Лекции по алгебре Часть I – Линейная алгебра

К. Ю. Федоровский

Текст лекций для студентов факультета ФН

Для любого элемента y 2 Y определяется множество f 1(y) = fx 2 X : f(x) = yg, которое называется прообразом элемента y 2 Y . По определению прообраза, f 1(y) = ? при y 2 Y n Im(f). Для любого подмножества Y0 Y определяется его прообраз относительно отображения f: f 1(Y0) = fx 2 X : f(x) 2 Y0g = S f 1(y).

Определение. Отображение f называется инъективным, если из неравенства x1 6= x2 вытекает, что f(x1) 6= f(x2). Всякое инъективное и, одновременно, сюръективное отображение f : X ! Y называется биективным.

Легко привести пример отображения, не являющегося ни сюръективным ни инъективным. В самом деле, пусть ( n : n 2 N) – последовательность чисел Фибоначчи, т.е. 1 = 2 = 1, а n = n 1 + n 2 при n 3. Нетрудно проверить, что отображения f : N 7!N множества натуральных чисел в себя, определенное по правилу f(n) = n, обладает указанным свойством.

Рассмотрим теперь отображение, определенно правилом x 7!x2. Это отображение, рассматриваемое как отображение R ! R, не является ни сюръективным, ни инъективным. Если отображение x 7!x2, рассматривается как отображение R ! R+ (где R: = ft 2 R : t 0g), то оно является сюръективным, но не инъективным. И, наконец, отображение x 7!x2 , рассматривается как отображение R+ ! R+, является взаимно однозначным (биективным).

Определение. Отображение idX : X ! X, определенное по правилу x 7!x, называется единичным (или тождественным) отображением.

Другими словами, единичное отображение переводит каждый элемент своей области определения в себя. Часто тождественное отображение обозначается символом eX .

Пусть задано отображение f : X ! Y . Тогда для любого подмножества X0 X можно определить отображение f0 : X0 ! Y по правилу f0(x) = f(x) при x 2 X0. Отображение f0 называется сужением (или ограничением) отображения f на X0 и обозначается символом f0 = fjX0 .

Если же заданы множества X1 и Y1 такие, что X X1 и Y Y1 и отображение f1 : X1 ! Y1 такое, что f1(x) = f(x) для любого x 2 X, то отображение f1 называется продолжением отображения f с X на X1. Понятия сужения и продолжения отображений широко используются во всех разделах математики.

Определение. Если определены два отображения g : X ! Y и f : Y ! Z, то отображение f g : X ! Z, определенное соотношением

(f g)(x) = f(g(x)); x 2 X;

называется композицией отображений f и g.

Часто композицию отображений называют произведением отображений и, если это не вызывает путаницы, обозначают символом fg. Заметим, что операция композиции определена не для любых пар отображений. Для того, чтобы оно была определена, необходимо, чтобы область определения отображения f совпадала с областью значений отображения g.

Для любого отображения f : X ! Y верны равенства f idX = f и idY f = f.

Предложение 1.1. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. для любых отображений h : X ! Y , g : Y ! Z и f : Z ! W выполняется равенство

f (g h) = (f g) h:

Доказательство. Рассмотрим два отображения q1 : X ! W и q2 : X ! W определенные, соответственно, равенствами q1 = f (g h) и q2 = (f g) h. Как нетрудно проверить, обо отображения q1 и q2 определены при всех x 2 X и имеют свой областью значений множество W . Так как

q1(x) = (f (g h))(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = (f g)(h(x)) = ((f g) h)(x) = q2(x)

Нетрудно заметить, что операция композиции отображений не является коммутативной: для отображений f; g : X ! X, в общем случае, f g 6= g f. В самом деле, это равенство нарушается, например, для отображений f; g : fa; bg ! fa; bg определенных равенствами f(a) = b, f(b) = a, g(a) = g(b) = a.

то g называется обратным отображением для f и обозначается символом f 1.

Непосредственно из определения обратного отображения вытекает, что если g является обратным отображением для f, то f является обратным отображением для g.

Предложение. Если отображение f : X ! Y имеет обратное отображение, то это обратное отображение единственно.

Доказательство. Предположим, что существуют два отображения g1;2 : Y ! X со свойствами f g1 = idY , g1 f = idX и f g2 = idY , g2 f = idX . Тогда, в силу ассоциативности операции композиции отображений:

g2 = idX g2 = (g1 f) g2 = g1 (f g2) = g1 idY = g1:

Далее, имеет место следующее утверждение:

Лемма 1.2. Если f : X ! Y и g : Y ! X – такие отображения, что g f = idX , то отображение f инъективно, а отображение g сюръективно.

Доказательство. Начнем с проверки инъективности f. Пусть x1; x2 2 X таковы, что f(x1) = f(x2). Тогда

x1 = eX (x1) = (g f)(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = (g f)(x2) = eX (x2) = x2:

Далее, если x – произвольный элемент из X, то x = eX (x) = g(f(x)), т.е. для любого x 2 X существует y 2 Y такой, что x = g(y) (это элемент y = f(x)). Т.е. f – инъективно, а g – сюръективно.

Пример. Только что доказанная лемма может быть проиллюстрирована следующим простым примером. Пусть X = R+, Y = R, отображения f : X ! Y и g : Y ! X определены так, что f : x 7!x2, а

p

Видно, что g f это отображение R+ ! R+, действующее по правилу x 7! x2 = x, т.е. g f = idX при X = R+.

Теперь мы готовы сформулировать и доказать критерий обратимости отображений.

Теорема 1.3.

1. Отображение f : X ! Y обратимо если и только если оно биективно.

2. Если f биективно, то f 1 биективно и (f 1) 1 = f.

3. Если отображения f : X ! Y и h : Y ! Z биективны, то отображение h f биективно и (h f) 1 = f 1 h 1.

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Предположим, что отображение f обратимо. Пусть g = f 1 – обратное отображение. Тогда, из Леммы 1.2 и соотношений (1.1) непосредственно вытекает, что f инъективно и сюръективно (т.е., биективно). Обратно, пусть отображение f биективно. Следовательно, для любого x 2 X существует единственное y 2 Y такое, что y = f(x). Построим отображение g : Y ! X

1.2. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ, ФАКТОРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВ И ОТОБРАЖЕНИЙ 8

так, что g(y) = x. Проверка того, что отображение g удовлетворяет соотношениями (1.1) очевидна и оставляется в качестве упражнения.

Докажем второе утверждение теоремы. Так как отображение f биективно, то существует обратное отображение f 1, для которого f 1 f = idX и f f 1 = idY . Из этих соотношений и Леммы 1.2 вытекает биективность f 1 и равенство (f 1) 1 = f.

Третье утверждение теоремы доказывается аналогично. В самом деле, из биективности отображений f и h вытекает биективность их композиции h f. Т.е. отображение

Рассмотрим еще один интересный и поучительный пример. Пусть отображение f : N ! N определено по правилу x 7!x + 1. Тогда ясно, что это отображение инъективно, но не сюръективно (элемент x = 1 2 N не имеет прообраза). Оказывается, что такой феномен возможен только в случае бесконечных множеств. А в случае конечных множеств справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.4. Если X – конечное множество, а отображение f : X ! X инъективно, то оно биективно.

Доказательство. Нам необходимо доказать сюръективность f. Для любого целого k 0 определим отображение fk по индукции: f0 = idX , а fk = fk 1 f при k 1. Возьмем произвольное x 2 X и рассмотрим последовательность f0(x); f1(x); : : : ; fn(x); : : : . Так как X – конечное множество, то в этой последовательности должны быть повторения. Предположим, что fm(x) = fn(x) при n > m. Если m = 0, то fn(x) = f0(x) = x. Если m > 0, то, в силу инъективности f имеет место равенство fn 1(x) = fm 1(x). После последовательного выполнения “сокращений” мы получим элемент x1 = fn m 1(x), для которого x = f(x1). Т.е., f сюръективно.

1.2. Отношения эквивалентности, факторизация множеств и отображений

Напомним, что бинарным отношением между двумя множествами X и Y называется любое подмножество X Y , где

X Y = f(x; y) : x 2 X; y 2 Y g:

Бинарное отношение между X и X называется бинарным отношением на X.

Пусть на множестве X задано некоторое бинарное отношение . Тот факт, что (упорядоченная) пара (x; y) 2 X X принадлежит отношению будем обозначать x y. Для простоты обозначений, говоря о некотором произвольном бинарном отношении на X будет использовать обозначение x y.

Определение. Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности, если для всех x; x1; x2 2 X выполнены соотношения

(1)x x (рефлексивность);

(2)из x1 x2 следует x2 x1 (симметричность);

(3)из x x1 и x1 x2 следует x x2 (транзитивность).

Подмножество xe = fy 2 X : y xg X называется классом эквивалентности, содержащим элемент x.

Проверим корректность определения класса эквивалентности. Для этого необходимо установить, что, во-первых, x 2 xe и, во вторых, что класс xe однозначно определяется любым своим представителем, т.е. xe1 = xe2 если и только если x1 x2. В самом деле, так как x x, то x 2 xe. Далее, если x1 x2 и y 2 xe1, то y x1 x2 и, следовательно, y 2 xe2. Таким образом, xe1 xe2. Аналогично, xe2 xe1 и, окончательно, xe1 = xe2. Обратно,

1.2. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ, ФАКТОРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВ И ОТОБРАЖЕНИЙ 9

если x1 2 x1 = x2, то x1 x2 по определению класса эквивалентности. Оказывается,

Другими словами, множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества X в объединение непересекающихся подмножеств, каждое из которых является классом эквивалентности относительно .

Приведем примеры отношений эквивалентности. Пусть X = R2 – плоскость с декартовой системой координат. Пусть P1; P2 точки плоскости. Определим отношение1 следующим образом: P1 1 P2 если P1 и P2 лежат на одной вертикальной прямой. Ясно, что 1 это отношение эквивалентности. Плоскость R2 распадается на непересекающиеся классы эквивалентности на множество вертикальных прямых.

Другой пример можно получить рассмотрев множество X = f(x; y) 2 R2 : x > 0; y > 0g и отношение 2 определяемое таким образом, что P1 2 P2 если P1 и P2 лежат на одной гиперболе f(x; y) 2 R2 : x > 0; y > 0; xy = g, > 0.

Предложение 1.6. Если задано некоторое разбиение множества X на непересе-

F

кающиеся подмножества X = 2A C (здесь A некоторое множество индексов), то существует такое отношение эквивалентности на X, что множества C , 2 A будут классами эквивалентности по этому отношению.

Доказательство. По условию, для любого x 2 X существует единственный индекс(x) 2 A такой, что x 2 C (x). Определим отношение считая, что y x если и только

Определение. Разбиение множества X на классы эквивалентности, соответствующие отношению эквивалентности на X, обозначается X= и называется фактормножеством (множества X по отношению ).

Сюръективное отображение

p : x 7!p(x) = xe

называется естественным отображением или канонической проекцией X на X= .

Пусть X и Y – два множества, а f : X ! Y – некоторое отображение. Определим бинарное отношение f на X следующим образом:

x1 f x2 () f(x1) = f(x2); x1; x2 2 X:

В качестве упражнения предлагается проверить, что f является отношением эквивалентности на X. Обозначим классы эквивалентности по этому отношению xef , т.е. xef = fz 2 X : f(z) = f(x)g.

Определим отображение fe: X= f ! Y следующим образом

Так как xef = zef если и только если f(x) = f(z), то соотношение (1.2) не зависит от выбора представителя x в классе xef . Таким образом, отображение fe определено