2982

Если взять произвольный линейный размер модели l1 и разделить его на соответствующий линейный размер натурального объекта l , то получим величину линейного масштаба, обозначаемую через Kl .

Разделив силу R1 , действующую на всю модель или ее часть,

на силу R , действующую на натуральный объект или его часть, получим силовой масштаб KR .

Считая, что какое-нибудь событие совершается у модели в течение отрезка времени t1 , а у натурного объекта в течение времени t , найдем масштаб времени Rt .

В случае подобия эти масштабы в сходственных точках должны быть постоянными.

Все остальные масштабы других физических величин для подобных явлений также являются постоянными и могут быть выражены через эти основные масштабы.

Рассмотрим некоторые из них.

Пусть S1 и S – сходственные площади двух потоков (см. рисунок), а l1 и l – линейные размеры этих сходственных площадей.

Очевидно, что

Понимая под сходственными отрезками времени t1 и t такие

отрезки, за которые частицы потоков проходят расстояния между двумя сходственными точками, для масштаба скоростей можно записать:

41

Аналогично масштаб весовой плотности потоков равен:

элементарных объемов.

Масштаб массовой плотности можно представить в виде:

Таким образом, считая, что при соблюдении подобия в пространстве, где происходят сравниваемые явления, масштабы однородных величин должны сохраняться постоянными, можно сформулировать определение подобия следующим образом:

два потока называются подобными, если в любых сходственных точках и в любые сходственные моменты времени масштабы однородных величин, характеризующих эти потоки, являются постоянными.

Такое подобие называется полным.

Если же этому условию удовлетворяют не все масштабы, а только часть из них, то подобие называется частичным.

Рассмотрим два подобных потока (см. рисунок); один – обтекающий натурный объект, например, профиль крыла, а другой – обтекающий его модель. Выделим в жидкости два сходственных бесконечно малых элемента. Пусть на элементы будут действовать

силы dR и dR1 , создающие ускорения W и W1 . Очевидно, что dR Wdm,

dR1 W1dm1,

где dm и dm1 – массы этих элементов.

Выразим массы dm и dm1 через плотность и линейные размеры:

42

dm dl3 ,

dm1 1dl13.

Подставляя dm и dm1 в предыдущие равенства, получаем: Разделив почленно, получим

Найденное соотношение справедливо, очевидно, не только для бесконечно малых объемов, но и для любых конечных объемов, так как всякий конечный объем можно разбить на бесконечно большое число бесконечно малых объемов.

Таким образом, постоянство отношений KR dR1 dR в

подобных потоках должно иметь место и для конечных объемов, на которые действуют конечные силы.

Будем под R и R1 подразумевать полные аэродинамические

силы, действующие на натуральный объект и модель, отношение которых при условии подобия потоков должно оставаться постоянным на любом режиме обтекания:

Переходя от масштабов к основным величинам, можно записать:

43

В результате выражение для силы имеет вид:

V 2

R CR 2 S ,

где CR – безразмерный коэффициент полной аэродинамической силы; S – характерная площадь; V 2 2 q – скоростной напор.

В аэродинамике наряду с аэродинамической силой рассматривается и аэродинамический момент М.

Очевидно, что, проведя аналогичные выкладки, можно получить:

V 2 M Cm Sl 2 ,

где Cm – безразмерный коэффициент аэродинамического момента;

l – характерный размер.

Полученные формулы для силы и момента являются основными формулами экспериментальной аэродинамики.

С помощью этих формул по результатам эксперимента вычисляются безразмерные коэффициенты CR и Cm , которые затем используются при проектировании самолетов.

3.2. Основные критерии подобия.

Понятие о ламинарном и турбулентном течениях жидкости

Итак, для двух сходственных точек модели и объекта можно записать:

44

где R1 R1 S1 и R RS – давления. Следовательно,

Если в потоке наряду с силами давления действуют силы трения, то, очевидно, что в динамически подобных системах силы трения должны быть пропорциональны силам давления и, следовательно, касательные напряжения пропорциональны давлениям, т.е. масштаб сил давления должен быть равен масштабу сил трения.

Согласно закону Ньютона

Переходя от масштабов к основным величинам, получаем

или

45

Параметр Re одинаковый для двух динамически подобных течений, носит название критерия, или числа Рейнольдса.

Величины и l входящие в число Re , представляют собой характерные для исследуемого течения скорость и длину.

При подсчете числа Re для модели и объекта необходимо брать сходственные скорости и длины.

Таким образом, если в двух потоках имеет место геометрическое и кинематическое подобие и равенство чисел Re , то

вэтих потоках будут равны коэффициенты аэродинамических сил.

Взависимости от величины числа Рейнольдса течения подразделяются на ламинарные, или слоистые, и турбулентные, или завихренные.

Ламинарное течение характеризуется тем, что жидкость движется слоями без поперечного перемешивания.

При турбулентном течении отдельные конечные массы жидкости кроме участия в общем движении, вместе со всем потоком совершают и свои собственные беспорядочные движения, что сопровождается интенсивным перемешиванием в поперечном направлении, вихреобразованием и пульсациями местной скорости по величине и направлению.

Для сжимаемой жидкости плотность является функцией координат точек пространства и времени.

Поэтому при рассмотрении подобия сжимаемой жидкости необходимо выдерживать подобие по плотности потоков. Масштаб плотности равен:

46

равны и коэффициенты полных аэродинамических сил, если имеет место геометрическое и кинематическое подобие, т.е. CR f M и

в общем случае CR f Re, M .

Следовательно, полную аэродинамическую силу и момент

будут иметь для этих тел одинаковые значения.

47

4.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

4.1.Понятие о пограничном слое

Точное решение задачи об обтекании потоком вязкой жидкости какого-либо тела, например, крыла или фюзеляжа, сводится к интегрированию сложных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости при заданных граничных и начальных условиях.

Внастоящее время существует ряд методов упрощения уравнений движения вязкой жидкости. Эти методы основаны на отбрасывании ряда слагаемых в уравнениях движения вязкой жидкости и дают удовлетворительное решение при малых числах

Re .

Ваэродинамике самолета применяется принципиально другой метод упрощения уравнений движения вязкой жидкости,

который применим при больших числах Re .

Этот метод основан на понятии пограничного слоя. Обратимся к рассмотрению физической картины обтекания. Допустим, что неподвижное тело, например профиль крыла,

обтекается потоком воздуха (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Экспериментально установлено, что в тонком слое вблизи поверхности тела происходит резкое нарастание скорости от нулевого значения на поверхности тела до величины порядка скорости набегающего потока.

Слой воздуха, прилегающий к поверхности обтекаемого тела и представляющий собой область больших значений градиентов скорости по нормали к нему, носит название пограничного слоя.

Обычно за толщину пограничного слоя принимают расстояние от тела по нормали, на котором VX 0,9V .

48

Вводятся и другие определения толщины пограничного слоя. Частицы пограничного слоя, пройдя вдоль поверхности обтекаемого тела, уносятся потоком в область, находящуюся за

телом, сохраняя следы пребывания в пограничном слое.

Это выражается, в частности, в том, что скорости этих частиц меньше скорости окружающей среды.

Заторможенные частицы образуют за телом область, называемую аэродинамическим следом. Эта область может быть заполнена и отдельными вихрями, образующимися в пограничном слое из-за наличия градиента скорости. В этом случае область за телом представляет собой так называемый вихревой след.

Внутри пограничного слоя и следа, где градиенты скорости значительны, силой внутреннего трения пренебрегать нельзя, и жидкость или газ, движущиеся внутри пограничного слоя, следует считать вязкими даже при малом значении коэффициента вязкости.

Вне пограничного слоя и следа за телом, где градиенты скорости малы, силой внутреннего трения можно пренебречь, т.е. считать жидкость идеальной, а поток безвихревым (потенциальным).

4.2. Интегральное соотношение для пограничного слоя

Рассмотрим течение жидкости над криволинейной поверхностью малой кривизны (рис. 4.2). В этом случае удобно ось

координат Ox считать криволинейной, расположив ее на обтекаемой поверхности вдоль течения.

Выделим в пограничном слое бесконечно малый объем, имеющий единичную ширину и ограниченный поверхностью АС верхней границы пограничного слоя и плоскостями АВ и СD, отстоящими друг от друга на расстоянии dx .

Рис. 4.2

49

Применим к объему АВСD теорему о количестве движения. Вычислим изменение количества движения в направлении

оси х за время dt .

Таким образом, через участки АВ и СD будет вытекать количеств жидкости

В силу условия неразрывности для несжимаемой жидкости через верхнюю границу АС должно втекать такое же количество жидкости.

На границе пограничного слоя скорость жидкости VX Vo , где Vo – составляющая скорости потенциального потока.

Поэтому втекающая через поверхность АС жидкость внесет следующее количество движения:

Подсчитаем количества движения жидкости, вносимые и уносимые через участки АВ и СD.

Через участок АВ вносится следующее количество движения:

Количество движения жидкости, вытекающей через участок СD, равно:

Следовательно, через участки АВ и СD в направлении оси x уносится следующее количество движения:

50