Гиперповерхности второго порядка

Кроме матрицы A будем также рассматривать матрицу

n

X

c0 = (b0k + bk)xek + c:

k=1

Преобразование уравнения (9.1) при ортогональном преобразовании.

Пусть задано некоторое ортогональное преобразование пространства X и пусть S – матрица этого преобразования. Пусть e0 = eS. Тогда [x]e = S[x]e0 и уравнение (9.1) преобразуется следующим образом

A(x; x) + 2 B(x) + c = [x]>e A[x]e + 2[x]>e [b] + c =

= (S[x]e0)>A(S[x]0e) + 2(S[x]e0)>[b] + c = [x]>e0(S 1AS)[x]e0 + 2[x]>e0(S 1[b]) + c; (9.2)

где учтено, что S 1 = S> так как S – ортогональная матрица.

Заметим, что матрица квадратичной формы при ортогональном преобразовании изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Проверим, что оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы A(x; x) является самосопряженным. В самом деле, пусть A(x; y)

– симметричная билинейная форма, полярная для квадратичной формы A(x; x). В силу Предложения 6.18 билинейная форма A(x; y) может быть представлена в виде A(x; y) = hA x; yi, где A – самосопряженный оператор (здесь мы используем одно обозначение A для квадратичной формы, полярной ей симметричной билинейной формы и соответствующего самосопряженного оператора; во всех трех случаях не возникает сомнений, какой объект имеется в виду в каждом конкретном соотношении). Следовательно, рассматриваемая квадратичная форма может быть записана в виде

n

X

ajk = A(ej; ek) = hA ej; eki = a0jrher; eki = a0jk r=1

для всех j; k = 1; : : : ; n. Итак матрицы квадратичной формы A( ; ) и соответствующего самосопряженного оператора A в базисе e совпадают.

9.2. Инварианты уравнения гиперповерхности второго порядка

Определение. Назовем инвариантом уравнения (9.1) такую функцию от коэффициентов уравнения (9.1), которая не меняется при аффинных преобразованиях.

Имеет место следующее утверждение

Теорема 9.1. Коэффициенты характеристического многочлена матрицы A и, в частности, ее определитель det A и след Tr A, а также определитель det B матрицы B являются инвариантами уравнения (9.1).

Доказательство. Ясно, что нам достаточно проверить инвариантность указанных величин при параллельном переносе и при ортогональном преобразовании по отдельности.

Как уже было установлено, при параллельном переносе матрица A и, следовательно, все ее характеристики не меняются.

Проверим инвариантность величины det B при параллельном переносе. Пусть при параллельном переносе x = x0 + xe матрица B преобразуется в матрицу B0 и

Последнее равенство получается следующим образом: из последней строчки матрицы B0 вычитаем первую строку, умноженную на xe1, вторую, умноженную на xe2 и так далее, до предпоследней строки, умноженной на xen. Напомним, что такие преобразования матрицы не меняют значения ее определителя. Далее, вычитая из последнего столбца уже полученной матрицы первые n столбцов, умноженных, соответственно, на числа xe1; : : : ; xen получаем, что det B0 = det B (проверка оставшихся деталей оставляется в качестве упражнения.

Рассмотрим теперь случай ортогонального преобразования. Выше было показано, что при таком преобразовании матрица A изменяется как матрица некоторого линейного оператора и, следовательно, характеристический многочлен матрицы A при ортогональном преобразовании не меняется.

Остается проверить инвариантность величины det B при ортогональном преобразовании. Предположим, что соответствующее ортогональное преобразование задано (ортогональной) матрицей S. Пусть матрица Q задана следующим образом

S 0

Q := 0 1 ;

где 0 – n 1 и 1 n блоки, состоящие из нулей. Как нетрудно проверить, матрица Q является ортогональной (т.е. Q 1 = Q>). Следовательно, соответствующее преобразование является ортогональным.

Заметим, что матрица B преобразуется при ортогональном преобразовании с матрицей S так же, как матрица B, рассматриваемая как матрица квадратичной формы, преобразуется при преобразовании с матрицей Q. А так как определитель матрицы квадратичной формы не меняется при ортогональном преобразовании, то величина det B инвариантна.

Следствие 9.2. Величины rg A и rg B также являются инвариантами уравнения гиперповерхности второго порядка (9.1).

Этот факт непосредственно вытекает из рассуждений, использовавшихся при доказательстве теоремы 9.1.

9.3. Упрощение уравнения гиперповерхности второго порядка аффинными преобразованиями

1. Перейдем непосредственно к упрощению общего уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи параллельного переноса и ортогональных преобразований. Первым делом рассмотрим следующий вопрос: найти такой параллельный перенос, при котором линейная часть уравнения будет содержать только свободный член.

Итак, нам необходимо найти параллельный перенос при котором все коэффициенты b0k = 0, k = 1 : : : n. Используя выражения этих коэффициентов через элементы исходной матрицы B и координаты элемента xe, задающего параллельный перенос получаем, что

Этот набор уравнений представляет систему линейных уравнений относительно неизвестных xe1; : : : ; xen с матрицей A.

Эта система уравнений называется уравнениями центра гиперповерхности второго по-

рядка

(или, для краткости, уравнениями центра), а элемент xe = (xe1; : : : ; xen)> – решение

уравнений центра (если он существует) – называется центром гиперповерхности второго порядка, заданной уравнением (9.1).

Здесь мы сознательно допускаем некоторую терминологическую неточность – мы рассматриваем уравнение (9.1), а не геометрический объект, но в данном случае это упрощает изложение и не приводит к недоразумениям.

Пусть для уравнения (9.1) соответствующая система уравнений центра имеет реше-

j;k=1

Заметим также, что в случае существования центра xe, коэффициент c0 уравнения (9.3), где x = x0 + xe, может быть вычислен по формуле

c0 = det B= det A:

Это немедленно вытекает из инвариантности величин det A и det B и вида матрицы

B0.

Определение. Если уравнения центра имеют единственное решение, то соответствующее уравнение (9.1) называется уравнением центральной гиперповерхности второго порядка. В противном случае уравнение (9.1) называется уравнением нецентральной гиперповерхности второго порядка.

Итак, уравнение центральной гиперповерхности второго порядка после параллельного переноса x = x0 + xe (где xe – центр) запишется в виде (опускаем “штрихи” в