Так как пересечение линейных оболочек векторов gk при k = 1; : : : ; m1 и hk;1 при k = 1; : : : ; m1 содержит только нулевой элемент, то вектор g = 0, откуда последовательно получаем, что k = 0 при k = 1; : : : ; m1 и km = 0 при k = 1; : : : ; p и m = 1; : : : ; rk. Следовательно, указанный набор векторов линейно независим. Заметим, что он состоит

Введем дополнительное обозначение hk;rk+1 := wk. Рассмотрим теперь элементы

изаметим, что действие оператора B в этом базисе описывается соотношениями (7.1)

исоотношениями B gk = 0 при k = 1; : : : ; m0 и B hk;rk+1 = hk;rk при k = 1; : : : ; m1. следовательно, в построенном базисе оператор B = A E действует по правилу, тре-

буемому условием теоремы. Отсюда окончательно получаем, что оператор A = B + E действует в этом базисе так, как предписано условиями теоремы.

7.3. Нормальные операторы

Пусть X – конечномерное эрмитово пространство, dim X = n, с эрмитовым скаляр-

p

ным произведением h ; i. Пусть, как обычно, kxk = hx; xi при x 2 X.

Определение. Линейный оператор N 2 L(X; X) называется нормальным, если справедливо соотношение N N = N N .

Из определения сопряженного оператора непосредственно вытекает, что ( E) = E для любого 2 C. Следовательно, для любого оператора A и для любого 2 C имеет место равенство (A E) = A E и операторы A и A E являются и не являются нормальными одновременно.

Далее, если N 2 L(X; X) – нормальный оператор, а x 2 X – произвольный вектор,

то

k N xk2 = hN x; N xi = hx; N N xi = hx; N N xi = hN x; N xi = k N xk2: (7.2)

Пусть – произвольное комплексное число. Из равенства (7.2), примененного к нормальному оператору N E вытекает, что k N x xk = k N x xk для любого вектора x 2 X а из этого равенства уже вытекает, что N x = x если и только если N x = x. Из этого наблюдения вытекает следующее утверждение.

Предложение 7.4. Для любого собственного значения нормального оператора N 2 L(X; X) существует единичный собственный вектор, отвечающий этому соб-

ственному значению, который в то же время является собственным для оператора

N .

Замечание. Ранее нами были изучены самосопряженные операторы, которые определялись соотношением A = A . Следовательно, всякий самосопряженный оператор является нормальным. Нормальным также будет оператор, определяемый условием A = A 1. Ясно также, что существуют нормальные операторов, которые не являются ни самосопряженными ни унитарными. Например, оператор с матрицей Diagf1; 1; 2; 3ig.

Интерес к изучению нормальных операторов обусловлен, в частности, следующими двумя причинами. Во-первых, понятие нормального оператора естественным образом вводится в в случае бесконечномерных пространства, где такие операторы возникают во многих задачах. Во-вторых, нормальные операторы естественно возникают в связи с так называемой проблемой диагонализируемости линейных операторов.

Обсудим эту проблему более подробно.

Определение. Скажем, что оператор A 2 L(X; X), действующий в эрмитовом пространстве X является диагонализируемым, если в X существует такой ортонормированный базис, матрица оператора A в котором имеет диагональный вид.

Из Теоремы 6.11 вытекает, что если оператор A самосопряженный, то существует ортонормированный базис в пространстве X, состоящий из собственных векторов оператора A. Отсюда следует, что всякий самосопряженный оператор является диагонализируемым.

Оказывается, что введенное свойство нормальности оказывается необходимым и достаточным условием диагонализируемости линейного оператора. Имеет место следующий результат.

Теорема 7.5. Пусть X – n-мерное эрмитово пространство и пусть A 2 L(X; X). Тогда A является диагонализируемым если и только если A является нормальным.

Доказательство. Пусть A является диагонализируемым. Тогда существует базис ортонормированный базис fe1; : : : ; eng такой, что A ej = jej, где j = 1; : : : ; n, а j – некоторые комплексные числа. Тогда A ej = jej. Следовательно, A A ej A A ej =j jej j jej = 0 и, следовательно, A A = A A.

Обратно, пусть A – нормальный оператор. Установим, что в пространстве X суще-

ствует ортонормированный базис e = fe1; : : : ; eng, состоящий из собственных векторов операторов N и N .

Из Предложения 7.4 вытекает, что операторы N и N имеют в X общий собственный вектор e1, имеющий единичную норму и соответствующий собственным значениям и операторов N и N соответственно.

Определим множество (подпространство) X1 = fx 2 X : hx; e1i = 0g. Проверим, что X1 является одновременно N- и N -инвариантным подпространством. В самом деле, если элемент x 2 X ортогонален элементу e1, то

hN x; e1i = hx; N e1i = hx; e1i = hx; e1i = 0

и, аналогично,

hN x; e1i = hx; N e1i = hx; e1i = hx; e1i = 0:

Применим утверждение Предложения 7.4 к подпространству X1 и найдем в нем общий единичный собственный вектор e2 для операторов NjX1 и NjX1 . Затем мы определим подпространство X2 = fx 2 X1 : hx; e2i = 0g и повторим для этого подпространства описанную выше процедуру. В результате придем к вектору e3 и подпространству X3. Повторяя этот процесс необходимое (конечное, так как пространство X конечномерно) число раз мы получим ортонормированный базис в X с требуемыми свойствами.

Заметим, что самосопряженный оператор – это нормальный оператор, у которого все собственные значения действительны. Соответственно, в случае операторов, действующих в вещественных пространствах, нормальный оператор является самосопряженным.

Продолжим изучение свойств нормальных операторов. Пусть линейное пространство X разложено в прямую сумму X = Y Z подпространств и пусть x 2 X. Тогда существует единственное разложение x = y + z, где y 2 Y, z 2 Z.

Определение. Оператор P = PY;Z, определенный соотношением P x = y называют проектором на подпространство Y вдоль подпространства Z.

Замечание. Ясно, что P2 = P. В связи с этим заметим, что любой линейный оператор B, удовлетворяющий условию B2 = B, называется проектором.

Рассмотрим теперь произвольный нормальный оператор N 2 L(X; X), действующий в n-мерном эрмитовом пространстве X.

Пусть 1; : : : ; m, m n, – все различные собственные значения оператора N, а V1; : : : ; Vm – собственные подпространства оператора N, соответствующее собственным значениям 1; : : : ; m. При доказательстве Теоремы 7.5 был, по-существу, установлен

Заметим, что если оператор N является самосопряженным, то все числа j, j = 1; : : : ; m вещественные и, соответственно, многочлен Pj также будет вещественным.

Из Предложения 6.3 следует, что любой оператор A 2 L(X; X) может быть представлен в виде A = AR +i AI , где AR и AI – самосопряженные операторы.

Рассмотрим произвольный нормальный оператор N и разложим его указанным об-

разом N = AR +i AI . Тогда N = AR i AI , откуда AR = 12 (N + N ), а AI = 21i (N N ). При этом из равенства N N = N N вытекает, что AR AI = AI AR.

Пусть теперь оператор A представлен в виде A = AR +i AI , где самосопряженные

операторы AR и AI коммутируют, т.е. AR AI = AI AR. Тогда A A = A2R + A2I = A A и, следовательно, оператор A является нормальным.

7.4. Унитарные и ортогональные операторы

Пусть, как и выше, X – конечномерное эрмитово пространство, dim X = n, с эрми-

hU x; U yi = hx; yi:

Сразу заметим, что если оператор U является унитарным, то k U xk = kxk для любого элемента x 2 X.

По определению, унитарный оператор сохраняет скалярное произведение. Следовательно, если fe1; : : : ; eng – ортонормированный базис в X, а U – унитарный оператор, то набор векторов fU e1; : : : ; U eng также образует ортонормированный базис в X.

Установим следующий критерий унитарности линейного оператора.

Теорема 7.6. Оператор U 2 L(X; X) является унитарным если и только если

U U = U U = E.

Доказательство. Пусть линейный оператор U 2 L(X; X) является унитарным, т.е. hU x; U yi = hx; yi для любых элементов x 2 X и y 2 X. По определению сопряженного оператора, условие унитарности оператора U можно записать в виде hU U x; yi =

hx; yi. Отсюда следует, что для любых элементов x 2 X и y 2 X выполняется равен-

ство

h(U U E)x; yi = 0:

Подставив в это равенство y = U U x x получим, что для любого x 2 X имеет место равенство k(U U E)xk = 0 и, следовательно, U U E = O, т.е. U U = E.

Проверим теперь справедливость обратного утверждения. Пусть U U = U U = E и исходя из определения сопряженного оператора получаем, что для любых элементов

Следствие. Оператор U 2 L(X; X) – унитарный если и только если U = U 1.

Легко проверить, что любое собственное значение унитарного оператора U удовлетворяет условию j j = 1. В самом деле, пусть – собственное значение унитарного оператора U, соответствующее единичному собственному вектору e , т.е. U e = e и ke k = 1. Отсюда немедленно заключаем, что

j j = k e k = k U e k = ke k = 1:

Из Теоремы 7.6 вытекает, что всякий унитарный оператор является нормальным. Следовательно, для унитарного оператора существует базис, в котором его матрица является диагональной. Более того, так как все собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице, то для любого унитарного оператора найдется базис, в котором его матрица может быть записана в виде Diagfei1 ; : : : ; eing, j 2 R, j = 1; : : : ; n.

Напомним, что если A – комплексная n n матрица, то через A обозначается эрмитово сопряженная матрица для матрицы A, т.е. A = A>.

Определение. Комплексная n n матрица A называется унитарной, если A A =

AA = E

Упражнение. Проверить, что если X – эрмитово пространство, e = fe1; : : : ; eng – ортонормированный базис в X, то оператор U, действующий в X является унитарным если и только если его матрица в базисе e является унитарной.

Ортогональные операторы в евклидовых пространствах. Ортогональные операторы являются аналогом унитарных операторов в вещественном случае. Пусть X – (вещественное) евклидово пространство со скалярным произведением h ; i.

Определение. Оператор P 2 L(X; X) называется ортогональным, если для любых элементов x 2 X и y 2 X имеет место равенство

hP x; P yi = hx; yi:

По определению, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение. Следовательно, если fe1; : : : ; eng – ортонормированный базис в X, а P – ортогональный оператор, то набор векторов fP e1; : : : ; P eng также образует ортонормированный базис в X.

Теорема 7.7. Оператор P 2 L(X; X) в вещественном евклидовом пространстве X является ортогональным, если и только если P = P 1 (т.е., если сопряженный оператор к P совпадает с обратным).

Доказательство этого утверждения является дословным повторением доказательства Теоремы 7.6.

Напомним, что ранее было введено понятие ортогональной матрицы: вещественная n n матрица A называется ортогональной, если A>A = AA> = E. Как и в случае унитарных операторов, в рассматриваемой ситуации имеет место следующее утверждение.

Пусть X – евклидово пространство, а e = fe1; : : : ; eng – ортонормированный базис в X. Тогда оператор P, действующий в X является ортогональным если и только если его матрица в базисе e ортогональна. Доказательство этого утверждения, равно как и соответствующего утверждения про унитарные операторы оставляется в качестве

упражнения.

Канонический вид ортогонального оператора. Найдем канонический вид ортогонального оператора P, действующего в (вещественном) евклидовом пространстве X. Если dim X = 1, то любой вектор x 2 X имеет вид x = e, где 2 R, а e – вектор, порождающий пространство x. Так как P e = e и hP e; P ei = 2he; ei, то из ортогональности P получаем, что = 1. Следовательно, в одномерном пространстве существует только два ортогональных преобразования: x 7!x и x 7! x.

Пусть теперь dim X = 2 и пусть оператор P имеет матрицу

a b

P = c d ;

где a; b; c; d 2 R. Так как матрица P должна быть ортогональной, то P P > = P >P = E. Из этих равенств вытекают следующие соотношения на числа a; b; c; d:

a2 + b2 = 1; a2 = d2; b2 = c2; ac + bd = 0; ab + cd = 0:

Из этих равенств вытекает, что матрица P может иметь только следующий вид:

Заметим, что det P + = 1, а det P = 1. Матрица P + задает очевидное преобразование – поворот в плоскости, образованной векторами e1 и e2 на угол . Так как

1 0

P = 0 1 P +;

то матрица P задает преобразование, сводящееся к последовательному выполнению поворота на угол и отражения относительно оси e1.

Определим операторы P + и P так, что в стандартном базисе fe1; e2g их матрицы равны соответственно P + и P . Из ортогональности оператора P + вытекает, что векторы P + e1 и P + e2 образуют ортонормированный базис, в котором матрица оператора P имеем матрицу

т.е. является диагональной.

Для того, чтобы выяснить общий вид ортогонального оператора P в вещественном евклидовом пространстве X используем следующий технический прием, называемый комплексификацией пространства X. Рассмотрим комплексное линейное пространство XC, определенное следующим образом

XC := fx + iy : x 2 X; y 2 Xg;

причем операции сложения векторов в XC и умножения векторов из XC на комплексные числа определены следующим образом

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) 2 XC; ( + i )(x + iy) = ( x y) + i( y + x) 2 XC:

Непосредственная проверка того факта, что XC – комплексное линейной пространство оставляется в качестве упражнения. Кроме того, в качестве упражнения предлагается проверить, что если система векторов e1; : : : ; en образует базис в X, то эти же векторы образуют базис в XC.

Пусть z = x + iy 2 XC. Тогда вектор z = x iy 2 XC называется комплексно сопряженным вектором к вектору z (используется также термин “просто” сопряженный, если это не приводит к терминологической путанице). В качестве упражнения предлагается проверить, что если z 2 XC, а a 2 C, то az = a z.

Если в вещественном линейном пространстве X задано скалярное произведение h ; i, то скалярное произведение в XC можно ввести следующим образом: для z = x + iy 2 XC и w = u + iv 2 XC положим

hz; wiC := hx; ui + hy; vi + i(hy; ui hx; vi):

Проверка того, что выражение hz; wiC задает эрмитово скалярное произведение в XC оставляется в качестве упражнения.

Заметим также, что введенное скалярное произведение обладает таким свойством, что hz; wiC = hz; wiC. Если в дальнейшем из контекста ясно, о каком пространстве (X или XC) идет речь, то мы будем использовать одинаковое обозначение для скалярного произведения в X и для его комплексификации.

Если в пространстве X задан линейный оператор A, то он может быть продолжен на пространство XC следующим естественным образом: если z = x + iy 2 XC, то A z = A x+i A y. Ясно, что при таком определении A становится линейным оператором на XC (проверка оставляется в качестве упражнения).

Рассмотрим теперь оператор A 2 L(X; X) и сопряженный оператор A . Продолжим оба эти оператора на пространство XC так как было описано выше. Тогда продолжения этих операторов останутся взаимно сопряженными. В самом деле, при всех x; y; u; v 2 X получаем

hA(x + iy); u + ivi = hA x + i A y; u + ivi = hA x; ui+ hA y; vi ihA x; vi+ ihA y; ui = = hx; A ui + hy; A vi ihx; A vi + ihy; A ui = hx + iy; A (u + iv)i:

Из определения продолжения оператора A с пространства X на пространство XC немедленно вытекает, что продолжение нормального оператора будет нормальным оператором, а продолжение ортогонального оператора будет унитарным оператором. Проверка этих фактов оставляется в качестве упражнения.

Итак, рассмотрим нормальный оператор A в X и его продолжение на XC. Вспомним, что у нормального оператора, действующего в эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис из собственный векторов, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

Для вещественных собственных значений (продолженного) оператора A можно выбрать вещественные собственные векторы (т.е. собственные векторы, лежащие в X). В самом деле, система уравнений, из которой находятся координаты собственных векторов относительно базиса e1; : : : ; en в X в случае вещественного собственного значения

– это система линейных однородных уравнений с вещественной матрицей.

Если – комплексное собственное значение оператора A, то – также является собственным значением A. В самом деле, если z – собственный вектор, соответствующий собственному значению , т.е. A z = z, то A z = A z = z = z.

Более того, комплексные собственные значений появляются парами с одинаковой кратностью. Выберем ортонормированный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению = + i при 6= 0. Как показано выше, базис из собственных векторов, принадлежащих собственному значению можно взять из векторов, комплексно сопряженных с соответствующими базисными собственными векторами для . Эти базисные векторы также будут попарно ортогональны и ортонормированы. Для каждой пары x + iy и x iy рассмотрим подпространство SpanCfx + iy; x iyg. Все эти подпространства A-инвариантны, попарно ортогональны и ортогональны всем вещественным собственным векторам, соответствующим вещественным собственным значениям.

Из соотношения SpanCfx + iy; x iyg = SpanCfx; yg вытекает, что SpanCfx; yg = (SpanRfx; yg)C. Из ортогональности собственных векторов x + iy и x iy (принадлежащих различным собственным значениям) следует

0 = hx + iy; x iyi = hx; xi hy; yi + 2ihx; yi;

причем последнее равенство вытекает из того, что в вещественном евклидовом пространстве X скалярное произведение симметрично. Отделяя в последнем равенстве вещественные и мнимые части получаем, что hx; yi = 0, т.е. векторы x и y ортогональны. Кроме того, получаем, что hx; xi = hy; yi. Так как вектор x+iy имеет единичную нор-

му, то hx; xi + hy; yi = 1. Отсюда окончательно получаем, что hx; xi = hy; yi = 1=2 и, p p

следовательно, векторы 2x и 2y имеют единичную норму.

Далее, для собственного вектора x + iy, принадлежащего собственному значению= + i , получаем

A(x + iy) = ( + i )(x + iy);

откуда, отделяя вещественные и мнимые части, получаем

A x = x y; A y = x + y:

Итак, для нормального оператора, действующего в вещественном евклидовом про-

странстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, p

соответствующих вещественным собственным значениям и из умноженных на 2 вещественных и мнимых частей собственных векторов, соответствующих комплексным собственным значениям. Одномерные подпространства, натянутые на соответствующие собственные векторы и двумерные подпространства, натянутые на компоненты комплексных собственных векторов A-инвариантны и, следовательно, матрица оператора A в таком базисе имеет блочно-диагональный вид и состоит из 1 1 и 2 2-блоков. Более того, каждый 2 2-блок такой матрицы имеет вид

:

Если теперь оператор P – ортогонален, то структура его одномерных и двумерных собственных инвариантных подпространств была изучена выше и, как было установлено, каждый 1 1-блок матрицы ортогонального оператора имеет вид ( 1), а каждый 2 2-блок – вид

Окончательно получаем, что в вещественном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица ортогонального оператора P имеет вид