Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2982

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

F x dx, t F x,t dtdx	d	VX	2 dy .
	dx 0

Таким образом, общее изменение количества движения жидкости в объеме АВСD равно:

dtdx	d	V	2 dy V	d	V	dy .

	dx 0	X	o dx 0		X

Вычислим импульсы внешних сил за тот же промежуток времени dt в направлении оси х.

На объем АВСD в направлении оси х будут действовать силы давления, приложенные к левой верхней и правой граням объема, и сила трения, приложенная к нижней грани ВD.

Проекции на ось х сил трения, приложенных к левой и правой граням AB и СВ, равны нулю. А на верхней грани АС силы трения отсутствуют в силу самого определения внешней границы пограничного слоя.

Сумма проекций на ось х сил давления, действующих на

грани АВ, АС, СD, равна:

Pds

dx d

dx,

где ds AC и d

ds – синус угла, который АС составляет с осью

х. Их импульс за время dt равен:

dPdx dxdt.

На границе ВD действует сила трения, направленная влево. Величину этой силы, отнесенную к единице площади, обозначим через 0 .

Импульс силы трения за время dt равен:

0 dxdt .

Как известно, изменение количества движения жидкости равно импульсу сил, следовательно,

d	V	2 dy V	d	V	dy	dP

dx 0	X	o dx 0		X		dx 0

Полученное соотношение пригодно для изучения как ламинарного, так и турбулентного движения жидкости внутри пограничного слоя, так как при его выводе не делалось никаких

предположений о природе касательного напряжения 0 .

Входящие в интегральное соотношение пограничного слоя величины V0 , dPdx и плотность можно рассматривать как

известные величины, и тогда неизвестными будут только VX ,и 0 . Действительно, скорость V0 потенциального потока вне

пограничного слоя можно найти путем решения задач о потенциальном обтекании или с помощью эксперимента.

Зная V0 , легко найти значение dPdx с помощью уравнения

Бернулли, вывод которого будет приведен ниже. Так, уравнение Бернулли имеет вид:

	P	V 2		C .
	P		0	C .
			0
			2
Дифференцируя по х, получаем
	dP		V	dV0	.
			V		.
	dx		0	dx
Таким образом, для решения задачи необходимо иметь еще
два соотношения. Например, VX			VX	y и		0	0 .
4.3. Расчет ламинарного пограничного слоя для плоской
	пластины
Допустим, что плоский			поток,			текущий со скоростью

V0 const , обтекает пластину длиной l (рис. 4.3).

Сверху и снизу пластины будет образовываться пограничный слой, толщина которого является функцией координаты х, отсчитываемой от передней кромки пластины.

Рис. 4.3

Задача сводится к следующему.

Зная кинематический коэффициент вязкости жидкости,

скорость V0 набегающего потока и длину пластины	l , определить
закон изменения толщины пограничного слоя,	т.е. функцию
x и силу сопротивления трения.

Для решения задачи обратимся к интегральному соотношению пограничного слоя для установившегося течения:

2 dy V

dx 0

o dx 0

Причем из уравнения Бернулли следует, что на верхней

границе пограничного слоя

dP	V	dV0	.

dx	0	dx

Так как в рассматриваемом случае V0 const и dV0 dx 0 , то dPdx 0 , т.е. P const на верхней границе пограничного слоя.

Можно показать, что давление P внутри пограничного слоя по нормали к поверхности тела не изменяется, и, следовательно, P const и dPdx 0 и внутри пограничного слоя.

Таким образом, интегральное соотношение принимает вид:

d	V		2 dy V	d	V	dy		.

dx 0		X	o dx 0		X		0

Для того чтобы вычислить толщину пограничного слоя и силу сопротивления, приложенную к пластине, требуются еще два дополнительных соотношения, в качестве которых можно взять

закон распределения скорости VX по толщине пограничного слоя и уравнение, связывающее касательное напряжение на поверхности

тела	0	с толщиной слоя .
	0

Приступая к составлению первого дополнительного уравнения, закона изменения скорости VX по толщине пограничного

слоя, поступим следующим образом.

Вместо того чтобы искать истинный закон распределения скорости VX VX y , зададим вид функции VX VX y . Допустим, что VX выражается через y следующим образом:

VX a by cy2 dy2 ,

где a,b,c, d – неизвестные пока коэффициенты.

Этот метод впервые был предложен немецким ученым Польгаузеном.

Для определения коэффициентов a,b,c, d обратимся к

граничным условиям.

Граничные условия будут двух видов: кинематические, налагаемые на скорости на границах пограничного слоя, и динамические, налагаемые на силы внутреннего трения.

Составим эти граничные условия.

Так как на нижней границе пограничного слоя скорость

равна нулю, то V	y 0	0 .
X	y 0
На верхней	границе пограничного слоя VX становится

равной скорости потенциального потокаV0 , следовательно,

VX y V0

На верхней границе пограничного слоя сила внутреннего трения dVX обращается в нуль, поэтому

	dVX	0.
	dy
		y

Четвертое граничное условие можно получить из общих дифференциальных уравнений пограничного слоя, уравнений НовьеСтокса.

Оно имеет вид:			d 2VX			0 .
Оно имеет вид:			dy2			0 .
			dy2		y	0
					y	0
Эти	граничные		условия			позволяют найти коэффициенты
a,b,c, d и	получить		следующее				выражение для определения
скорости в пограничном слое:
		VX		V		3y		y3
		VX		0		3y	2 .
				0
				2

Итак, первое необходимое дополнительное соотношение найдено.

Второе дополнительное соотношение найдем, используя закон Ньютона для внутреннего трения при ламинарном течении:

0			dVX				.
0			dy
			dy		y		0
					y		0
Используя значение VX , получаем
		3		V0		.
	0	2				.
	0

Подставляя VX и 0 в			интегральное соотношение, после
преобразований его можно записать в виде:
13	V		d				dx .


140	0
140

После интегрирования имеем соотношение

280

Так как при x 0 следовательно, C 0 . Таким образом,

V	2	x C .
V		x C .
0

толщина пограничного слоя 0 , то

4,64 x . V0

Из полученного соотношения следует, что внешняя граница пограничного слоя представляет собой параболу второй степени.

Толщина пограничного слоя растет с увеличением х и убывает с ростом скорости V0 набегающего потока.

Более точные методы дают следующую зависимость для закона изменения толщины пограничного слоя:

5,8 x .

Как видим, принятый закон изменения скорости приводит к сравнительно небольшой погрешности.

Определим силу сопротивления трения X тр , действующую

на одну сторону пластины шириной b .

На единицу поверхности пластины действует сила

0	dVx			3		V0 .
	dy			2
		y 0

На элементарную площадку			ds		bdx будет действовать

сила

0 ds 0 bdx ,

откуда полная сила трения, действующая на одну сторону пластины равна:

X тр 0 bdx ,

где l – длина пластины в направлении оси x,

или		l	3 V0	bdx .
	X
		тр

0	2

После подстановки предыдущее равенство принимает вид:

1,3b

V 3l .

тр

Умножая числитель на

l V 2

, получаем соотношение

2 b

X тр

1,3

V0 l 2

которое можно представить следующим образом:

		1,3			V	2
X					0		S,
	тр			2
			Re

где Re V0l и S b l .

Следовательно, для случая ламинарного пограничного слоя коэффициент трения плоской пластины равен:

1,3 CXтр Re

4.4 Расчет турбулентного пограничного слоя для плоской пластины.

Для нахождения двух дополнительных уравнений к основному интегральному соотношению введем гипотезу о тождественности законов распределения скорости по толщине пограничного слоя плоской пластины и по радиусу круглой цилиндрической трубы.

В этом случае можно принять, что изменение скорости внутри пограничного слоя пластины определяется зависимостью

y 7 Vx V0 ,

называемой законом одной седьмой.

Это будет первым дополнительным уравнением к интегральному соотношению.

Вторым дополнительным уравнением будет зависимость между величиной касательного напряжения 0 , толщиной пограничного слоя и скоростью V0 набегающего потока.

Эту зависимость на основании введенной гипотезы можно принять в виде

	1

2		4 .
0 0,0225 V0		4 .
0 0,0225 V0	V0
	V0

Установив два дополнительных уравнения, обратимся к интегральному соотношению для плоской пластины, которое имеет вид

d	Vx2dy V0	d		Vx dy 0 .
			0
dx 0		dx

Вычислим входящие в это соотношение интегралы:

				1			1
		y				V0			7
				7							;

Vx dy	V0				dy		y 7 dy			V0
Vx dy	V0				dy	17	y 7 dy	8		V0
0	0					17	0	8
				2		V2	2
			y					7
V2dy	V2			7						V2 .


					dy	0	y 7 dy
					dy		y 7 dy
x	0					2 7		9		0
0	0					2 7	0	9

Подставляя значение интегралов в интегральное соотношение, получим

		7		V02			d		7		V02		d		0 ,

		9					dx			8			dx
или
		7			V02			d			0 .				(2)

		72						dx
Подставляя значение						0 , получим
															1
	7			2 d
	7			2 d								2				4 ,

		V0 dx							0,0225 V0
72		V0 dx							0,0225 V0					V
															0
или
														1
			7 d
			7 d						0,0225					4	.
															.
			72 dx									V0

Разделив переменные, получим

1				1
1		72		4 dx .

4 d	0,0225
4 d	0,0225
		7	V0

После интегрирования получим

5			1
		72
				4 x C .
4	0,0225
4	0,0225
		7	V0

Учитывая, что при x 0 0 , получим что С=0.

В результате получим, что толщина пограничного слоя равна

0,37 V0 x 5 x .

Из полученного выражения следует, что толщина турбулентного пограничного слоя нарастает более интенсивно, чем ламинарного,

ибо в этом случае величина пропорциональна x 4 5 , в то время как для ламинарного пограничного слоя ранее получино, что

пропорциональна x 12 .

Этот вывод объясняется тем, что перемешивание частиц, имеющее место в турбулентном слое, способствует более

интенсивному его росту.

Определим силу сопротивления трения X тр

пластины

шириной b.

Очевидно, сила трения равна:

bdx .

тр

Подставляя значение

из

интегрального соотношения

(2),

получим

2 d

V b d

V b .

тр

0 dx

Принимая

в выражении для

толщины

пограничного

слоя

x , получим, что

											1
			0,37							5			.

						V
						V
					0
Таким образом
								1
								5		2
X		0,072						5			V0			b .
											V0
	тр			V0						2
	тр

Так как коэффициент трения равен:
		Cx тр			X тр					,
		Cx тр			V 2					,
					0				S
					2				S
					2
то для C x тр получаем значение
										1

		Cx тр	0,072									5 ,
		Cx тр	0,072				V0
							V0
или
		Cx тр			0,072 .
		Cx тр			Re		0,2
					Re		0,2

Зависимость коэффициентов сопротивления от числа Re удобно изображать в логарифмических координатах, в качестве которых принимают lg Re и lg Cx тр .

При этом зависимость C x тр				для ламинарного пограничного
слоя изобразится прямой 1 (рис. 4.4)
lg Cx тр		lg1,3					1	lg Re
lg Cx тр		lg1,3					2	lg Re
							2
с угловым коэффициентом		–			1	; а	зависимость C x тр для
с угловым коэффициентом		–		2		; а	зависимость C x тр для
				2
турбулентного пограничного слоя прямой (2) (рис.4.4):
lg Cx тр	lg 0,072							1	lg Re
lg Cx тр	lg 0,072						5		lg Re
							5
с угловым коэффициентом –		1	.
с угловым коэффициентом –	5		.
	5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.72 Mб32976.pdf
#
15.11.20222.72 Mб42978.pdf
#
15.11.20222.72 Mб22979.pdf
#
15.11.20222.73 Mб22980.pdf
#
15.11.20222.73 Mб02981.pdf
#
15.11.20222.73 Mб02982.pdf
#
15.11.20222.74 Mб32983.pdf
#
15.11.20222.75 Mб52984.pdf
#
15.11.20222.76 Mб02990.pdf
#
15.11.20222.77 Mб12991.pdf
#
15.11.20222.78 Mб02995.pdf