10.3. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

10.3. Минимальный многочлен линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в некотором линейном вещественном или комплексном линейном пространстве X, dim X = n. Пусть P – некоторый многочлен из R[t] или C[t],

P (t) = p0tm + p1tm 1 + + pm 1t + pm;

Тогда формула

P (A) = p0 Am +p1 Am 1 + + pm 1 A +pm E :

корректно определяет линейный оператор P (A) 2 L(X; X). Напомним также, что многочлен P называется нормализованным, если p0 = 1.

Определение. Пусть P – многочлен. Если P (A) = O, то говорят, что P аннулирует оператор A. Нормализованный многочлен минимальной степени, аннулирующий оператор A называется минимальным многочленом для A. Минимальный многочлен оператора A обозначается символом MA,

Выражение, стоящее в скобках явным образом определяет оператор, обратный к оператору A.

Предложение. Любой многочлен P , аннулирующий оператор A, имеет вид P = QMA для некоторого многочлена Q.

Доказательство. Пусть P – многочлен такой, что P (A) = O. Существуют многочлены Q и R такие, что P = QMA + R и deg R < deg MA. Так как MA – минимальный многочлен для A, то

O = P (A) = Q(A)MA(A) + R(A) = R(A):

Полученное равенство противоречит тому, что MA – минимальный многочлен для A. Следовательно, R 0 и многочлен P , аннулирующий оператор A делится на MA без остатка.

Нильпотентные операторы. Напомним, что линейный оператор A называется нильпотентным, если Am = O для некоторого m 2 Z+. Минимальное число m 2 Z+ с таким свойством называется индексом нильпотентности.

Предложение 10.4. Пусть A – нильпотентный оператор с индексом нильпотентности m. Тогда m 6 n.

Доказательство. Так как оператор Am 1 6= O (по определению индекса нильпотентности), то найдется вектор x 2 X такой, что Am 1 x 6= 0. Проверим, что векторы x; A x; : : : ; Am 1 x линейно независимы. Для этого рассмотрим линейную комбинацию

w := 0x + 1 A x + + m 1 Am 1 x

и предположим, что w = 0. Так как Am 1 w = 0 и так как Ak = O при k > m, то0 Am 1 x = 0, откуда 0 = 0. Далее, Am 2 w = 0, но

Теорема 10.5. Если A – линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве X, то A всегда имеет одномерное инвариантное подпространство. Если A – линейный оператор, действующий в вещественном линейном пространстве X, то A всегда имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть X – комплексное линейное пространство. Рассмотрим характеристический многочлен PA оператора A. Так как поле C алгебраически замкнуто, то существует корень 2 C многочлена PA. Как было показано выше, является собственным числом оператора A и существует ненулевой вектор x (собственный вектор для A) такой, что A x = x . Ясно, что совокупность f x : 2 Cg образует одномерное инвариантное подпространство для оператора A.

Пусть теперь X – вещественное линейное пространство. Рассмотрим минимальный многочлен MA оператора A. Возможны два случая. Во-первых, многочлен MA может иметь вещественный корень . Тогда MA(t) = (t )Q(t), где Q – некоторый многочлен, причем Q(A) 6= O. Следовательно, найдется вектор y 2 X такой, что x := Q(A)y 6= 0. Заметим далее, что

(A E)x = (A E)Q(A)y = MA(A)y = 0:

Таким образом, A x = x, т.е. x – собственный вектор для A. Как и раньше получаем, что f x : 2 Rg – одномерное инвариантное подпространство.

Пусть теперь минимальный многочлен MA не имеет вещественных корней. Тогда многочлен MA может быть представлен в виде

MA(t) = (t2 at b)Q(t):

Как и в предыдущем случае Q(A) 6= O и, следовательно, найдется вектор y такой, что x := Q(A)y 6= 0. Далее

(A2 a A b E)x = (A2 a A b E)Q(A)y = MA(A)y = 0;

откуда A2 x = a A x + bx. Так как MA не имеет вещественных корней, то A не имеет собственных векторов. Следовательно, векторы x и A x линейно независимы. А тогда, по доказанному, пространство Spanfx; A xg и будет двумерным инвариантным подпространством для A.

Теорема Гамильтона-Кэли, общий случай. В теореме 6.13 было доказано, что если A – самосопряженный линейный оператор, действующий в эрмитовом пространстве, то PA(A) = O. На самом деле соответствующее утверждение верно и без предположений о существовании в пространстве X эрмитовой структуры и о самосопряженности оператора A. Эти дополнительные предположения были нужны для использования в доказательстве Теоремы 6.13 утверждения о спектральном разложении самосопряженного оператора.

Теорема 10.6 (теорема Гамильтона-Кэли, общий случай). Для любого линейного оператора A, действующего в комплексном линейном пространстве X верно равенство PA(A) = O.

Доказательство. Для доказательство этого утверждения мы заметим, первым делом, что для любого линейного оператора A, действующего в комплексном линейном пространстве X, существует базис, в котором матрица этого оператора имеет верхнетреугольный вид.

Для доказательства этого факта мы покажем, что A обладает инвариантным подпространством размерности n 1. В самом деле, рассмотрим сопряженный оператор A (действующий в пространстве X ). Пусть – собственно значение A , а f 2 X – соответствующий собственный элемент оператора A. Так как f 6 0, то dim ker f = n 1. Далее, если x 2 ker f, то

f(A x) = hfj A xi = hA fjxi = hfjxi = f(x) = 0;

т.е. A x 2 ker f. Таким образом, ker f – искомое (n 1)-мерное инвариантное подпространство для A.

Теперь мы можем доказать существование базиса, в котором матрица оператора A имеет верхнетреугольный вид по индукции. В самом деле, существует подпространство W, dim W = n 1, такое, что A W W. По предположению индукции, в подпространстве W существует такой базис fe1; : : : ; en 1g, что

A ej = jej + wj; где wj 2 Spanfe1; : : : ; ej 1g:

Пусть en 2 X nW – произвольный вектор. Тогда X = SpanfW; eng. Остается заметить, что A en = nen + w0, где w0 2 W. Таким образом, в базисе fe1; : : : ; eng матрица оператора A имеет верхнетреугольный вид.

Дальнейшее рассуждение будем вести в этом базисе fe1; : : : ; eng. Определим подпространства

Wk := Spanfe1; e2; : : : ; en k 1; en kg

так, что

X = W0 W1 Wn 1 Wn = f0g:

10.4. О структуре канонической матрицы линейного оператора

Пусть X – некоторое комплексное линейное пространство, dim X = n и пусть A 2 L(X; X). В этом разделе мы более подробно изучим структуру корневых инвариантных подпространств оператора A и структуру матрицы AJ оператора A в соответствующем каноническом базисе.

Пусть – некоторое собственное число оператора A. Обозначим через XA( ) – собственное инвариантное подпространство оператора A, соответствующее собственному

значению . Через XbA( ) обозначим соответствующее корневое подпространство. Напомним, что

XbA( ) = fx 2 X : (A E)kx = 0 для некоторого k 2 Z+g:

Так как dim XbA( ) 6 n и так как ограничение оператор A E на XbA( ) является нильпотентным оператором, то

A( ) = fx 2 X : (A E)nx = 0g:

где 1; : : : ; m, m 6 n, – все характеристические числа оператора A кратности k1; : : : ; km

Теорема 10.7. В приведенных выше обозначениях справедливы следующие утверждения.

1. Пространство Xb( j) является A-инвариантным, dim Xb( j) = kj и

X = Xb( 1) Xb( m):

2. Оператор A j E нильпотентен на Xb( j) и невырожден на Xj := X Xb( j). Число j – единственное собственное значение оператора AjXj .

Доказательство. Рассмотрим многочлены

PA(t)

Pj(t) = (t j)kj :

Ясно, что НОД(P1; : : : ; Pm) = 1 (мы предполагаем, что читатель знаком с понятием наибольшего общего делителя многочленов). Тогда существуют такие многочлены Qj 2

C[t], j = 1; : : : ; m, что

m

X

Pj(t)Qj(t) = 1:

j=1

Читатель, не знакомый с основными фактами теории многочленов, может воспринимать последнюю формулу как известный факт, он будет доказан в курсе алгебры в 3-м семестре.

Определим подпространства

Yj := Pj(A)Qj(A)X; j = 1; : : : ; m

и заметим, что эти подпространства являются A-инвариантными. В самом деле,

A Yj = Pj(A)Qj(A) A X Pj(A)Qj(A)X

так как оператор A коммутирует с Q(A) для любого Q 2 C[t]. Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что

!

Y

(A s E)n x = 0:

s6=j

Так как многочлены (t j)n и Qs6=j(t s)n взаимно просты, то существуют такие многочлены F1; F2 2 C[t], что

в частности, вытекает, что число j – единственное собственное значение операто-

оператора A к случаю, когда оператор A имеет единственное собственное значение , а (A E)m = O для некоторого m 6 n. Таким образом, заменой B = A E задача сведена к задача о нахождении жордановой нормальной формы для нильпотентного оператора B индекса нильпотентности m.

Для произвольного вектора x 2 X рассмотрим подпространство

B[x] := Spanfx; B x; : : : ; Bm(x) 1g;

где m(x) 6 m – наименьшее натуральное число такое, что Bm(x) x = 0. Подпространство B[x] называется циклическим подпространством, порожденным оператором B и вектором x.

Предложение 10.8. Пусть B – нильпотентный оператор, действующий в линейном пространстве X, dim X = n. Тогда X представимо в виде прямой суммы циклических подпространств, порожденных оператором B.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности пространства X. Так как оператор B является нильпотентным, то существует такой базис, в котором его матрица имеет верхнетреугольный вид с нулями на главной диагонали. Пусть U X

– подпространство пространства X, являющееся линейной оболочкой первых n 1 векторов указанного базиса. Тогда B X U (в частности. U является B-инвариантным подпространством).

По предположению индукции существуют такие векторы e1; : : : ; ek, что

U = B[e1] B[ek]:

обозначим mj = m(ej) при j = 1; : : : ; k так, что mj 6 m, где m – индекс нильпотентно-

Далее, в качестве несложного упражнения предлагается проверить, что сумма

X = B[e1] B[ek]:

Остается заметить, что матрица ограничения нильпотентного оператора B на любое его циклическое подпространство имеет вид жордановой клетки. Из этого наблюдения и Предложения 10.8 вытекает, что матрица нильпотентного оператора может быть приведена к жордановой нормальной форме.

Пусть теперь A – произвольный линейный оператор, рассмотренный выше. Получим формулы для вычисления числа N( ; m) жордановых клеток порядка m, соответствующих собственному значению , в матрице жордановой нормальной формы оператора A. Из этих формул будет, в частности, следовать единственность канонического вида оператора A.

Пусть X = Xb( ) X0 – прямая сумма корневого подпространства Xb( ), соответствующего собственному значению , и его дополнения X0 и пусть

Xb( ) = (A E)[e1] (A E)[ek]:

k

X

rt = dim(A E)t(A E)[ej] + dim(A E)tX0:

j=1

Сейчас нам удобно считать, что векторы ej, j = 1; : : : ; k пронумерованы так, что числа mj = m(ej) упорядочены следующим образом: m1 6 6 mk.

Если mj 6 t, то (A E)t(A E)[ej] = 0. При mj > t верно равенство

(A E)t(A E)[ej] = Spanf(A E)tej; : : : ; (A E)mj 1ejg;

В последней сумме некоторое число последних слагаемых может быть равно нулю и учтено, что N( ; p) = 0 при p > n. Таким образом, вычисляя разность (rm 1 rm) (rm rm+1) мы приходим к следующей формуле

где, для определенности положено r0 = n.