- •Раздел 1. Предварительные сведения
- •1.1. Множества и отображения
- •1.2. Отношения эквивалентности, факторизация множеств и отображений
- •1.3. Отношения порядка, упорядоченные множества
- •1.4. Понятие числового поля
- •1.5. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейные пространства
- •2.1. Понятие линейного пространства
- •2.2. Линейная зависимость векторов в линейном пространстве
- •2.3. Базис и размерность линейного пространства
- •2.4. Изоморфизм линейных пространств
- •2.5. Подпространства линейных пространств
- •2.6. Факторпространства линейных пространств
- •2.7. Преобразование координат при преобразовании базиса конечномерного линейного пространства
- •Раздел 3. Евклидовы и эрмитовы пространства
- •3.1. Определение и основные свойства евклидовых пространств
- •3.2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства
- •3.3. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы
- •3.4. Эрмитовы пространства
- •Раздел 4. Линейные операторы
- •4.1. Определение и основные свойства линейных операторов
- •4.2. Ядро и образ линейного оператора
- •4.3. Матричная запись линейных операторов
- •4.4. Инвариантные подпространства линейных операторов
- •4.5. Характеристический многочлен, собственные числа и собственные векторы линейных операторов
- •4.6. Линейные функционалы и полуторалинейные формы в эрмитовом пространстве
- •4.7. Норма линейного оператора
- •Раздел 5. Двойственное пространство. Сопряженный оператор
- •5.1. Двойственное пространство и двойственный базис
- •5.2. Случай эрмитова пространства
- •5.3. Рефлексивность
- •5.4. Условия линейной независимости
- •5.5. Общее понятие сопряженного оператора
- •Раздел 6. Самосопряженные линейные операторы
- •6.1. Линейные самосопряженные операторы в эрмитовом пространстве
- •6.2. Матрица самосопряженного оператора
- •6.3. Самосопряженные операторы в эрмитовых пространствах с точки зрения общего понятия сопряженного оператора
- •6.4. Свойства самосопряженных операторов
- •6.5. Эрмитовы формы, критерии эрмитовости
- •6.6. Случай евклидова пространства
- •Раздел 7. Канонический вид линейный операторов
- •7.1. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
- •7.2. Канонический вид линейных операторов
- •7.3. Нормальные операторы
- •7.4. Унитарные и ортогональные операторы
- •Раздел 8. Билинейные и квадратичные формы в вещественных пространствах
- •8.1. Матрица билинейной формы
- •8.2. Квадратичные формы
- •8.3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
- •8.4. Закон инерции квадратичных форм
- •8.5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •Раздел 9. Гиперповерхности второго порядка
- •9.1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка
- •9.2. Инварианты уравнения гиперповерхности второго порядка
- •9.3. Упрощение уравнения гиперповерхности второго порядка аффинными преобразованиями
- •9.4. Классификация уравнений центральных гиперповерхностей второго порядка
- •Раздел 10. Дополнительный материал
- •10.1. Решение проблемы собственных значений методом вращений
- •10.2. Псевдообратная матрица
- •10.3. Минимальный многочлен линейного оператора
- •10.4. О структуре канонической матрицы линейного оператора
- •Раздел 11. Понятие о тензорах
- •11.1. Определение и основные свойства тензоров
- •11.2. Случай евклидова пространства. Метрический тензор
- •11.3. Основные операции над тензорами
- •Раздел 12. Программа и задачи к экзамену
- •12.1. Программа экзамена
- •12.2. Задачи к экзамену
6.4. СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ |
69 |
где '1; : : : ; 'n – координаты элемента f 2 X относительно базиса be = fe1; : : : ; eng (см. раздел 5.2). Аналогично, если '1; : : : ; 'n – координаты относительно этого же базиса элемента A f, то 'j = Pnk=1 ajk'k и
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A f |
|
|
XX |
|
|
|
|
XX |
|
|
|
|
XXk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h |
x |
i |
= |
x |
a |
|
|
= |
|
a |
x |
|
|
= |
|
a |
|
x |
|
|
= |
h |
f |
A x |
: |
|
' |
k |
' |
j |
|
jk |
' |
j |
|||||||||||||||||||
j |
|
|
j |
jk |
|
|
|
kj k |
|
|
|
|
k |
|
|
j |
i |
|
||||||||
|
|
|
|
j=1 k=1 |
|
|
|
|
j=1 k=1 |
|
|
|
|
j=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, исходя из определения сопряженного оператора, данного в этой лекции для случая операторов, действующих в эрмитовых пространствах, мы получили
следующее равенство
hA fjxi = hfj A xi
для канонического спаривания между X и X. Таким образом, оператор A является сопряженным к A и с точки зрения общего понятия сопряженного оператора.
Замечание. Всюду в дальнейшем, работая с сопряженными и самосопряженными операторами в эрмитовых пространствах мы будем использовать определение, данное специально для этого случая.
6.4. Свойства самосопряженных операторов
Напомним, что в разделе 4.7 понятие нормы оператора было введено и изучено для линейных операторов, действующих в линейном нормированном пространстве.
Оказывается, что в случае самосопряженного оператора, действующего в эрмитовом пространстве X, существует следующая удобная в формула для вычисления нормы.
Предложение 6.8. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор. Тогда
k A k = supfjhA x; xij : x 2 X; kxk = 1g:
Доказательство. Для произвольного элемента x 2 X справедливо следующее неравенство, которое непосредственно вытекает из неравенства Коши-Буняковского:
jhA x; xij k A xkkxk:
Далее, с учетом неравенства k A xk k A kkxk получаем, что
jhA x; xij k A kkxk2:
Из этого неравенства вытекает, что число = supfjhA x; xij : x 2 X; kxk = 1g удовлетворяет неравенству k A k. Так как при y 2 X и y 6= 0 имеет место равенство
hA y; yi = kyk2 |
A kyk ; |
kyk ; |
|
|
|
y |
y |
то, учитывая определение числа получаем, что
jhA y; yij kyk2:
Из свойств скалярного произведения легко выводится следующее соотношение (проверка которого оставляется в качестве упражнения):
4 RehA x; yi = hA(x + y); x + yi hA(x y); x yi; x; y 2 X:
Из этого неравенства вытекает, что
4j RehA x; yij kx + yk2 + kx yk2 = 2 (kxk2 + kyk2):
Применяя это неравенство при kxk = kyk = 1 получаем j RehA x; yij :
Остается в этом неравенстве положить y = A x=k A xk (ясно, что kyk = 1) и учитывая, что число hA x; A xi = k A xk2 является вещественным, получить неравенство k A xkпри kxk = 1. По определению нормы линейного оператора из последнего неравенства
6.4. СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ |
70 |
вытекает, что k A k . Так как ранее было показано, что k A k, то окончательно получаем, что
k A k = = supfjhA x; xij : x 2 X; kxk = 1g:
Критерий самосопряженности линейного оператора.
Предложение 6.9. Оператор A 2 L(X; X) является самосопряженным тогда и только тогда, когда hA x; xi 2 R для любого x 2 X.
Доказательство. Как было показано при доказательстве Предложения 6.5(1), если оператор A самосопряженный, то hA x; xi 2 R для любого x 2 X.
Докажем теперь обратное утверждение. На основании Предложения 6.3 оператор A может быть записан в виде A = AR +i AI , где AR и AI – самосопряженные операторы. Отсюда, для произвольного x 2 X, получаем, что hA x; xi = hAR x; xi + ihAI x; xi и, так как AR и AI – самосопряженные операторы, то hAR x; xi 2 R и hAI x; xi 2 R и, следовательно,
RehA x; xi = hAR x; xi; ImhA x; xi = hAI x; xi:
Теперь, если hA x; xi 2 R, то для любого x 2 X имеет место равенство hAI x; xi = 0. В силу Предложения 6.8 из этого вытекает, что k AI k = 0 и, следовательно, AI = O. Следовательно, A = AR и таким образом, A является самосопряженным.
Свойства собственных значений самосопряженных операторов. Начнем со следующего наблюдения: Любое собственное значение самосопряженного оператора A, действующего в эрмитовом пространстве X может быть представлено в виде= hA x; xi для некоторого элемента x 2 X с условием kxk = 1. В самом деле, если
– собственное значение для A, то существует собственный вектор w, соответствующий этому собственному значению, причем, по определению, w 6= 0. Итак, A w = w. Пусть
k |
k. |
2 |
h |
A x; x |
i |
= |
x = w= w |
|
При этом легко проверить, что A x = x и, следовательно, |
|
|
hx; xi = kxk = .
Пусть теперь A – произвольный самосопряженный оператор и пусть
m := inffhA x; xi : x 2 X; kxk = 1g; M := supfhA x; xi : x 2 X; kxk = 1g:
Тогда для любого собственного значения оператора A справедливо неравенство mM (эти неравенства имеют смысл так как собственные значения самосопряженного оператора вещественны).
Так как скалярное произведение hA x; xi представляет собой непрерывную функцию от x, то на замкнутом множестве fx 2 X : kxk = 1g эта функция ограничена и достигает своих точной верхней грани M и своей точной нижней грани m.
Неравенство m M вытекает из того, что каждое собственное значение самосопряженного оператора A представляется в виде = hA x; xi для некоторого элемента x 2 X с условием kxk = 1.
Теорема 6.10. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор. Тогда
(1)Если дополнительно hA x; xi 0 для любого элемента x 2 X, то число k A k является наибольшим собственным числом оператора A.
(2)Числа m и M, определенные выше, являются наименьшим и наибольшим собственными значениями оператора A.
Утверждение (1) Теоремы 6.10 целесообразно сравнить с утверждением, полученным в Примере 4.26. Доказательство Теоремы 6.10 удобно объединить с доказательством следующего утверждения.
Теорема 6.11. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор в n-мерном эрмитовом пространстве X. Тогда у оператора A существует n линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов.
6.4. СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ |
71 |
Доказательство Теорем 6.10 и 6.11. Начнем с доказательства первого утверждения Теоремы 6.10. Из Предложения 6.8 следует, что k A k = supkxk=1 jhA x; xij.
Так как hA x; xi 0 для любого элемента x 2 X, то k A k = supkxk=1hA x; xi. Так как скалярное произведение hA x; xi представляет собой непрерывную функцию от
x, то найдется элемент x0 2 X такой, что kx0k = 1 и hA x0; x0i = k A k. Пусть теперь 0 := k A k. Тогда k A k = hA x0; x0i = k A x0k. В самом деле, в силу выбора x0, k A k = hA x0; x0i jhA x0; x0ij k A x0k kx0k = k A x0k и k A x0k k A k kx0k = k A k. Отсюда вытекает, что
k(A 0 E)x0k2 = k A x0k2 2 0hA x0; x0i + 20kx0k2 = k A k2 2k A kk A k + k A k2 = 0:
Таким образом, (A 0 E)x0 = 0 или A x0 = 0x0 и, окончательно, 0 = k A k является собственным значением оператора A. То, что 0 – наибольшее собственное значение вытекает из утверждений, приведенных в начале раздела.
Докажем теперь второе утверждение Теоремы 6.10. Для этого нам достаточно проверить, что числа m и M являются собственными значениями оператора A. Первым делом проверим, что собственным значением является число M. Рассмотрим самосопряженный оператор B = A m E. Заметим, что
hB x; xi = hA x; xi mhx; xi 0
для любого x 2 X. Таким образом, оператор B удовлетворяет условиям первого утверждения теоремы. Следовательно, число k B k равно максимальному собственному значению оператора B. Отсюда
k B k = sup hB x; xi = sup hA x; xi m = M m:
kxk=1 kxk=1
Итак, число M m – собственное значение оператора B. Это означает, что существует ненулевой вектор x0 такой, что B x0 = (M m)x0. Так как B = A m E, то B x0 = A x0 mx0. Следовательно A x0 mx0 = Mx0 mx0 и, окончательно, A x0 = Mx0 и M является собственным значением оператора A.
Для того, чтобы проверить, что число m является собственным значением оператора A рассмотрим оператор A1 = A. Число m – это верхняя грань величины hA1 x; xi при kxk = 1. По доказанному выше, число m – собственное значение оператора A1 и, следовательно, число m – собственное значение оператора A.
Нам остается доказать Теорему 6.11. Пусть 1 – максимальное собственное значение оператора A и пусть e1 – соответствующий этому собственному значению собственный вектор, нормированный условием ke1k = 1 (в начале данного раздела были приведены аргументы, подтверждающие возможность такого выбора вектора e1.
Определим подпространство X1 X состоящее из всех элементов x 2 X, ортогональных e1. Так как e1 – собственный вектор, то X1 – A-инвариантное подпространство (проверка этого простого факта оставляется в качестве упражнения). Ограничение оператора A на подпространство X1 – это самосопряженный оператор, действующий на X1. У этого оператора также имеется максимальное собственное значение 2 и соответствующий собственный вектор e2 2 X1 такой, что ke2k = 1. Ясно, что e2 ? e1 (значок ? обозначает ортогональность). Пусть теперь подпространство X2 состоит из всех элементов x 2 X таких, что x ? e1 и x ? e2. В этом подпространстве мы найдем следующий собственный вектор e3. Повторив описанную процедуру еще n 3 раза мы построим требуемую системы взаимно ортогональный собственных векторов.
Замечание. В дальнейшем собственные значения 1; : : : ; n (рассматриваемые с учетом их кратности) самосопряженного оператора, действующего в n-мерном евклидовом пространстве, будем нумеровать в порядке убывания их значений: 1 2
n. В этом случае, соответствующие собственные векторы e1; : : : ; en можно выбрать так, что будут иметь место соотношения hej; eki = jk, j; k = 1; : : : ; n.
6.4. СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ |
72 |
При доказательстве Теоремы 6.11 было неявным образом установлено следующее утверждение: если 1 n – собственные значения самосопряженного оператора A, то при k = 2; : : : ; n справедливо соотношение
hA x; xi
k = max hx; xi : x ? Spanfe1; : : : ; ek 1g :
На самом деле можно утверждать больше. А именно имеет место следующее важное свойство собственных значений самосопряженных операторов. При натуральном k n обозначим через Sk(X) совокупность всех k-мерных подпространств пространства X.
Теорема 6.12. Пусть A 2 L(X; X) – самосопряженный оператор и пусть 1
n – его собственные значения. Тогда, при k = 2; : : : ; n имеет место равенство
k = min max |
hA x; xi |
: |
V2Sk 1(X) x?V hx; xi |
|
Доказательство. Как было установлено в Замечании, приведенном после доказательства Теоремы 6.11,
k = max hA x; xi;
x?Vk 1 hx; xi
где Vk 1 = Spanfe1; : : : ; ek 1g. Соответственно, для доказательства теоремы нам необходимо проверить, что для любого V 2 Sk 1(X) имеет место неравенство
max |
hA x; xi |
max |
hA x; xi |
= |
|
(6.3) |
x?V hx; xi |
x?Vk 1 |
hx; xi |
|
k |
(другим словами, надо показать, что требуемый в условии теоремы минимум достигается именно на подпространстве Vk 1). Будем доказывать соотношение (6.3). Пусть V?
– ортогональное дополнение подпространства V. При этом dim V? = n k + 1. Далее, dim V? + dim Vk = n k + 1 +k = n+ 1 > n и, следовательно, в подпространстве V? \Vk
содержится ненулевой элемент. |
Следовательно, существует элемент x |
k такой, что |
||||||
ke |
P |
k |
|
e |
2 V |
|||
e |
e |
e |
|
|
|
|||
x ? V и kxk = 1. Так как x 2 Vk, то x = |
|
j=1 cjej. Так как kxk = 1, а базис fe1; : : : ; ekg |
||||||
– ортонормированный, то |
Xj |
|
|
|
e |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
|
|
|
jcjj2 = kxk2 |
= 1 |
|
|||
|
|
|
=1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(проверка первого равенства оставляется в качестве упражнения). Далее, так как ek, k = 1; : : : ; n – собственные векторы для A, соответствующие собственным значениям
1; : : : ; n, то
|
A x = A |
=1 cjej! = j=1 cj A ej = j=1 cj jej: |
|
|
|||||||||
|
|
k |
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
Отсюда, учитывая взаимнуюe |
Xj |
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|||
ортогональность собственных векторов ek, k = 1; : : : ; n, |
|||||||||||||
неравенства 1 k 1 k и соотношения (6.4) получаем |
|
|
|||||||||||
hA x; xi = * =1 cj |
jej; r=1 crer+ = j=1 jjcjj2 k j=1 jcjj2 |
= k: |
|||||||||||
e e |
k |
k |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
||
Xj |
X |
|
X |
|
|
X |
|
|
|||||
Теперь, для любого ненулевого x 2 V имеем |
|
|
h |
|
|
i |
|
|
|||||
x?V |
hhx; xii |
= x?V |
|
x |
|
|
x |
|
|
k |
|
||
max |
A x; x |
max |
A |
x |
; |
|
x |
|
A x; x |
|
|
; |
|
откуда вытекает соотношение (6.3). |
|
k |
k |
k k |
|
|
e e |
|
|
|
6.4. СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ |
73 |
Спектральное разложение самосопряженных операторов. Пусть A – самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве X и имеющий собственные значения 1 n. Пусть e1; : : : ; en – ортонормированный базис в X, состоящий из собственных векторов оператора A, соответствующих собственным значениям 1; : : : ; n. Пусть x 2 X. Тогда, как было показано выше,
n
X
x = hx; ekiek
k=1
и, так как A ek = kek при k = 1; : : : ; n, то
n
X
A x = khx; ekiek:
k=1
Определение. Оператор Pk, k = 1; : : : ; n, определенный соотношением
Pk x = hx; ekiek;
назовем проектором на одномерное подпространство, порожденное вектором ek.
Упражнение. Проверить, что оператор Pk, k = 1; : : : ; n, является самосопряженным линейным оператором.
Пусть k; j = 1; : : : ; n. Тогда |
|
h |
|
ih |
i |
|
|
|
при j 6= k |
|
h |
i |
|
|
|
0; |
|||||
(Pj Pk)x = Pj(Pk x) = Pj( |
x; ek |
ek) = |
|
x; ek |
|
ek; ej |
ej = |
|
hx; ejiej; |
при j = k |
Таким образом, проекторы обладают следующими свойствами
(1)P2k = Pk и, следовательно, P`k = P для любого ` 2 N;
(2)Pj Pk = O при k 6= j.
(3)Каждый проектор Pk, k = 1; : : : ; n, коммутирует с любым оператором, с которым коммутирует A.
Далее, для элементов x 2 X и A x по определению проектора получаем
n |
n |
|
X |
Xk |
(6.5) |
x = Pk x |
и A x = k Pk x: |
|
k=1 |
=1 |
|
Из этих равенств, во-первых, следует, что
n
X
Pk = E :
k=1
Во-вторых, из равенств (6.5) мы получаем так называемое спектрально разложение са-
мосопряженного оператора
n
X
A = k Pk :
k=1
Заметим, что из свойств (1) и (2) проекторов вытекает, что для любого натурального
` имеет место
n
X
A` = `k Pk :
k=1
Рассмотрим теперь произвольный полином P (x) = arxr + +a1x+a0 и, по определению положим P (A) = ar Ar + + a1 A +a0 E. Используя спектральное разложение для оператора A и приводя подобные слагаемые получаем, что P (A) = Pnk=1 P ( k) Pk.
Имеет место следующее утверждение, доказательство которого непосредственно вытекает из определения спектрального разложения и из утверждения Теоремы 4.13 о том, что собственные числа линейного оператора являются корнями его характеристического многочлена.