2982

4.5. Расчет смешанного пограничного слоя для плоской пластины

Характер пограничного слоя, образующегося при обтекании потоком жидкости плоской пластины, существенно зависит от режима обтекания, определяемого числом Re.

При сравнительно небольших числах Re вдоль всей пластины образуется ламинарный пограничный слой, расчет которого рассмотрен.

При очень больших значениях числа Re практически вдоль всей пластины образуется турбулентный пограничный слой.

Этот случай также рассмотрен.

При числах Re от Re 105 до Re 5 106 в начале пластины образуется ламинарный пограничный слой, который, начиная с некоторого места пластинки, разрушается и переходит в чисто турбулентный пограничный слой.

Рассмотрим случай, когда на передней части пластины ОА образуется ламинарный пограничный слой, а за ним на участке AB – турбулентный.

Этот случай впервые рассмотрен Прандтлем.

Рис. 4.5

Сделаем два упрощающих предположения:

1. Переход от ламинарного пограничного слоя к турбулентному происходит мгновенно в точке А; расстояние ОА обозначим

через X кр .

62

2. Изменение толщины турбулентного слоя, распределение скоростей и касательных напряжений в нем, аналогично тому, которое было бы, если бы турбулентный слой начинался не от точки А, а от передней кромки О.

Обозначим через X тр силу трения всей пластины длинной в

предположении, что пограничный слой на всем ее протяжении турбулентный.

Тогда, чтобы получить силу трения X тр для смешанного слоя,

нужно из Xтр вычесть силу трения наружного участка слоя ОА,

считая его турбулентным, и прибавить к полученной разности силу трения этого же участка ОА, считая его ламинарным, т.е.

Xтр Xтр Xтр ОА Xтр ОА ,

где X тр - сила трения ламинарного участка ОА.

Силу трения переднего участка пластины шириной b при ламинарном пограничном слое можно записать в виде:

участка будем иметь

63

где через А обозначена следующая величина:

Опытным путем установлено, что для гладких пластин величина А=1700. При увеличении шероховатости пластины или степени турбулентности набегающего потока уменьшаются критическое число и величина А. Для шероховатых пластин А=300.

Таким образом 300 A 1700.

Итак, для величины коэффициента трения плоской пластины в случае смешанного пограничного слоя получаем следующее выражение:

Из изложенного следует, что сопротивление трения пластины будет тем меньше, чем больше длинна ламинарного слоя, т.е. чем дальше точка А перехода ламинарного слоя в турбулентный отстоит от передней кромки пластины.

Рассматривая обтекание плоской пластины как первое приближение к обтеканию крыльевого профиля, приходим к выводу что с целью уменьшения сопротивления трения на профиле выгодно иметь возможно больший участок ламинарного пограничного слоя. Иначе говоря, точку А перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный выгодно отодвигать как можно дальше назад по потоку. По этому принципу сконструированы специальные крыльевые профили, так называемые ламиниризованные профили, которые имеют значительно меньшее сопротивление.

64

4.6. Пограничный слой на криволинейной поверхности

При обтекании криволинейной поверхности скорость V0 на

внешней границе пограничного слоя будет величиной переменной, зависящей от координаты х.

Как следует из уравнения Бернулли, давление на внешней границе пограничного слоя, а стало быть, и в пограничном слое также будет функцией координаты х.

Рассмотрим поток, обтекающий криволинейную поверхность, например, профиль крыла (рис. 4.6).

Обозначим через V и P соответственно

скорость и давление набегающего потока вдали от профиля крыла (на бесконечности).

На верхней поверхности профиля скорость вначале возрастает (до некоторой точки М), а затем убывает.

На основании уравнения

Рис. 4.6

Бернулли давление, наоборот, будет вначале убывать, а затем возрастать.

В точке М скорость будет иметь максимальное значение, а давление – минимальное.

Следовательно, частицы жидкости в пограничном слое около рассматриваемой криволинейной поверхности будут двигаться при

наличии градиента давления dPdx как отрицательного, так и положительного по знаку.

Этот факт существенно отличает пограничный слой около криволинейной поверхности от пограничного слоя вдоль плоской

пластинки, где dPdx 0 .

Учитывая эту особенность пограничного слоя около криволинейной поверхности, можно выяснить причины отрыва

65

потока от обтекаемого тела и образования вихрей, срывающихся с обтекаемой поверхности.

При течении вязкой жидкости касательная и нормальная составляющие скорости в точках поверхности обращаются в нуль.

На некотором небольшом удалении от поверхности течение жидкости мало отличается от течения идеальной жидкости, при котором нормальная составляющая скорости на поверхности тела обращается в нуль, а касательная отлична от нуля.

Имея это в виду, приходим к выводу, что изменение касательной составляющей скорости вдоль нормали к поверхности тела должно иметь вид, изображенный на рис. 4.6 (точка А).

Таким образом, при течении вязкой жидкости частицы в пограничном слое притормаживаются силами вязкости и притом тем в большей степени, чем ближе траектория частицы проходит к поверхности тела.

Кроме этого, было установлено, что градиент давления dPdx для случая криволинейной поверхности отличен от нуля и,

что важно, в кормовой части тела перепад давления направлен в сторону, противоположную основному движению жидкости

dPdx 0 , так как в этой части давление возрастает по потоку.

Поэтому, попадая в область задней части тела, где давление возрастает, частицы начинают получать ускорение в направлении, противоположном основному их движению.

Это дополнительное притормаживание, очевидно, особенно сильно скажется на частицах, движущихся в непосредственной близости от тела, так как их кинематическая энергия в сравнении с другими частицами и так уменьшена силами вязкости.

В результате касательная скорость ряда частиц обратится в нуль на некоторой линии SD (рис. 4.6), а в области DSE касательная скорость изменит знак, т.е. возникает возвратное движение жидкости в пограничном слое.

Возникновение этого возвратного движения приведет к отрыву частиц жидкости от поверхности тела и к образованию вихрей.

Два столкнувшихся слоя жидкости, сорвавшись с поверхности тела, свертываются и образуют вихри.

66

Точка поверхности тела, начиная от которой поток срывается с обтекаемого тела, называется точкой отрыва пограничного слоя. Условно принимают, что

слева от точки отрыва S производная:

справа от точки S производная

в самой точке S производная

Таким образом, точка S отрыва пограничного слоя характеризуется равенством нулю производной

Отсюда следует, что и напряжение трения

в точке отрыва.

Полученный результат хорошо подтверждается экспериментом.

Если в поток поместить цилиндр, то можно обнаружить срывающиеся с него вихри, образующие вихревую дорожку.

Если пограничный слой отсасывать внутрь цилиндра, то срыв вихрей можно устранить.

Таким образом, теория пограничного слоя позволяет управлять пограничным слоем.

67

Согласно принципу Даламбера сумма проекций на любую ось всех сил, действующих на параллелепипед, равна нулю.

В результате в проекции на ось х получим

Пятое уравнение получить из принципов механики нельзя. Его можно получить, исходя из физических свойств жидкости или газа. Например, const для несжимаемой жидкости. Для

где Cp и C V – удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме.

5.2. Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения движения жидкости в форме Эйлера в общем виде не интегрируются.

Только в частных случаях, когда движение жидкости потенциальное или установившееся, можно проинтегрировать уравнения движения жидкости.

Рассмотрим случай установившегося движения. Представим, что

69

где D x, y, z– искомая функция. Уравнения Эйлера имеют вид:

Так как движение жидкости установившееся, то траектории и линии тока совпадают.

За время dt частица жидкости пройдет по траектории путь ds , так что

ds Vdt .

Спроектируем элементарное перемещение частицы вдоль линии тока на оси координат.

Тогда получим

dx Vx dt; dy Vy dt; dz Vz dt.

Умножим уравнения Эйлера на элементарные перемещения и сложим.

В результате получим:

Справа в скобках стоят полные дифференциалы, т.е.

Xdx Ydy Zdz d ,

и уравнение можно переписать в виде:

70