Теорема 6.13 (теорема Гамильтона-Кэли). Если A – самосопряженный оператор,

аPA( ) = det(A E) – его характеристический многочлен, то PA(A) = 0.

Положительные операторы. Корни степени ` из оператора.

Определение. Самосопряженный оператор A 2 L(X; X) называется положительным, если для любого x 2 X выполняется неравенство hA x; xi 0. Если оператор A положителен и из условия hA x; xi = 0 вытекает, что x = 0, то оператор A называется положительно определенным. Положительность и положительная определенность оператора A обозначаются A 0 и A > 0 соответственно.

Так как из самосопряженности оператора A вытекает, что любое собственное значение оператора A можно представить в виде = hA x; xi для некоторого элемента x 2 X, kxk = 1, то каждое собственное значение положительного (соответственно, положительно определенного) оператора неотрицательно (соответственно, положительно).

Определение. Пусть ` – натуральное число. Корнем степени ` из оператора A 2

L(X; X) называется оператор B 2 L(X; X) такой, что B` = A. При этом корень p

степени ` из оператора A обозначается A1=` или ` A. При ` = 2 традиционно пишут p p

A вместо 2 A.

Теорема 6.14. Для любого положительного самосопряженного оператора A и для любого натурального числа ` существует положительный корень A1=` степени ` из оператора A.

Доказательство. Пусть 1 n – собственные значения оператора A и пусть fe1; : : : ; eng – ортонормированный базис в X, состоящий из соответствующих этим собственным значениям собственных векторов оператора A. Пусть, далее, Pk – проекторы на одномерные подпространства, порожденные векторами ek, k = 1; : : : ; n. Таким образом имеет место спектральное разложение оператора A:

n

X

A = k Pk :

k=1

Так как k 0 при k = 1; : : : ; n (в силу положительности оператора A), то можно определить линейный оператор

положительность которого немедленно вытекает из положительности проекторов Pk, k = 1; : : : ; n (проверка оставляется в качестве упражнения). Из свойств (1) и (2) проекторов (см. выше) вытекает, что B` = A и, следовательно, (положительный) оператор B и является корнем степени ` из оператора A.

Упражнение. Доказать, что для положительного самосопряженного оператора A существует единственный положительный оператор A1=`. Проверить, что в ортонор-

мированном базисе fe1; : : : ; eng составленном из собственных векторов оператора A p p

матрица оператора A1=` имеет вид Diagf ` 1; : : : ; ` ng.

6.5.Эрмитовы формы, критерии эрмитовости

Влекции 4 (см. раздел 4.6) было введено понятие полуторалинейной формы в эрмитовом пространстве. Кроме того, в Теореме 4.19 было установлено, что всякая полуторалинейная форма F может быть единственным образом представлена в виде

F(x; y) = hA x; yi;

где A 2 L(X; X) – некоторый линейный оператор.

Определение. Полуторалинейная форма F называется эрмитовой, если для любых x 2 X и y 2 X выполняется соотношение

F(x; y) = F(y; x):

Выясним два свойства эрмитовых форм, которые будут использоваться в дальнейшем.

Предложение 6.15. Пусть в комплексном евклидовом пространстве X задана полуторалинейная форма F и пусть A такой линейный оператор, что F(x; y) = hA x; yi при всех x; y 2 X. Тогда форма F является эрмитовой если и только если выполняется любое из следующих двух условий:

(1)Линейный оператор A является самосопряженным.

(2)F(x; x) 2 R для любого x 2 X.

Доказательство. Начнем с проверки того факта, что условие (1) эквивалентно эрмитовости формы F. Если оператор A самосопряженный, т.е., если A = A , то при всех x; y 2 X получаем

F(x; y) = hA x; yi = hx; A yi = hA y; xi = F(y; x):

Обратно, если форма F является эрмитовой, то при всех x; y 2 X имеют место равенства

hA x; yi = F(x; y) = F(y; x) = hA y; xi = hx; A yi;

т.е., оператор A является самосопряженным.

Утверждение (2) также эквивалентно эрмитовости формы F. В самом деле, эрмитовость формы F эквивалентна (по доказанному выше) самосопряженности оператора A, которая, в свою очередь, эквивалентна тому, что hA x; xi 2 R для любого x 2 X (см. Предложение 6.9). Остается напомнить, что F(x; x) = hA x; xi.

6.6.Случай евклидова пространства

Вэтом разделе мы кратко рассмотрим самосопряженные операторы и билинейные формы, определенные в (вещественном) евклидовом пространстве.

Пусть X – вещественное евклидово пространство размерности n 2 N со скалярным

произведением h ; i. Аналогично случаю (комплексного) эрмитова пространства для оператора A 2 L(X; X) вводится сопряженный оператор A : это такой оператор, что

hA x; yi = hx; A yi

при любых x; y 2 X. Как и в эрмитовом случае доказывается, что для любого линейного оператора существует единственный сопряженный оператор (что, как и в эрмитовом случае, оправдывает обозначение A ).

Предложение 6.16. Все корни характеристического многочлена самосопряженного оператора A, действующего в вещественном евклидовом пространстве X являются вещественными.

Доказательство. Выберем базис e = fe1; : : : ; eng в X и пусть A = (ajk) – матрица оператора A в этом базисе (ajk 2 R при j; k = 1; : : : ; n). Пусть = +i – корень характеристического уравнения det(A E) = 0. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений

n

X

ajkzk = zk; j = 1; : : : ; n;

k=1

относительно неизвестных z1; : : : ; zn, где = +i . Так как определитель этой системы равен нулю, то существует ненулевое решение zk = xk + iyk, k = 1; : : : ; n. Отделяя

вещественные и мнимые части соответствующих выражений получаем

Если A – самосопряженный, то hA x; yi = hx; A yi и, следовательно, вычитая первое равенство в (6.6) из второго получаем, что (hx; xi + hy; yi) = 0. Так как мы выбрали ненулевое решение zk = xk + iy + k исходной линейной системы, то величина в скобках не равна нулю. Следовательно, = 0, но = Im .

Доказательство следующего утверждения ничем не отличается от доказательства соответствующего утверждения в эрмитовом случае и оставляется в качестве упражнения:

Предложение 6.17. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор в (вещественном) евклидовом пространстве X. Тогда в X существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Билинейные формы в евклидовом пространстве. Понятие полуторалинейной формы, введенное в эрмитовых пространствах в случае евклидова пространства видоизменяется в понятие билинейной формы. Билинейные формы определяются практически аналогично полуторалинейным, только свойство антилинейности по второму аргументу сводится (в силу вещественности коэффициентов) к соответствующему свойству линейности.

Определение. Функция F : X X ! X называется билинейной формой на X, если для любых элементов x; y; z 2 X и для любого 2 R верны равенства

(1) F(x + y; z) = F(x; z) + F(y; z);

(2) F(x; y + z) = F(x; y) + F(x; z);

(3) F( x; y) = F(x; y) = F(x; y).

Полезно выделить некоторые специальные классы билинейных форм.

Определение. Билинейная форма F называется симметричной, если для всех x 2 X и y 2 X выполнено равенство F(x; y) = F(y; x). Билинейная форма F на X называется кососимметричной, если F(x; y) = F(y; x) для всех x; y 2 X.

Заметим, что симметричные билинейные формы являются аналогом эрмитовых форм в случае вещественного пространства. Кроме того, каждая билинейная форма F может быть представлена в виде суммы F = F1 + F2, где

–кососимметричная билинейная форма.

Аналогично Теореме 4.19 доказывается утверждение о том, что всякая билинейная форма F на евклидовом пространстве X может быть представлена в виде F(x; y) = hA x; yi, где A – некоторый, действующий в X, линейный оператор. Это утверждение предлагается доказать в качестве упражнения. Следующее свойство билинейных форм является аналогом Предложения 6.15

Предложение 6.18. Пусть F – билинейная форма, определенная на вещественном евклидовом пространстве X и пусть A 2 L(X; X) такой линейный оператор, что F(x; y) = hA x; yi при всех x; y 2 X. Тогда форма F является симметричной если и только если оператор A самосопряженный.

В самом деле, из самосопряженности оператора A вытекает симметричность формы F так как F(x; y) = hA x; yi = hx; A yi = hx; A yi = hA y; xi = F(y; x) для любых

x; y 2 X. Проверка обратного утверждения оставляется в качестве упражнения.