11.2. СЛУЧАЙ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

Вернемся теперь к самым простым тензорам – к векторам (т.е. к тензорам типа (0; 1)) и к линейным функционалам (т.е. к тензорам типа (1; 0)). Пусть x = xjej = xejej

– вектор из X, а f = fj'j = fej'ej – линейный функционал из X . Тогда

xj = j xk; fj = j`fe`: ke

Эти равенства в матричном виде записываются следующим образом: [x]e = S[x]e и [f] = T >[f]e. Так как T > = S 1, то последние равенства переписываются соответ-

ственно в виде [x]e = S 1[x]e и [f]e = S[f] .

Таким образом, при переходе от базиса e к базису e координаты линейных функционалов (т.е. тензоров типа (1; 0)) преобразуются при помощи матрицы S перехода от базиса e к базису e. Другими словами, они преобразуются “согласовано” с преобразованием базиса или, используя стандартную терминологию в этой области математики,

ковариантно.

Координаты же векторов (т.е. тензоров типа (0; 1)) преобразуются при помощи матрицы S 1 (обратной к матрице перехода S). В этом случае говорят, что координаты преобразуются контравариантно.

В связи с этими наблюдениями оправдано следующее определение.

Определение. Нижние индексы координат тензора F типа (p; q) называют ковариантными, а верхние – контравариантными. Сам тензор F типа (p; q) называют p раз ковариантным и q раз контравариантным тензором.

Замечание. В рамках тензорной терминологии линейные функционалы часто называют ковариантными векторами, или ковекторами.

Операции над тензорами в координатном виде. В качестве упражнений

предлагается проверить, что если F; G 2 Tp;q(X), H 2 Tu;v(X), а a; b 2 C, то

вольной природы, изменяющиеся при замене базиса в пространстве X согласно правила (11.1).

Упражнение. Проверить, что символ Кронекера kj является тензором типа (1; 1), соответствующим тождественному линейному оператору, действующему в X.

11.2. Случай евклидова пространства. Метрический тензор

Пусть теперь X – (вещественное) евклидово n-мерное пространство со скалярным произведением

hx; yi = g(x; y) = gjkxjyk;

где g – положительно определенная симметричная билинейная форма в X (т.е.тензор типа (2; 0)), gjk = g(ej; ek), e = fe1; : : : ; eng – некоторый базис в X, а xj и yk – координаты векторов x и y относительно базиса e.

Определение. Тензор g = (gjk) называется метрическим тензором (пространства X).

Таким образом, компоненты метрического тензора – это элементы матрицы Грама исходного базиса в X относительно скалярного произведения, заданного формой g. Следовательно, матрица G = (gjk) является невырожденной (см. Теорему 3.8).

Введем понятие базиса в X, взаимного для базиса e. Это понятие естественно вводится в евклидовом пространстве.

Определение. Базис e0 = fe1; : : : ; eng в X называется взаимным базисом для базиса e, если hej; eki = kj .

Предложение. Для любого базиса e в X существует единственный взаимный базис.

Доказательство. В самом деле, если

ej = "j1e1 + + "jnen;

то, умножая скалярно обе части этого равенства на векторы e` при ` = 1; : : : ; n и учитывая, что hej; eki = kj , а hej; eki = gjk получим систему уравнений

"j1g1` + + "jngn` = `j:

Матрица этой системы – это матрица Грама исходного базиса e. Следовательно, рассматриваемая система всегда имеет единственное решение, которое и определяет базис, взаимный к базису e.

Далее, если мы рассмотрим систему линейных функционалов = f'1; : : : ; 'ng определенным соотношениями 'j(x) = hej; xi, то будет базисом в X , сопряженным к базису e. Таким образом, пространства X и X изоморфны.

Пусть теперь gjk = g(ej; ek). В этом случае (gjk) – это тензор типа (0; 2), который называется метрическим тензором пространства X .

Упражнение. Показать, что gj`g`k = kj .

11.3. Основные операции над тензорами

Пусть, как и в начале этого раздела, X – вещественное линейное пространство размерности dim X = n, n 2 N. Мы не предполагаем, что пространство X обладает

дополнительно структурой евклидова пространства.

Пусть e = fe1; : : : ; eng – базис в X, а = f'1; : : : ; 'ng – базис в X , двойственный к e.

Свертка тензоров. Рассмотрим операцию, естественно обобщающую понятие следа линейного оператора (или, для простоты, следа матрицы) на тензоры произвольного типа. Пусть F – тензор типа (p; q) на X и пусть pq > 0. Определим

Tr`m F (x1; : : : ; x` 1; x`+1; : : : ; xp; f1; : : : ; fm 1; fm; : : : ; fq) :=

n

X

=F (x1; : : : ; x` 1; et; x`+1; : : : ; xp; f1; : : : ; fm 1; 't; fm; : : : ; fq):

t=1

Непосредственно из определения вытекает, что Tr`m F будет тензором типа (p 1; q

1)(проверка необходимых деталей оставляется в качестве упражнения). Вычислим координаты тензора Tr`m F в базисе e. Для этого определим тензоры

К тензору типа (p; q) операцию свертывания по паре индексов (один из которых должен быть ковариантным, а другой – контравариантным) можно применить minfp; qg раз. В результате получится либо скаляр, либо число ковариантный, либо чисто контравариантный тензор. Под операцией полного свертывания понимают применение к тензору

максимально возможного числа операций свертывания. Так, взятие следа линейного оператора – пример полного свертывания соответствующего тензора типа (1; 1).

Симметрирование и альтернирование тензоров. В этом разделе мы рассмотрим, как ведут себя тензоры при перестановке однотипных (ковариантных или контравариантных) индексов. Так как перестановка разнотипных индексов не имеет смысла, то всюду в этом разделе мы будет рассматривать чисто ковариантный тензор валентности p, т.е. тензор типа (p; 0). Все сказанное будет дословно переносится на чисто контравариантные тензоры (т.е. тензоры типа (0; q)).

Считаем, что читатель знаком с понятием перестановки на p элементах, с понятием четности перестановки и знака sg( ) перестановки 2 Sp (здесь и далее через Sp обозначается совокупность всех перестановок на p элементах).

Определение. Назовем тензор F типа (p; 0) симметричным, если для любой перестановки 2 Sp верно равенство

F = F;

где тензор F типа (p; 0) (результат действия перестановки на тензор F ) определен следующим образом:

F (x1; : : : ; xp) = F (x (1); : : : ; x (p)):

Проверка того факта, что F – тензор типа (p; 0) оставляется в качестве несложного

упражнения.

Если определить (aF + bG) := a F + b G для тензоров F и G типа (p; 0), то отображение F 7! F – это линейное отображение Tp;0(X) ! Tp;0(X). Кроме того интересно отметить, что 1( 2(F )) = ( 1 2)(F ).

Непосредственно из определения тензора F вытекает, что

( F )j1;:::;jp = Fj (1);:::;j (p) :

Определение. Симметризацией тензора F 2 Tp;0(X) называется тензор

Sym(F ) = p1! X F:

2Sp

Например,

Sym('1 '1 '2) = 13 '1 '1 '2 + '1 '2 '1 + '2 '1 '1 :

Упражнение. Проверить, что для любого тензора F 2 Tp;0(X)

(1)тензор Sym(F ) симметричен;

(2)Sym(Sym(F )) = Sym(F ).

Определение. Назовем тензор F типа (p; 0) кососимметричным, если для любой перестановки 2 Sp верно равенство

F = sg( )F:

Определение. Альтернированием тензора F 2 Tp;0(X) называется тензор

Alt(F ) = p1! X sg( ) F:

2Sp

Очевидно, что для любого тензора F 2 Tp;0(X) тензор Alt(F ) будет кососимметрическим.

Определим множества p(X ) и q(X) как совокупности всех кососимметрических тензоров, содержащихся в Tp;0(X) и T0;q(X) соответственно. В качестве упражнения предлагается проверить, что p(X ) и q(X) – подпространства линейных пространств Tp;0(X) и T0;q(X) соответственно.

Поднятие и опускание индекса. Пусть теперь X – евклидово пространство, скалярное произведение в котором задается симметричной положительно определен-

ной билинейной формой g. Пусть F – тензор типа (p; q) с координатами fF k1;:::;kq g в

j1;:::;jp

некотором базисе e пространства X.

Определим тензор G с координатами в базисе e равными

Говорят, что тензор G получен из тензора F поднятием индекса j1, а тензор H получен из тензора F опусканием индекса k1 при помощи метрического тензора. Аналогично можно определить операции поднятия и опускания индекса для любого (не обязательно первого) индекса тензора F .