhx; yij и для любого r 2 R будет выполнено неравенство
r2hx; xi 2rjhx; yij + hy; yi 0;
из которого, как и в случае обычного (вещественного) неравенства Коши-Буняковского вытекает, что
jhx; yij2 hx; xi hy; yi:
В случае эрмитовых пространств, как и в случае евклидовых пространств всякое эрмитово пространство будет нормированными, если норму ввести используя (эрмито-
p
во) скалярное произведение: kxk = hx; xi. При этом, в частности, будет справедливо неравенство треугольника.
Ортонормированный базис и его свойства. Заметим, что в случае комплексного евклидова пространства понятие угла между элементами теряет смысл (скалярное произведение – комплексное число). Однако понятие ортогональности векторов сохраняется. Соответственно сохраняется понятие ортонормированного базиса, все свойства ортонормированных базисов, изученные выше, аналогичным образом работает процесс ортогонализации.
Небольшое изменение претерпит выражение скалярного произведения через координаты элементов в некотором ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng комплексного евклидова пространства X:
hx; yi = |
* n |
xjej; |
n |
ykek+ = |
n |
xjykhej; eki = |
n |
xjyj: |
||||
|
X |
|
Xk |
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
j=1 |
|
=1 |
|
j;k=1 |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
Как и в случае евклидовых пространств такое выражение скалярного произведения через координаты вектора является характеристическим свойством ортонормированного базиса.
Заметим, что если fe1; : : : ; eng – какой-нибудь (не обязательно ортонормированный) базис в n-мерном эрмитовом пространстве X, то эрмитово скалярное произведение hx; yi векторов x; y 2 X выражается через через матрицу Грама G(e1; : : : ; en) системы
3.4. ЭРМИТОВЫ ПРОСТРАНСТВА |
38 |
векторов fe1; : : : ; eng (которая вводится абсолютно аналогично вещественному случаю) следующим образом
|
|
|
n |
||
|
|
|
X |
||
hx; yi = [x]>G(e1; : : : ; en)[y] |
= |
xj |
|
khej; eki; |
|
y |
|||||
|
|
|
j;k=1 |
||
где [y] = (y1; : : : ; yn)>, а (y1; : : : ; yn)> = [y]. Соответственно, базис fe1; : : : ; eng эрмитова пространства X является ортонормированным если и только если его матрица Грама
является единичной матрицей.
Доказательства обоих приведенных выше необходимых и достаточных условий, при которых базис fe1; : : : ; eng эрмитова пространства X является ортонормированным проходят аналогично доказательству Теоремы 3.9.
Определение. Комплексная n n-матрица U называется унитарной, если она удовлетворяет соотношению U U = E, где U = U>, а U – матрица, комплексно сопряженная матрице U. Матрица U называется матрицей, эрмитово сопряженной матрице U.
Предложение. Унитарная матрица U невырождена, j det Uj = 1 и UU = E.
Это утверждение доказывается абсолютно аналогично соответствующему свойству ортогональных матриц. Доказательство предлагается провести в качестве упражнения. Далее, абсолютно аналогично случаю евклидовых пространства устанавливается следующее утверждение.
Теорема 3.14. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в эрмитовом пространстве является унитарной. Обратно, всякая унитарная матрица является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к некоторому другому ортонормированному базису.
Точный смысл понятия эрмитовой сопряженности матриц будет выяснен позже. Ясно, что имеет место следующее утверждение.
Предложение. Вещественная ортогональная матрица является унитарной.
Замечание. В связи с утверждением последнего Предложения необходимо заметить, что понятия эрмитова скалярного произведения, эрмитовой сопряженности и унитарности матриц и т.п. – это естественное обобщение соответствующих понятий (евклидова скалярного произведения, ортогональности матриц и т.п.), возникших в теории вещественных линейных и евклидовых пространств на случай комплексных пространств.