2906

Хван Д.В. Рябцев В.А.

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО РАЗДЕЛУ

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДИСЦИПЛИНЫ «МЕХАНИКА»

Учебное пособие

Воронеж 2005

Воронежский государственный технический университет

Кафедра прикладной механики

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО РАЗДЕЛУ

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДИСЦИПЛИНЫ «МЕХАНИКА»

Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2005

УДК 539.3/6

Хван Д.В., Рябцев В.А. Руководство к решению задач по разделу «Сопротивление материалов» дисциплины «Механика»: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2005. 135 с.

Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по тематике задач, представленных в расчетнопроектировочных заданиях по курсам «Механика» и «Сопротивление материалов», и примеры выполнения этих заданий.

Издание соответствует требованиям Государственных стандартов высшего профессионального образования по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника» и 220400 «Мехатроника и робототехника», специальностям 230104 «Системы автоматизированного проектирования» и 220402 «Робототехнические системы и комплексы», дисциплинам «Механика» «Сопротивление материалов» для студентов очной и очнозаочной (вечерней) форм обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 97 и содержится в каталоге Soprmeh.

Табл. 3. Ил. 51. Библиогр.: 4 назв.

Научный редактор канд. техн. наук, доц. А.А. Воропаев

Рецензенты: кафедра теоретической и прикладной механики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (д-р техн. наук, проф. В.С. Семеноженков); канд. физ. -мат. наук, доц. В.Н. Потапов

Хван Д.В., Рябцев В.А., 2005 Оформление. ГОУВПО, Воронежский государственный технический университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебное пособие включает теоретический материал, необходимый для выполнения расчетнопроектировочных заданий по курсу «Сопротивление материалов» для студентов специальности 220402 «Робототехнические системы и комплексы» дневной и вечерней форм обучения и разделу «Сопротивление материалов» курса «Механика для студентов специальности 230104 «Системы автоматизированного проектирования» дневной формы обучения.

В первой главе рассмотрен метод базовых перемещений, разработаный Рябцевым В.А. Этот метод не сложнее любого из известных методов раскрытия статической неопределимости стержневых систем, но отличается большей универсальностью. Для использования метода не требуется создание дополнительных чертежей схем деформирования стержневой системы или рассмотрение различных способов нагружения системы без которого нельзя раскрыть статическую неопределимость энергетическими методами. В основе метода лежат несколько простых формул, полученных методами кинематики твердого тела. Этот метод особенно удобен при использовании матричного описания и решении задач на ЭВМ.

При работе над §6-9 пособия студент обязан сначала хорошо освоить аппарат алгебры матриц.

Впособии рисунки и формулы нумеруются так, что первая цифра номера рисунка или формулы совпадает с номером главы, к которой относится рисунок или формула, а вторая указывает порядковый номер рисунка или формулы в текущей главе. Например, рис. 3.5 указывает на пятый рисунок или формулу из третьей главы.

Вкачестве упражнений при освоении материала пособия необходимо использовать сборник задач [2] или методические указания [4], которые содержат информацию для выбора условий задач, входящих в расчетнопроектировочные задания.

3

Глава 1. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Плоская стержневая система Узлом называется место соединения нескольких стержней.

Рис. 1.1

Система, состоящая из отдельных стержней, соединенных между собой в узлах, называется стержневой.

79

В большинстве случаев соединения в узлах являются жесткими. Точный расчет систем с такими узлами сложен и поэтому в расчетной практике жесткие соединения в узлах заменяют шарнирами. Как показывает практика, подобная замена допустима, если внешние нагрузки приложены к системе в ее узлах.

Система называется геометрически изменяемой, если положение ее стержней друг относительно друга может изменяться без деформации ее элементов. Простейшая геометрически изменяемая система состоит из четырех стержней (рис. 1.1, а) и является механизмом.

Пусть имеется два стержня, лежащих на одной прямой (рис. 1.1, б), соединенных в узле С. При малых перемещениях точки С в направлении, перпендикулярном осям стержней, не будут возникать силы, препятствующие таким перемещениям. Подобная система называется геометрически изменяемой в малом (т.е. при малых перемещениях) или мгновенно изменяемой.

Если оси стержней не параллельны, то попытка сместить один из стержней приводит к появлению силы, препятствующей такому смещению (рис. 1.1, в). Таким образом, каждый узел, присоединяемый к геометрически неизменяемой системе, должен соединять стержни, не лежащие на одной прямой.

Опорными узлами стержневой системы называются неподвижные узлы, образуемые стержнями системы и стойкой, под которой подразумевается любое неподвижное тело или система неподвижных друг относительно друга тел. На рис. 1.1, в узел А неподвижен.

Подвижными узлами системы называются узлы, способные перемещаться относительно стойки за счет упругих деформаций стержней. Для каждого из подобных узлов можно составить два уравнения статики, поскольку на узел действует система сходящихся сил. Количество неизвестных внутренних сил, действующих в системе, равно числу стержней системы. Условие разрешимости системы уравнений статики для плоской стержневой системы имеет вид

80

где К- число подвижных узлов; S - количество независимых уравнений статики, описывающих равновесие системы.

Если S>2К, то система называется статически неопределимой. Физический смысл статической неопределимости заключается в наличии в системе лишних стержней, которые могут быть удалены из системы при сохранении ее геометриче-

называется степенью статической неопределимости системы. Величину L можно определить путем подсчета числа уравнений статики и числа стержней или путем отбрасывания лишних стержней. Так на рис. 1.1, г показана система с S=8 и

К=3, являющаяся 2 раза статически неопределимой. Если в этой системе отбросить стержни 1 и 2, то система станет статически определимой.

Рассмотренные способы определения геометрической неизменяемости и степени статической неопределимости верны для систем, состоящих только из стержней. На практике встречаются системы, включающие не только стержни, но и недеформируемые тела, называемые дисками (рис. 1.1, д). Для каждого диска на плоскости можно составить три уравнения статики. Образование геометрически неизменяемой системы из стержней и дисков заключается в присоединении дисков друг к другу или к стойке таким образом, чтобы диски образовывали жесткие конструкции (рис. 1.1, е) или стержни, прикрепляющие диски, не пересекались в одной точке (рис. 1.1, ж). При выполнении этого условия система из дисков и стержней будет геометрически неизменяемой при выполнении равенства

3D-S0 0, (1.3)

где D - число дисков; S0 - число стержней, включающие и опорные стержни.

При определении S0 следует помнить, что шарнирнонеподвижная опора А (рис.1.1, б) равносильна двум стержням, а шарнирно-подвижная В (рис. 1.1, ж) - одному стержню. Сис-

81

тема, изображенная на рис. 1.1, з, имеет S0=7, D=2.

При наличии дисков степень статической неопределимости определяется по формуле

L= S0-3D, (1.4)

Система (рис. 1.1, з) один раз статически неопределима. Определение сил, действующих в лишних стержнях системы, называется раскрытием статической неопределимости

системы.

§ 2. Способы раскрытия статической неопределимости Существует несколько способов раскрытия статической

неопределимости стержневых систем. Метод сил является универсальным методом механики твердого деформируемого тела, но в сокращенных курсах сопротивления материалов и тем более в механике, включающей в себя сопротивление материалов как раздел, не излагается.

В учебной литературе наиболее распространен метод, основанный на уравнениях совместности перемещений дисков и стержней системы, которые отражают особенности деформирования стержней. Число уравнений совместности деформаций должно быть равно степени статической неопределимости системы, а общее число уравнений, используемых для раскрытия статической неопределимости, равно числу одинаково деформируемых стержней системы. Поэтому подобный метод не удобен для систем с большим количеством неизвестных. Например, для раскрытия статической неопределимости системы, изображенной на рис. 1.1, и, потребуется решить в конечном счете систему из 8 уравнений.

Метод, основанный на уравнениях совместности перемещений дисков и стержней системы, рассматривается в §1.10.

Далее рассматривается метод базовых перемещений (МБП), позволяющий во многих ситуациях значительно уменьшить порядок системы разрешающих уравнений.

Базовыми перемещениями называются обобщенные независимые между собой перемещения, задание которых однозначно определяет перемещения узлов и дисков системы, а

82

ние которых позволяет определить деформации каждого стержня, а значит и действующую в стержне силу. Для системы, изображенной на рис. 1.1, г, базовыми будут перемещения узлов А, В, С - всего 6 базовых перемещений.

Количество W независимых БП называется степенью кинематической определимости системы.

Очевидно, что степень статической неопределимости L и число базовых перемещений W не связаны между собой. Так, например, для системы (рис. 1.1, и) W= 2, L= 6, для системы (рис. 1.1, г) W= 6, L= 2, а для системы (рис. 1.1, д) W= 2, L= 1.

Следует помнить, что МБП необходим в тех случаях, когда требуется определять перемещения точек систем с любым L 0, или для раскрытия статической неопределимости стержневых систем. Для определения сил и напряжений в стержнях статически определимых систем достаточно воспользоваться уравнениями статики.

§3. Связь базовых перемещений с деформациями стержней Для использования МБП нужно устанавливать связь нор-

мальных сил в стержнях системы с базовыми перемещениями (БП). При этом могут быть два случая:

а) один конец стержня неподвижен, то есть, присоединен к

помнить, что истинные направления БП априорно неизвестны и определяются только после решения систем уравнений. Если

стержень считать растянутым, то орт n будет направлен про-

тивоположно направлению нормальной силы N в стержне;

б) оба конца стержня подвижны (рис. 1.1, л). В этом случае

Растяжение и сжатие в стержне возникает в тех случаях, когда из всех внутренних силовых факторов отличны от нуля лишь нормальные силы. Такой вид нагружения существует только тогда, когда равнодействующие внешних сил, приложенных к стержню в любом сечении, направлены вдоль оси стержня, или точки приложения к стержню внешних сил расположены вдоль оси стержня и силы параллельны этой оси. При этом при растяжении нормальная сила направлена вдоль внешней нормали к сечению от рассматриваемой части стержня, а при сжатии – в противоположном направлении.

В поперечных сечениях стержней шарнирных стержневых систем возникают лишь нормальные напряжения, которые считаются равномерно распределенные по сечению

N / F ,

где F - площадь поперечного сечения стержня; N - нормальная сила, равная алгебраической сумме проекций внешних сил, расположенных по одну сторону от взятого сечения на внешнюю нормаль к сечению.

Удлинение (укорочение) стержня при его нагружении в

84