8.5. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Пусть квадратичная форма A в некотором базисе e = fe1; : : : ; eng задана матрицей A = (ajk) и пусть k = k(A) – это определитель матрицы (ajr : j; r = 1 : : : k) при k = 1; : : : ; n.

Теорема 8.7 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма A с матрицей A была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства

Квадратичная форма A является отрицательно определенной если и только если

т.е. знаки определителей k(A) чередуются, причем 1(A) < 0.

Условия (8.4) и (8.5) назовем условиями Сильвестра.

Доказательство. Начнем с проверки необходимости условий Сильвестра. Из положительной (или отрицательной) определенности формы A вытекает, что k(A) 6= 0 при всех k = 1; : : : ; n. В самом деле, пусть k(A) = 0 при каком-то k. Тогда система однородных линейных уравнений

k

X

arjxj = 0; r = 1; : : : ; k

j=1

Pk

имеет ненулевое решение (xe1; : : : ; xek). Так как j;r=1 arjxerxej = 0, то A(x; x) = 0 для вектора x с координатами (xe1; : : : ; xek; 0; : : : ; 0). Так как x 6= 0, то возникает противоре-

чие с положительной (или отрицательной) определенностью формы A.

Итак, k(A) 6= 0 при всех k = 1; : : : ; n. Применяя метод Якоби, находим канонические коэффициенты 1; : : : ; n формы A. В силу (8.3) они равны

1 = 1(A); 2 = 2(A)= 1(A); : : : ; n = n(A)= n 1(A):

Если квадратичная форма A – положительно определена, то все канонические коэффициенты положительные. Следовательно,

1(A) = 1 > 0; 2(A) = 2 1(A) > 0; : : : ; n(A) = n n 1(A) > 0:

Если квадратичная форма A – отрицательно определена, то все канонические коэффициенты отрицательны. Аналогично случаю положительной определенности из формул для канонических коэффициентов вытекает, что 1(A) = 1 < 0. Далее,2(A) = 2 1(A) > 0 (как произведение двух отрицательных чисел). И так далее. Продолжая эту цепочку неравенств получим, что знаки определителей k(A) при k = 1; : : : ; n чередуются.

Достаточность условий Сильвестра вытекает из того, что если рассматриваемую квадратичную форму привести в каноническому виду методом Якоби, то в первом случае все канонические коэффициенты будут положительны, а во втором случае – все они будут отрицательны (но в обоих случаях все канонические коэффициенты будут отличны от нуля).

8.5.Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве

Вэтом разделе мы напомним ряд фактов, установленных для билинейных форм в разделе 4.6. На самом деле, в этом разделе речь шла о свойствах полуторалинейных форм в эрмитовом пространстве, но были сделаны необходимые комментарии и том, как соответствующие свойства будут выглядеть для билинейных форм в евклидовом пространстве.

Первым делом напомним, что для любой билинейной формы B на евклидовом пространстве X существует единственный оператор A 2 L(X; X) такой, что B(x; y) = hA x; yi для любых x; y 2 X.

Из Предложения 6.18 вытекает, что билинейная форма B является симметричной тогда и только тогда, когда оператор A самосопряженный. В этом случае, из предложений 6.16 и 6.17 вытекает, что все собственные значения 1; : : : ; n оператора A вещественны и, что существует ортонормированный базис в X, состоящий из собственных векторов оператора A и в этом базисе матрица оператора A имеет диагональный вид.

Предложение 8.8. Пусть B – симметричная билинейная форма, определенная в вещественном евклидовом пространстве X. Тогда существует ортонормированный базис e = fe1; : : : ; eng в X и набор чисел k 2 R, k = 1; : : : ; n такие, что

n

X

B(x; x) = kx2k;

k=1

где xk, k = 1; : : : ; n – координаты вектора x относительно базиса e.

Доказательство. Пусть A – самосопряженный оператор в X такой, что B(x; y) = hA x; yi. Пусть 1; : : : ; n – (вещественные) собственные числа A и пусть e1; : : : ; en – соответствующий набор ортонормированных собственных векторов (существование A,

Аналогично рассмотренному выше случаю квадратичных форм в эрмитовых пространствах в вещественных евклидовых пространствах имеет место утверждение о возможности одновременного приведения в сумме квадратов двух квадратичных форм.

Предложение 8.9. Пусть A и B – симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейной пространстве X. Предположим, что форма B является положительно определенной. Тогда в пространстве X можно выбрать базис e = fe1; : : : ; eng, в котором обе соответствующие квадратичные формы имеют канонический вид, т.е.

где x1; : : : ; xn – координаты вектора x относительно базиса e, а 1; : : : ; n – некоторые вещественные числа.

Для доказательства этого предложения необходимо заметить, что при сделанных предположениях относительно билинейной формы B выражение B(x; y), x; y 2 X задает скалярное произведение в X (проверка аксиом скалярного произведения в этом случае оставляется в качестве упражнения). После этого остается применить результат предложения 8.8 для евклидова пространства (X; B( ; )). Проверка оставшихся деталей оставляется в качестве упражнения.