2.6. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

не менять ранее полученных базисных столбцов (назовем эти столбцы основными). В результате этого преобразования матрицы B0 получим матрицу B00. Полный набор базисных столбцов матрицы B00 соответствует базису в Y, а базисные столбцы B00, не являющиеся основными, соответствуют базису в X \ Y. Обоснование этого метода и его проверка на конкретных числовых примерах оставляется в качестве упражнения.

Задача 2.1. Доказать, что сумма подпространств X = X1 + X2 + + Xk является прямой если и только если для всех j = 1; : : : ; k выполнено соотношение

Xj \ X1 + + Xj 1 + Xj+1 + + Xk = f0g:

Задача 2.2. Доказать, что сумма подпространств X = X1 + X2 + + Xk является

прямой если и только если dim X = Pk dim Xj.

j=1

Внешние и внутренние прямые суммы. Понятие прямой суммы было введено выше для подпространств некоторого объемлющего линейного пространства X. Такие прямые суммы часто называют внутренними прямыми суммами.

Введем теперь понятие прямой суммы для произвольных линейных пространств Y1 и Y2 (рассматриваемых, разумеется, над одним и тем же полем F). Определим внешнюю

прямую сумму Y = Y1 Y2 как множество Y1 Y2 = f(y1; y2) : y1 2 Y1; y2 2 Y2g, для элементов которого операции сложения элементов и их умножения на числа из F

определены при помощи соотношения

(y01; y02) + (y001; y002) = ( y01 + y001; y02 + y002):

Множество Ye1 := f(y1; 0) : y1 2 Y1g Y – это линейной подпространство пространства Y, изоморфное пространству Y1 (соответствующий изоморфизм имеет вид (y1; 0) 7!y1). Аналогично, множество Ye2 := f(0; y2) : y2 2 Y2g Y – это линейной подпространство пространства Y, изоморфное пространству Y2.

Заметим, что имеет место соотношение

Y1 Y2 = Y = Ye1 Ye2;

где первая прямая сумма внешняя, а вторая – внутренняя. Практически всюду в дальнейшем рассматриваемые прямые суммы будут внутренними и термин прямая сумма будет использоваться без дополнительных комментариев.

2.6. Факторпространства линейных пространств

Пусть дано некоторое линейное пространство X над полем F и его подпространство U. Введем на X отношение U так, что x U y если и только если x y 2 U. Нетрудно показать, что U является отношением эквивалентности на X.

Рассмотрим фактормножество X= U. Обозначим классы эквивалентности по этому отношению через xeU. При этом

xeU = fy 2 X : y U xg = fy 2 X : y x 2 Ug = fy 2 X : y = x + u; u 2 Ug:

Множество x + U = fx + u : u 2 Ug называется смежным классом пространства X по подпространству U, вектор x называется представителем соответствующего смежного класса. Из Предложения 1.5 вытекает, что любые два смежных класса пространства X по подпространству U либо совпадают, либо не пересекаются.

Множество X= U традиционно обозначают символом X=U. Оказывается, что на множестве X=U можно ввести структуру линейного пространства над полем F. В самом деле, если определить операции сложения элементов множества X=U и умножения элементов из X=U на числа 2 F по правилам

то свойства (3)-(9) из определения линейного пространства проверяются непосредственно (это оставляется в качестве упражнения).

Определение. Пространство X=U называется факторпространством пространства X по подпространству U.

Рассмотрим следующий простой пример. Пусть X = R2, а U = f(x; 0) : x 2 Rg R2. Определим также подпространство Wa = f(x; ax) : x 2 Rg R2 при вещественном a 6= 0. Тогда для любого a 6= 0 верно равенство U Wa = X. Заметим, что множество X=U в этом случае – это в точности множество всех прямых, параллельных горизонтальной оси.

Установим, что справедливо следующее утверждение.

Предложение 2.16. Пусть X – линейное пространство, U и W – такие его подпространства, что X = U W. Тогда отображение f : w 7!weU, w 2 W, является изоморфизмом между W и X=U.

Доказательство. Проверим, что f – биективное отображение. Так как произвольный элемент x 2 X можно (единственным образом) записать в виде x = u + w, где u 2 U, а w 2 W, то

xeU = ueU + weU = U + weU = weU = f(w);

т.е. отображение f сюръективно. Инъективность f (и, следовательно, его биективность) вытекает из следующих соображений. Пусть w1 2 W и w2 2 W таковы, что f(w1) = f(w2). Тогда we1U = we2U. Тогда w1 w2 2 U и, так как U \ W = f0g, то w1 w2 = 0.

Остается заметить, что для любых w1; w2 2 W и 1; 2 2 F верны равенства

f( 1w1 + 2w2) = 1w1 + 2w2 + U = ( 1w1 + U) + ( 2w2 + U) = 1f(w1) + 2f(w2):

В качестве следствия только что доказанного утверждения можно отметить, что для любого подпространства U X верно равенство

dim X=U = dim X dim U:

2.7. Преобразование координат при преобразовании базиса конечномерного линейного пространства

Преобразование базисов. Пусть X – линейное пространство, dim X = n, n 2 N, и пусть e = fe1; : : : ; eng и e0 = fe01; : : : ; e0ng – два базиса в X. При k = 1; : : : ; n разложим элемент e0k 2 X по базису e. При этом получим следующие соотношения (k = 1; : : : ; n):

>

>

:

В матричном виде эти равенства записываются следующим образом

e0 = eS;

где S – это n n-матрица, столбцами которой являются координатные столбцы векторов e01; : : : ; e0n базиса e0 в базисе e:

01

Определение. Матрица S называется матрицей перехода от базиса e к базису e0. Говорят также, что переход от базиса e к базису e0 задается матрицей S.

Заметим, что определитель det S матрицы S отличен от нуля. В самом деле, если det S = 0, то это означает линейную зависимость столбцов матрицы S и, следовательно, линейную зависимость элементов fe01; : : : ; e0ng (что невозможно, так как эти элементы образуют базис в X).

Проверим, что обратный переход от базиса e0 к базису e задается при помощи матрицы S 1, обратной к матрице S. Напомним, что S 1 = k jkkj;k=1:::n, где jk = Skj= det S, а через Sjk обозначено алгебраическое дополнение элемента jk матрицы S. Из уравнений (2.4) вытекает, что при m = 1; : : : ; n имеют место соотношения

требуемое утверждение.

Замечание. Пусть A = k j`k – некоторая скалярная k m-матрица и пусть X = kxj`k – m r-матрица, составленная из векторов xj` некоторого линейного пространства X. Тогда определена k r матрица AX = Y = kyj`k, где yj` = Pms=1 jsxs` при j = 1 : : : k и ` = 1 : : : r (элементами которой снова являются векторы из X). Нетрудно проверить (это оставляется в качестве упражнения), что (A1A2)X = A1(A2X) и A(X1+X2) = AX1+AX2 для любых скалярных матриц A, A1 и A2 и любых векторных матриц X, X1 и X2 соответствующего размера. Аналогичным образом определяется произведение XA векторной k m-матрицы X на скалярную m r-матрицу A и проверяется выполнение свойств X(A1A2) = (XA1)A2 и (X1 + X2)A = X1A + X2A для любых скалярных матриц A, A1 и A2 и любых векторных матриц X, X1 и X2 соответствующего размера.

Используя это наблюдение, формулу перехода от базиса e0 к базису e можно получить намного проще. В самом деле, так как e0 = eS, то e0S 1 = eSS 1 = eE = e, где E – это единичная n n-матрица, т.е. e = e0S 1.

Преобразование координат. Выясним теперь, как меняются координаты элемента x 2 X при переходе от базиса e к базису e0. Предположим, что такой переход осуществляется при помощи матрицы перехода S. Первым делом установим, что координатный столбец [x] = (x1; : : : ; xn)> некоторого вектора x 2 X в базисе e выражается через координатный столбец [x]0 = (x01; : : : ; x0n)> этого вектора в базисе e0 следующим образом

Так как матрица перехода S является невырожденной, то существует обратная матрица и из соотношения [x] = S[x]0 немедленно вытекает, что [x]0 = S 1[x]. Собирая вместе полученные в этом разделе утверждения мы может сформулировать следующий результат

Теорема 2.17. Пусть e и e0 – два базиса в n-мерном линейном пространстве X и пусть S – соответствующая матрица перехода, т.е. e0 = eS. Тогда матрица S невырождена, e = e0S 1, а для любого вектора x 2 X его координатные столбцы

[x] и [x]0 в базисах e и e0 соответственно, связаны соотношениями [x] = S[x]0 и

[x]0 = S 1[x].