Понятие о тензорах

соответствие вектор yF;x. Из линейности F по обоим аргументам вытекает, что отображение AF : x 7!yF;x определяет линейный оператор AF , действующий на X. Таким образом, линейные операторы могут быть отождествлены с тензорами типа (1; 1).

Легко сообразить, что тензоры типа (0; 0) – числа из C (основного поля, над которым определено линейное пространство X). Ясно также, что тензор типа (0; 2) – это билинейная форма на пространстве X .

Итак, нами описаны все тензоры типа (p; q) валентности p + q 6 2.

F (x1; : : : ; xp; f1; : : : ; fq) = 1F1(x1; : : : ; xp; f1; : : : ; fq) + 2F2(x1; : : : ; xp; f1; : : : ; fq)

при всех x1; : : : ; xp 2 X и f1; : : : ; fq 2 X . Непосредственно из определения тензора как полилинейного отображения вытекает следующий факт

Предложение. Tp;q(X) является (комплексным) линейным пространством.

Тензорное произведение. Определим теперь одну из наиболее важных операций тензорной алгебры – операцию тензорного произведения. Пусть F 2 Tp;q(X), а G 2

Tu;v(X), u; v > 0 – целые числа. Определим тензор H типа (p + u; q + v) следующим образом:

H(x1; : : : ; xp; xp+1; : : : ; xp+u; f1; : : : ; fq; fq+1; : : : ; fq+v) =

= F (x1; : : : ; xp; f1; : : : ; fq)G(xp+1; : : : ; xp+u; fq+1; : : : ; fq+v);

для всех x1; : : : ; xp; xp+1; : : : ; xp+u 2 X и f1; : : : ; fq; fq+1; : : : ; fq+v 2 X . Тот факт, что последнее выражение в самом деле определяет полилинейное отображение пространства Xp+u X q + v в C непосредственно вытекает из определения тензора (примененное к F и G, проверка деталей оставляется в качестве упражнения).

Определение. Тензор H называется (тензорным) произведением тензоров F и G и обозначается H = F G.

Непосредственно из определения тензорного произведения вытекает, что эта операция обладает следующими свойствами, проверка которых оставляется в качестве

упражнения:

Предложение. Для любых тензоров F1; F2; G и для любых чисел 1; al2:

(1)( 1F1 + 2F2) G = 1F1 G + 2F2 G;

(2)G ( 1F1 + 2F2) = 1G F1 + 2G F2.

Пример 11.1. Пусть f; g 2 X (линейные функционалы на X, т.е. тензоры типа (1; 0)), а a 2 X (вектор из X, т.е. тензор типа (0; 1);). Тогда тензор F = f g a типа (2; 1) определяется следующим образом

F (x; y; ') = f(x)g(y)'(a);

где x; y 2 X, ' 2 X .

Замечание. Непосредственно из определения тензорного произведения вытекает, что эта операция не является коммутативной, т.е., в общем случае, F G 6= G F .

Координаты тензоров. Выберем в пространстве X базис e = fe1; : : : ; eng, а в пространстве X выберем двойственный к базису e базис = f'1; : : : ; 'ng (заметим, что для нумерации векторов двойственного базиса использован верхний индекс; смысл этого обозначения станет ясен несколько позже). Напомним, что двойственность базисов e и заключается в том, что 'k(ej) = jk при всех j; k = 1; : : : ; n (здесь и далее символом jk обозначается введенных выше символ Кронекера, который раньше обозначался j;k).

e будем обозначать символами x , j = 1; : : : ; n (в отличии от предыдущего изложения, где для этого использовались нижние индексы). Аналогично, для любого линейного функционала f 2 X его координаты относительно базиса будем обозначать символами fk, k = 1; : : : ; n.

Таким образом, нами зафиксирована следующая система обозначений: базисные векторы нумеруются нижними индексами, базисные функционалы – верхними. Кроме того, координаты векторов нумеруются верхними индексами, а координаты линейных функционалов – нижними индексами.

индекс появляется сверху с снизу, то это будет обозначать суммирование по этому индексу при его значениях, изменяющихся от 1 до n. Например, результат действия функционала f на вектор x вычисляется по формуле

а последнее выражение, согласно нашей договоренности о суммировании по повторяющимся верхним и нижним индексам запишется в виде fjxj, т.е. f(x) = fjxj.

Приведем еще два примера использования сокращенной записи суммирования. Во-первых, пусть A = (ajk) – некоторая n n-матрица (при такой записи матрицы

верхний индекс j соответствует номеру строки, а нижний индекс k – номеру столбца).

где все индексы j1; : : : ; jp; k1; : : : ; kq принимают все значения из диапазона 1; : : : ; n.

Заметим, что числа F k1;:::;kq – это значения тензора F на соответствующих базисных

j1;:::;jp

векторах из базиса e и линейных функционалах из двойственного базиса .

Для того, чтобы подтвердить корректность использования термина координаты для

Базис в Tp;q(X), соответствующий базису e. Рассмотрим набор тензоров

где все индексы j1; : : : ; jp; k1; : : : ; kq принимают все значения из диапазона 1; : : : ; n. Каж-

Из этого равенства вытекает, что если f k1;:::;kq g – какой-либо набор чисел, для ко-

j1;:::;jp

торого выполняется равенство (в котором использовано принятое выше соглашение о суммировании по повторяющимся верхним и нижним индексам)

k1;:::;kq !j1;:::;jp = 0; j1;:::;jp k1;:::;kq

то k1;:::;kq = 0 для любых значений индексов j1; : : : ; jp; k1; : : : ; kq из диапазона 1; : : : ; n

j1;:::;jp

(детали этой проверки оставляются в качестве упражнения). Т.е., тензоры !j1;:::;jp

k1;:::;kq

линейно независимы.

Остается заметить, что из определения чисел F k1;:::;kq немедленно вытекает, что

j1;:::;jp

наты тензора F .

Изменение координат тензора при смене базиса. Пусть e = fe1; : : : ; eng –

S 1), что A = SASe 1 или Ae = S 1AS. А последняя формула (см. Теорему 4.12) – это известная формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса.

Аналогично разбирается пример, когда B – билинейная форма (т.е. тензор типа