2982

Следует отметить, что поступательное, вращательное движение и деформация элемента жидкости происходят одновременно независимо друг от друга.

Таким образом, в полученной системе уравнений слагаемые Vx, Vv, Vz являются компонентами поступательной скорости, суммы в квадратных скобках — компонентами скорости деформации, в круглых скобках — компонентами вращательной скорости.

В векторной форме выражение для скорости жидкого элемента имеет вид:

V Vпост Vдеф Vвр

Теорема Коши-Гольмгольца о разложении жидкого элемента является видоизменением известной теоремы Даламбера для твердого тела, однако она справедлива лишь для бесконечно малой жидкой частицы, так как разложение имеет место только для

22

частицы в точке С, находящейся на малом расстоянии ( x :, y , z )

от точки А.

В частном случае, когда частицы не вращаются вокруг мгновенных осей, движение называется безвихревым или

потенциальным.

2. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

2.1. Потенциал скорости

Для большинства задач аэродинамики весьма важным является изучение потенциального движения.

Потенциальным движением жидкости называется безвихревое движение, т.е. такое движение, в котором компоненты

вихря x , y , z равны нулю.

Из теоретической механики известно, что

Следовательно, для потенциального движения получаем соотношения:

Рассмотрим дифференциальный трехчлен

23

Vx dx Vy dy Vz dz.

Выполнение условий (1) говорит о том, что этот трехчлен

т.е. проекция скорости на координатную ось равна частной производной от потенциала скорости по соответствующей координате.

Это важное свойство потенциала скорости сохраняется и для произвольного направления.

Наличие потенциала скорости дает возможность построить сравнительно простую теорию безвихревых течений.

24

В этом случае необходимо, чтобы при

r , Vx V и Vy Vz 0.

Предполагая, что поток безотрывно скользит по поверхности тела, имеем второе граничное условие: на поверхности тела

указанными соотношениями.

26

Можно показать, что эта функция сохраняет постоянное значение вдоль линии тока.

Действительно, уравнение линии тока для плоского потока

линии тока.

Благодаря этому свойству функцию называют функцией

тока.

Функция тока имеет определенный физический смысл. Рассмотрим цилиндрическую поверхность единичной

высоты, опирающуюся на некоторый контур, соединяющий точки А и В (рис. 2.1).

Объемный расход жидкости через элемент поверхности, имеющий в основании элемент контура dl ,

равен dQ Vn dl . Нормальная

составляющая скорости Vn определяется по формуле:

Vn Vx cos(nx) Vy cos(ny)

Рис. 2.1

А косинусы углов, образуемых

нормалью с осями координат, равны:

27

отсюда расход через кривую АВ равен:

Таким образом, объемный расход несжимаемой жидкости через произвольный отрезок кривой равен разности значений функции тока в конечных ее точках и не зависит от формы кривой.

Очевидно, что если точки А и В совпадают, то при однозначной функции тока расход через замкнутую кривую равен

нулю.

Если кривая АВ является отрезком линии тока, то расход сквозь нее также равен нулю, так как вдоль линии тока функция тока равна постоянной величине.

Отсюда следует, что количество жидкости, протекающей в единицу времени между двумя произвольными линиями тока, есть постоянная, численно равная разности значений функции тока на этих линиях тока.

2.4.Циркуляция скорости

Ваэродинамике большую роль играет понятие о циркуляции скорости по заданному контуру.

Выделим в движущейся жидкости произвольный фиксированный в пространстве замкнутый контур С (рис. 2.2).

28

Пусть в некоторой его точке М скорость изображается вектором V .

Составим произведение

элементарная длина замкнутого контура.

Возьмем от этого выражения интеграл по дуге АВ. Тогда будем иметь

Г V cos(VdS)dS .

AB

Рис. 2.2

Выражение Г называется циркуляцией скорости по дуге АВ.

Обычно циркуляция скорости вычисляется по всему замкнутому контуру С, т.е.

Г V cos(VdS)dS .

C

Направление интегрирования будем считать положительным, если охватываемая контуром область остается слева.

Учитывая, что под знаком интеграла стоит скалярное произведение векторов V и dS можно записать:

29

Это означает, что для потенциального течения циркуляция вдоль дуги АВ не зависит от формы дуги и равна разности значений потенциала скорости в конечных точках дуги.

В случае, когда точки А и В совпадают, т.е. контур замкнутый и функция является однозначной функцией координат,

циркуляция становится равной нулю.

2.5. Плоские потенциальные течения жидкости

Как было показано выше, для потенциального плоского течения характерны две функции: потенциал скорости (x, y) и

функция тока (x, y) .

Составляющие скорости потока следующим образом выражаются через эти функции:

Из этих равенств следуют соотношения между функциями

и:

Эти соотношения носят название условий Коши-Римана, и в теории функций комплексного переменного они выражают условие, что комплексная комбинация этих двух функций от двух

или характеристической функции течения.

30