2982

уравнение относительно неизвестной функции x .

Решение основано на введении новой независимой

После преобразований уравнение, соответствующее условию безотрывного обтекания профиля, принимает вид

101

Найдя значения коэффициентов, определим погонную циркуляцию X и индуцированные скорости, т.е. задача об

обтекании тонкого профиля решена.

Теперь можно найти подъемную силу, действующую на

Таким образом, значения подъемной силы и момента определяются лишь первыми тремя коэффициентами разложения погонной циркуляции в ряд.

102

Остальные коэффициенты ряда влияют только на распределение местных скоростей (а стало быть, и давлений) по

где

Следовательно, для тонких профилей С y линейно зависит от

, а производная не зависит от формы профиля.

Выражение для коэффициента момента можно записать в

виде

подъемной силе.

Таким образом, определение аэродинамических коэффициентов для тонкого профиля сведено к вычислению двух

103

простых интегралов для 0 и 0 , что не представляет труда, так как

форма профиля известна.

Формулы для С y и Cm хорошо согласуются с опытными

данными для профилей небольшой относительной кривизны и толщины.

Теория тонкого профиля находит наибольшее применение лишь в задачах, требующих определения суммарных аэродинамических характеристик профиля, так как получаемое с ее помощью распределение местных скоростей (давлений) по профилю значительно отличается от реального распределения.

8. ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА

8.1. Модели крыла конечного размаха

Ранее было показано, что действие вихря с циркуляцией Г, находящегося в потоке, создает такую же подъемную силу, как и крыло, имеющее ту же циркуляцию.

Таким образом, воздействие крыла на жидкость можно заменить действием вихря бесконечной длины.

Если крыло имеет конечную длину, то подъемная сила крыла будет равна подъемной силе, создаваемой отрезком вихря длиной, равной длине крыла.

По теореме Гельмгольца вихрь не может обрываться в жидкости. Поэтому вихрь выходит за концы крыла и располагается вдоль по потоку, образуя, так называемые вихревые усы (рис. 8.1).

Таким образом, в первом приближении крыло конечного размаха можно заменить одним вихрем П – образной формы в плане.

Вихрь, расположенный по размаху крыла, называется присоединенным, а сбегающие с торцов крыла вихревые усы – свободными вихрями.

104

В рассмотренной простейшей вихревой схеме крыла конечного размаха, согласно теореме Гельмгольца и Стокса циркуляция вдоль размаха крыла получается постоянной.

Следовательно, местная подъемная сила в каждом сечении крыла также должна быть постоянной. Это не подтверждается экспериментами.

Рис. 8.1

Вихревую схему обтекания крыла, учитывающую переменность циркуляции вдоль его размаха,

можно получить, если заменить крыло не одним П–образным вихрем, а системой П–образных вихрей (рис. 8.2.).

Рис. 8.2

Вдоль каждого такого вихря циркуляция будет постоянной, но при переходе от одного вихря к другому будет меняться.

В этой схеме можно положить число вихрей равным бесконечности, и тогда циркуляция вдоль крыла будет плавно изменяться от центра к торцам. При этом за крылом свободные вихри сольются и образуют так называемую вихревую пелену, состоящую из бесконечно большого числа сходящих с крыла вихревых шнуров.

105

Исследования вихревой пелены за крылом показали, что она неустойчива и вскоре после сбегания с крыла свертывается в два вихревых шнура.

Однако рассматривать такую модель крыла сложно с математической точки зрения, поэтому ее заменяют вихревой пеленой.

8.2. Скос потока и индуктивное сопротивление крыла конечного размаха

Рассмотрим действие вихревой пелены, сбегающей с крыла, на произвольную точку А (рис. 8.3.). С каждого элемента крыла dz будет сбегать элементарный вихрь с циркуляцией dГ.

Если положение точки А характеризуется координатой z, а положение элементарного вихря, сбегающего с участка крыла

MN = dz, – координатой z1 , то

Рис. 8.3

скорость, индуцированная этим полубесконечным вихрем в точке А, очевидно, равна:

dГ dVy 4 (z1 z) .

Скорость в точке А, индуцированная всей вихревой пеленой, будет равна:

106

углом скоса потока.

Значение этого угла невелико и составляет несколько градусов.

Как видно из рис. 8.4,

107

Знак минус берется потому, что принято считать угол скоса положительным, когда индуцированная скорость направлена вниз,

Угол скоса потока так же, как и Vy , меняется вдоль по

размаху крыла.

При отсутствии скоса потока вектор результирующей силы воздействия потока на крыло согласно теореме Жуковского нормален

к направлению невозмущенного потока, т.е. к вектору V0 .

При наличии скоса потока вектор результирующей силы должен быть нормальным к направлению истинной скорости V. Следовательно, скос потока приводит к отклонению результирующей силы от направления, перпендикулярного скорости набегающего

Эта дополнительная сила X i , появившаяся в результате скоса

потока, носит, название силы индуктивного сопротивления.

Найдем величину силы индуктивного сопротивления. Для этого выделим на крыле элементарный участок шириной dZ, на который действует подъемная сила dY. Очевидно, что индуктивное

Полная сила индуктивного сопротивления равна:

l / 2

X i Г (z) Vy dz .

l / 2

108

Учитывая значение Vy , силу индуктивного сопротивления запишем в виде

где Cxp – коэффициент профильного сопротивления, определяемый

сопротивлением трения и разностью давлений в передней и задней частях крыла.

8.3. Основное уравнение крыла конечного размаха

Выведем уравнение, позволяющее определить закон изменения циркуляции по размаху крыла, т.е. функцию Г z .

При наличии вихревой пелены для элемента крыла dz можно написать два следующих равенства:

Рис. 8.5

109

где Vy /V .

Таким образом, для крыла конечного размаха

Подставляя сюда значение Vy и опуская индекс а, получаем

Это уравнение носит название основного интегродифференциального уравнения крыла (интегро-дифференциальное

уравнение потому, что искомая функция Г z входит в него и под знаком производной и под знаком интеграла).

Уравнение позволяет определить циркуляцию крыла Г z по известным функциям b(z) и z , заданным конструкцией крыла.

8.4. Приближенный метод расчета распределения циркуляции по размаху крыла

Имеется ряд приближенных методов расчета распределения циркуляции.

Рассмотрим метод Глауэрта-Трефца.

В основном уравнении сделаем замену переменной, положив

110