2982

Таким образом, скорость частицы жидкости на поверхности цилиндра направлена по касательной к окружности, т.е. обтекание цилиндра происходит безотрывно.

Точки А и В на цилиндре, для которых и 0 , называются критическими, так как скорость в этих точках равна нулю.

Определим циркуляцию скорости вокруг цилиндра:

Таким образом, имеем бесциркуляционное обтекание кругового цилиндра.

Рассмотрим теперь силовое воздействие потенциального потока на круговой цилиндр бесконечной длины.

Сила давления, действующая по нормали к боковой

91

поверхности цилиндра единичной длины на площадку dS , равна

PdS .

Проекции этой силы на оси х и у можно записать в виде

Бернулли и значение скорости на поверхности цилиндра в предыдущие равенства, последние представим в виде:

Таким образом, при бесциркуляционном обтекании цилиндра потенциальным потоком жидкости горизонтальная и вертикальная составляющие сил давления со стороны потока на цилиндр равны нулю.

В реальных условиях на цилиндр при обтекании его жидкостью всегда будет действовать гидродинамическая сила.

Противоречие между экспериментом и теоретическим выводом получило название парадокса Даламбера-Эйлера.

7.2. Циркуляционное обтекание кругового цилиндра

Рассмотрим случай циркуляционного обтекания кругового цилиндра, получаемого при сочетании бесциркуляционного обтекания цилиндра и циркуляционного течения, обусловленного плоским вихрем, совпадающим с осью цилиндра.

В этом случае потенциал скорости и функция тока равны:

92

со стороны потока на крыло, и получил зависимость между этими силами и циркуляцией скорости по контуру.

Жуковский заменил реальное крыло некоторым воображаемым жидким крылом, ограниченным замкнутой линией тока, предположив, что внутри этого жидкого крыла расположен вихрь (или система вихрей) с интенсивностью, равной сумме интенсивностей вихрей, образованных в тонком слое на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь Жуковский назвал присоединенным вихрем.

Докажем теорему Жуковского о подъемной силе для частного случая обтекания кругового цилиндра при наличии циркуляции вокруг него.

Определим силовое воздействие потока на круговой цилиндр с радиусом r при его циркуляционном обтекании идеальной жидкостью.

Поскольку жидкость идеальная, то на поверхности цилиндра будут действовать только силы давления.

Выделим на цилиндре участок высотой, равной единице.

В окрестности произвольной точки, находящейся на окружности цилиндра, элементарная сила давления равна pdS , где

dS - элементарная длина дуги. Ее проекции на оси координат равны:

Используя уравнение Бернулли, после преобразования и интегрирования, предыдущие равенства представим в виде

В результате имеем

X 0 .

Это означает, что сила лобового сопротивления при циркуляционном обтекании кругового цилиндра бесконечной длины потоком идеальной жидкости равна нулю, т.е. и здесь имеет место парадокс Даламбера-Эйлера.

После определения проекции силы на ось y получим, что

95

Y pV0 Г .

Эта формула называется формулой Жуковского и является основной формулой аэродинамики.

Таким образом, получен весьма важный результат: при обтекании цилиндра поступательно циркуляционным потенциальным потоком невязкой жидкости со стороны потока на единичную длину цилиндра в направлении оси Y действует сила, равная произведению плотности жидкости, циркуляции скорости и скорости набегающего потока.

Направление подъемной силы можно определить, повернув вектор скорости невозмущенного потока V0 на прямой угол в сторону, противоположную направлению циркуляции.

Вданном случае в точках, лежащих на одной вертикали, давление на верхней поверхности цилиндра меньше, чем на нижней,

аскорости течения, наоборот, на верхней поверхности больше, чем на нижней.

Врассмотренном выше циркуляционном обтекании цилиндра последний можно заменить одиночным вихрем той же интенсивности, что и цилиндр. Формально можно заменить любое обтекаемое тело соответствующей системой вихрей.

На возможности замены тела эквивалентной системой вихрей впервые указал Н.Е.Жуковский.

С помощью метода конформного отображения можно перейти от течения вокруг кругового цилиндра к течению вокруг профиля.

Метод конформного преобразования изложен в приведенной литературе [2]

7.4. Теория тонкого профиля

Крылом называют тело, которое создает в потоке жидкости подъемную силу, значительно превышающую силу любого сопротивления.

Отношение подъемной силы крыла Y сопротивлению Q называется качеством крыла K , т.е.

96

Как правило, крыло самолета имеет форму, симметричную относительно некоторой плоскости – плоскости симметрии.

Любое сечение крыла плоскостью, параллельной плоскости симметрии крыла, называется профилем крыла.

В разных сечениях профиль крыла может быть различным по форме, размерам и ориентации.

Один из возможных профилей изображен на рис. 7.3.

Точка А - передняя кромка профиля, В - задняя кромка, или точка схода профиля.

Рис. 7.3

Линия АВ, соединяющая две наиболее удаленные точки профиля, т.е. переднюю. и заднюю кромки профиля, называется хордой профиля.

Хорда делит профиль на две части – верхнюю и нижнюю. Угол между хордой профиля b и направлением

невозмущенного потока называется углом атаки , если вектор

скорости невозмущенного потока параллелен плоскости профиля. При изучении геометрических характеристик профиля

пользуются прямоугольной системой координат, начало которой помещают на передней кромке, ось x направляют вдоль хорды по направлению к задней кромке, ось y - вверх.

97

В этой системе координат осей уравнения верхнего и нижнего контуров профиля соответственно имеют вид:

Толщина профиля в произвольной точке хорды выражается как разность ординат точек Yв и Yн .

Наибольшая разность YB YH называется максимальной толщиной, или просто толщиной, профиля и обозначается буквой C .

Отношение максимальной толщины профиля C к хорде b

носит название относительной толщины профиля C , т.е.

построенных в разных точках хорды, называется средней линией профиля.

В частном случае, когда профиль симметричен, средняя линия совпадает с хордой.

Наибольшая ордината средней линии называется кривизной профиля f , а ее отношение к хорде b называется относительной кривизной, т.е.

Абсциссы наибольшей толщины профиля и наибольшей

кривизны соответственно обозначаются через Xc и Xf . Отношения этих величин к хорде b носят названия

относительных абсцисс соответственно толщины и кривизны, т.е.

пределах 25-30 % , у сверхзвуковых - 40-50 % .

Относительные толщины аэродинамических профилей крыльев и лопастей винтов обычно находятся в пределах от 3-4 % до

20-25 % .

Тонкие профили применяются на концах лопастей винтов и на крыльях сверхзвуковых самолетов.

98

Относительная кривизна современных профилей крыльев и лопастей винтов обычно не превышает 2 % .

Кривизна профилей самолетов 20-30-х годов доходила до 6-8 % .

Ограничимся рассмотрением простейшей задачи теории тонкого профиля, основанной на замене профиля непрерывно распределенными по его средней линии вихрями и впервые рассмотренной английским ученым Глауэртом.

Введем понятие о погонной циркуляции в данной точке

произвольной кривой, вдоль которой непрерывно распределены вихри.

Выделим на этой кривой элемент S и обозначим через Г циркуляцию скорости от вихрей, расположенных на элементе S .

Погонной циркуляцией в точке называется

рассмотрению теории тонкого профиля.

Допустим, что плоский установившийся поток идеальной несжимаемой жидкости, движущейся на бесконечности с заданной

скоростью V00 , обтекает тонкий профиль, длина которого ОА = b

(рис. 7.4)

Поместим начало координат в передней кромке профиля, ось

99

–будем полагать, что обтекание этого тонкого слабоизогнутого профиля происходит под малым углом атаки.

Заменим профиль непрерывно расположенными по его средней линии ОА вихрями, напряжение которых на элементе dx обозначим x dx .

Функцию x следует подобрать из условия, чтобы поток

обтекал профиль без срыва, т.е. его средняя линия являлась линией тока.

Учитывая, что профиль слабо изогнут, будем считать, что вихри расположены вдоль хорды профиля, а не на его средней линии.

Тогда скорость, индуцируемая вихрями в точке x1 хорды, будет равна:

Эту индуцированную скорость Vi x1 на хорде профиля

можно принять равной индуцированной скорости на поверхности профиля, имея в виду введенные раньше упрощения.

Наличие этой скорости изменит угол атаки на величину ,

так что

и местный угол атаки будет равен VVi .

Для того, чтобы профиль обтекался безотрывно, необходимо, чтобы в каждой его точке местная скорость была направлена по касательной к поверхности профиля, т.е. должно иметь место равенство

Vi dy , V00 dx

где y – заданное уравнение средней линии профиля, т.е. dydx – известная функция.

Подставляя в полученное уравнение значение Vi , получаем

100