РАЗДЕЛ 8
Билинейные и квадратичные формы в вещественных пространствах
В этой лекции мы будем всюду считать, что X – вещественное линейное пространство, dim X = n, n 2 N. В ряде случаев мы будем также предполагать, что X является евклидовым пространством со скалярным произведением h ; i.
Основным объектом изучения в этой лекции будет понятие билинейной формы. Это понятие уже возникало в нашем курсе и соответствующее определение было в разделе 6.6. Напомним, что функция F : X X ! R называется билинейной формой на X, если она линейна по каждому из своих двух аргументов. Это означает, что для любых элементов x; y; z 2 X и для любых чисел ; 2 R выполнены соотношения
F(x+y; z) = F(x; z)+F(y; z); F(x; y+z) = F(x; y)+F(x; z); F( x; y) = F(x; y):
Простым примером билинейной формы является выражение f(x)g(y), где f и g – линейные функционалы, определенные на пространстве X.
Напомним также, что уже были введены понятия симметричной и кососимметричной билинейных форм: билинейная форма F, на X называется симметричной, если для любых элементов x; y 2 X выполняется соотношение F(x; y) = F(y; x) и, соответственно, кососимметричной, если выполнено соотношение F(x; y) = F(y; x).
Как было показано выше, всякую билинейную форму можно разложить в сумму симметричной и кососимметричной билинейных форм. В самом деле, для любой били-
нейной формы F справедливо представление |
|
|
|||
F(x; y) = |
1 |
F(x; y) + F(y; x) + |
1 |
F(x; y) F(y; x) ; |
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
||||
где первое слагаемое – это симметричная билинейная форма, а второе – кососимметричная билинейная форма.
8.1. Матрица билинейной формы
Пусть B – некоторая билинейная форма на X. Предположим также, что в пространстве X задан некоторый базис e = fe1; : : : ; eng. Имеет место
Предложение 8.1. Билинейная форма B, определенная на пространстве X с выбранным базисом e, может быть однозначно представлена в виде
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x; y) = |
bjkxjyk; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j;k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где bjk = B(ej; ek), а числа xj |
и yk (при j; k = 1; : : : ; n) – это координаты векторов |
|||||||||
x; y 2 X в базисе e. |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
Доказательство. В самом деле, так как x = |
xjej |
|
y = |
ek |
|
|||||
функция B – это билинейная форма, то |
Pj=1 |
|
и |
|
Pk=1 |
|
и так как |
|||
B(x; y) = B |
n |
xjej; n |
ykek! = |
n |
xjyk B(ej; ek): |
|
(8.1) |
|||
|
X |
Xk |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
=1 |
|
j;k=1 |
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, требуемое представление для функции B имеет место. На самом деле, это представление единственно, так как если предположить, что для билинейной
89
|
8.1. МАТРИЦА БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ |
|
|
90 |
|
формы B имеем место представление B(x; y) = |
n |
с некоторой матрицей |
|||
j;k=1 bjkxjyk |
|||||
(bjk)n |
, то из формул (8.1) и из того, что вектора e1; : : : ; en |
образуют базис в |
X |
||
j;k=1 |
|
P |
|
|
|
вытекает, что bjk = B(ej; ek) при j; k = 1; : : : ; n. |
|
|
|
|
|
Определение. Пусть B – билинейная форма, заданная на n-мерном линейном пространстве X и пусть e = fe1; : : : ; eng – некоторый базис в X. Матрица
B = [B]e = |
0B(e2 |
; e1) |
B(e2 |
; e2) |
: : : |
B(e2 |
; en)1 |
|
B(e1 |
; e1) |
B(e1 |
; e2) |
: : : |
B(e1 |
; en) |
|
BB: :(:e:n: |
;: e: :1:): :B: :(:e:n:;:e: 2:): : ::::::: : :B: :(:e:n:;:e:n:):C |
|||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
называется матрицей билинейной формы B в базисе e.
Легко видеть, что для любой вещественной n n-матрицы B найдется билинейная форма B, определенная на X, для которой B = [B]e, где e – некоторый базис в X. В самом деле, требуемая билинейная форма B определяется следующим образом:
n
X
B(x; y) = bjkxjyk;
j;k=1
где bjk, j; k = 1; : : : ; n, – элементы матрицы B, а xj и yk, j; k = 1; : : : ; n, – координаты векторов x; y 2 X относительно базиса e. Проверка всех необходимых свойств функции B оставляется в качестве упражнения.
Выясним, какими специальными свойствами обладают матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Если B = (bjk)nj;k=1 = [B]e и если форма B – симметрична, то
bjk = B(ej; ek) = B(ek; ej) = bkj; j; k = 1; : : : ; n
т.е. матрица симметричной билинейной формы симметрична. Аналогично устанавливается (проверка оставляется в качестве упражнения), что матрица кососимметричной билинейной формы является кососимметричной, т.е. элементы этой матрицы удовлетворяют соотношениям bjk = bkj, j; k = 1; : : : ; n.
Верно и обратное: если матрица билинейной формы является симметричной (соответственно, кососимметричной), то такая билинейная форма является симметричной (соответственно, кососимметричной).
В самом деле, если B(x; y) = |
n |
bjkxjyk, где B = (bjk)n |
– заданная матри- |
|||||||||
j;k=1 |
||||||||||||
|
xj |
|
yk |
|
|
|
j;k=1 |
|
|
, то |
||
|
|
векторов x; y |
2 X |
относительно базиса e в |
X |
|||||||
ца, а числа |
n |
и |
|
– координатыP |
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B(y; x) = |
j;k=1 bkjxjyk. Отсюда, с учетом симметричности (соответственно, кососим- |
|||||||||||
метричности) матрицы B непосредственно вытекает требуемое утверждение.
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому. Пусть в пространстве X выбраны базисы e = fe1; : : : ; eng и e0 = fe01; : : : ; e0ng. Предположим также, что в пространстве X задана некоторая билинейная форма B, которая имеет в базисе e матрицу B = (bjk). Выясним, как будет выглядеть матрица B0 = (b0jk) билинейной формы B в базисе e0. Пусть S = ( jk) – матрица перехода от базиса e к базису e0. Тогда, при j; k = 1; : : : ; n, получаем
!
n n
XX
b0 |
= B(e0 |
; e0 |
) = |
rjer; |
mkem = |
|
|
jk |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
r=1 |
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
X |
|
X |
X |
|
|
|
|
= |
rj mk B(er; em) = |
rj mkbrm = |
jr0 brm mk; |
|
|
|
|
r;m=1 |
|
r;m=1 |
r;m=1 |
8.2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
91 |
где через pq0 обозначены элементы матрицы S> при p; q = 1; : : : ; n. Равенства
|
n |
|
|
X |
|
bjk0 = |
jr0 brm mk; |
j; k = 1; : : : ; n |
|
r;m=1 |
|
означают, что имеет место следующее матричное соотношение
B0 = S>BS:
Заметим, что это матричное соотношение можно было получить и несколько другим способом. Пусть x; y – два произвольных вектора в X и пусть [x] и [y] – их координатные столбцы относительно базиса e. Тогда
n
X
B(x; y) = bjkxjyk = [x]>B[y]
j;k=1
(проверка этого соотношения оставляется в качестве упражнения) и, следовательно,
B(x; y) = [x]>B[y] = (S[x]0)>B(S[y]0) = [x]0>(S>BS)[y]0;
где [x]0 и [y]0 – координатные столбцы векторов x и y относительно базиса e0. Таким образом, нами доказано следующее утверждение.
Теорема 8.2. Если в конечномерном вещественном линейном пространстве X задана билинейная форма B и выбраны два базиса e и e0, связанные матрицей перехода S, то матрица B0 билинейной формы B в базисе e0 выражается через матрицу B билинейной формы B в базисе e при помощи соотношения
B0 = S>BS: |
(8.2) |
Из теоремы 8.2 непосредственно вытекает, что для матриц B и B0 билинейной формы B в базисах e и e0 выполняется соотношение rg B0 = rg B и, следовательно, корректно определено следующее понятие ранга билинейной формы.
Определение. Рангом билинейной формы B, определенной на конечномерном вещественном линейном пространстве X, называют ранг ее матрицы в произвольном базисе пространства X. Ранг билинейной формы B обозначается rg B.
Если rg B = n = dim X, то форма B называется невырожденной, а если rg B < n = dim X, то форма B называется вырожденной.
Замечание. Из записи билинейной формы B в виде
n
X
B(x; y) = [x]>e [B]e[y]e = bjkxjyk;
j;k=1
где e – некоторый базис пространства X, (x1; : : : ; xn)> = [x]e и (y1; : : : ; yn)> = [x]e
–координатные столбцы векторов x и y относительно базиса e, а (bjk)j;k=1:::n = [B]e
–матрица формы B в базисе e, непосредственно вытекает, что билинейная форма B
–это однородный многочлен степени 2 относительно координат векторов x и y. Это наблюдение полезно иметь в виду при изучении билинейных форм и работе с ними.
8.2. Квадратичные формы
Пусть теперь A – симметричная билинейная форма на X.
Определение. Квадратичной формой называется функция Q : X ! R, определенная равенством Q(x) = A(x; x). Симметричная билинейная форма A называется полярной к квадратичной форме Q.
8.2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
92 |
Иногда для квадратичной формы не вводится дополнительного обозначения, а используется обозначение A(x; x), где A – соответствующая симметричная билинейная форма.
Нетрудно проверить, что квадратичная форма Q и полярная билинейная форма A связаны соотношением
A(x; y) = |
1 |
Q(x + y) Q(x) Q(y) : |
2 |
В самом деле,
A(x + y; x + y) = A(x; x) + A(x; y) + A(y; x) + A(y; y)
и, для проверки требуемого свойства, нам остается воспользоваться свойством симметрии билинейной формы A.
Пусть теперь в пространстве X выбран некоторый базис e = fe1; : : : ; eng и пусть A = (ajk) – матрица билинейной формы A в базисе e. В силу симметричности билинейной формы A, матрица A является симметричной. Как было показано выше, билинейная форма A может быть представлена в виде
n
X
A(x; y) = [x]>A[y] = ajkxjyk;
j;k=1
где [x]> = (x1; : : : ; xn) и [y]> = (y1; : : : ; yn) – координатные столбцы векторов x и y в базисе e. Отсюда вытекает, что квадратичная форма A(x; x) представляется в виде
n
X
A(x; x) = [x]>A[x] = ajkxjxk:
j;k=1
Матрица A называется также матрицей квадратичной формы Q(x) = A(x; x). Верно и обратное, по любой симметричной матрице A можно определить квадратичную форму A соотношением A(x; x) = [x]>A[x]. Ясно, что при переходе от базиса к базису матрица квадратичной формы преобразуется также, как и матрица билинейной формы. Как и в случае билинейных форм, рангом квадратичной формы называется ранг матрицы этой формы в любом базисе пространства X. Если ранг квадратичной формы равен размерности пространства, то такая форма называется невырожденной, а если ранг квадратичной формы строго меньше размерности пространства, то такая форма называется вырожденной.
Определение. Квадратичная форма A(x; x) называется
(1)положительно определенной, если для любого x 2 X, x 6= 0 выполнено неравенство A(x; x) > 0;
(2)отрицательно определенной, если для любого x 2 X, x 6= 0 выполнено неравенство A(x; x) < 0;
(3)знакопеременной, если существуют такие элементы x 2 X и y 2 X, что выполнены неравенства A(x; x) > 0 и A(y; y) < 0;
(4)неотрицательно определенной, если для всех элементов x 2 X выполнено неравенство A(x; x) 0, но существует x0 6= 0 такой, что A(x0; x0) = 0.
(5)неположительно определенной, если для всех элементов x 2 X выполнено неравенство A(x; x) 0, но существует x0 6= 0 такой, что A(x0; x0) = 0.
Если квадратичная форма положительно или отрицательно определена, то ее называют знакоопределенной. Если квадратичная форма неотрицательно или неположительно определена, то ее называют квазизнакоопределенной.
Ниже будут получен ряд признаков, позволяющих судить о принадлежности квадратичной формы к одному из четырех типов, введенных в сформулированном выше определении.