2982

подводе или отводе тепла.

В сжимаемом же газе температура меняется в зависимости от условий его движения.

Из приведенных уравнений видно, что с уменьшением скорости температура газа будет возрастать.

Наибольшая температура газа достигается при V будет равна T0 .

С другой стороны, из приведенных уравнений видно, что скорость газа, обладающего в состоянии покоя данным

теплосодержанием i0 , не может превосходить некоторого максимального значения Vmax , при приближении к которому величины i,T,a, p стремятся к нулю.

Итак, скорость V будет достигать максимального значения при i = 0, т.е. когда все теплосодержание i перейдет в

кинетическую энергию газа. В этом случае

скорость истечения воздуха из котла в пустоту.

Определим температуру торможения газа при изменении его скорости от V до нуля.

Из уравнения Бернулли следует:

121

Аналогично и остальные параметры потока можно выразить через параметры торможения, а именно,

122

Полученные зависимости показывают, что с ростом скорости (числа М) давление, плотность, температура и теплосодержание уменьшаются.

Рассмотрим уравнение Бернулли в такой форме:

С ростом скорости газа скорость звука в струйке газа уменьшается.

Режим, при котором местная скорость течения газа равна местной скорости звука, называется критическим.

Все параметры этого режима также называются критическими.

Критическую скорость звука найдем из уравнения энергии,

приняв

Учитывая уравнение состояния, получаем, что

Критические параметры потока можно выразить через параметры торможения, если в полученных для параметров потока формулах положить M = 1. Тогда получим:

123

после преобразования которых (деления второго на первое), получаем

9.4. Связь между скоростью течения газа и формой его струи

Для анализа явлений, происходящих в газовой струе переменного сечения, воспользуемся двумя уравнениями.

В качестве первого уравнения возьмем дифференциальное уравнение движения в форме Эйлера, которое для одномерного движения газа будет иметь вид

124

В качестве второго уравнения возьмем уравнение сохранения массы для одномерных течений:

ρ V F const ,

где F – площадь поперечного сечения струи.

Принимая ось струи за ось X, продифференцируем второе уравнение по Х. В результате, получим

уравнение Эйлера, получаем

эти два уравнения связывают три величины: F,V , P .

Рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Скорость течения газа V меньше скорости звука а, т.е.

V a .

В этом случае

125

Из уравнения (3) следует, что знаки производных dP и dF будут dx dx

совпадать.

dF

Это означает, что если сечение струи сужается 0 , то dx

При этом из уравнения Эйлера видно, что скорость V будет увеличиваться.

Аналогично при увеличении F давление Р возрастает, а скорость падает.

2. Скорость течения газа V больше скорости звука а, т.е.

V > а.

В этом случае

и из уравнения (3) следует, что знаки производных dP и dF будут dx dx

противоположны.

Это означает, что если сечение будет сужаться, то давление Р будет возрастать.

Из уравнения Эйлера видно, что скорость при этом будет уменьшаться.

Следовательно, при сверхзвуковых скоростях характер течения газа прямо противоположен характеру течения с дозвуковыми скоростями.

Причем это проявляется в зависимости между изменением скорости и изменением сечения трубы.

Зависимость между изменением скорости и давления не зависит от скорости течения.

3. Скорость течения газа V равна скорости звука а. т.е

V=а.

126

dF 0 . dx

Поскольку при ускорении дозвукового газового потока площади сечений струи уменьшаются, а при ускорении сверхзвукового газового потока эти же площади увеличиваются, то

скорость потока достигнет скорости звука, т.е.

V a aкр .

Следовательно, критическое сечение струи является ее минимальным сечением.

Таким образом, непрерывный переход от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым при изэнтропическом течении газа возможен только в канале переменного сечения.

На таком принципе построено сопло Ловаля.

9.5. Распространение малых возмущений в газе

Каждая точка поверхности тела, движущегося в газе, является источником повышения или понижения давления, плотности и других параметров потока.

Изменение указанных характеристик, вызванное движением твердого тела, будем называть возмущением.

Малые возмущения распространяются со звуковой скоростью.

Пусть точечный источник возмущения неподвижен.

В этом случае возмущения будут распространяться по концентрическим сферам со скоростью а, так что за 1с возмущение пройдет расстояние а, и т.д.

Пусть точечный источник возмущения движется со скоростью V < а. За 1 с источник пройдет расстояние V, а возмущение его обгонит и пройдет расстояние а > V, т. е. и в этом случае возмущения будут распространяться во все стороны.

127

Пусть теперь источник возмущения движется со сверхзвуковой скоростью V>a (М > 1). В этом случае за время t сферическая волна, исходящая из точки 0, будет иметь радиус at, а центр волны переместится за это же время t на расстояние Vt. Волны,

характеристическим конусом, или конусом Маха.

Коническая поверхность с углом раствора 2 является

границей, в пределах которой распространяются малые возмущения, идущие из точки 0, за пределы которой они не выходят.

Из выражения для угла конуса Маха видно, что при увеличении числа М угол уменьшается и вместе с ним

уменьшается и возмущенная зона, и наоборот, при уменьшении числа М угол увеличивается, тем самым увеличивается возмущенная

зона.

При скорости движения V a угол μ π / 2 .

В этом случае границей возмущений будет плоскость, нормальная к скорости V.

9.6. Обтекание углов сверхзвуковым потоком

Обтекание слабовогнутой или выпуклой цилиндрической поверхности сложной конфигурации в предельном случае можно представить как обтекание последовательности внешних или внутренних тупых углов.

Ребра двугранного угла являются источниками поверхностей возмущения.

128

Обтекание внешнего тупого угла

Предположим, что сверхзвуковой поток идеального газа движется вдоль горизонтальной стенки АО со скоростью V1 и огибает двугранный угол АОС (рис. 9.3).

Рис. 9.3

При этом сечение потока расширяется и, следовательно, скорость его увеличивается, а давление и плотность уменьшаются.

Источником возмущения параметров течения является точка О.

Если угол АОС мало отличается от , то возмущения будут

малы.

Область возмущенного потока отделяется от области невозмущенного потока линией возмущения OB, наклоненной к направлению невозмущенного потока под углом Маха:

За линией возмущения поток приобретает новую скорость V, направленную параллельно стороне угла ОС и по величине

несколько большую, чем V1 , соответственно несколько уменьшаются

давление и плотность.

Вниз по течению за линией возмущения поток движется с постоянной по величине и направлению скоростью V без дальнейших возмущений.

Итак, за линией возмущения ОВ поток постепенно поворачивается и расширяется до линии возмущения ОB, образующей со стенкой ОС угол

129

μarcsinVa .

Таким образом, в зоне ВОВ' имеет место картина возмущений разряжения.

Обтекание внутреннего тупого угла

Рассмотрим другой случая – обтекание сверхзвуковым потоком внутреннего тупого угла АОС (рис 9.4).

Рис. 9.4

Течение считаем так же плоским.

Поток за точкой О сужается, происходит его сжатие, скорость V становится меньше скорости V1 , а давление P P1 .

Все возмущения от точки О сосредоточиваются на линии возмущения ОВ, за которой скорость постоянна, несколько меньше,

чем скорость V1 , и параллельна стенке ОС. Закончиться все

возмущения при развороте потока должны на некоторой линии ОВ' (как и в предыдущем случае). (рис. 9.4).

линия ОВ' с ОС угол μ arcsinVa .

Так как V1 V , то a1 a , и, следовательно,

130