Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2906

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

a , l

( 1,5a )2

1,802a ,

( 2a )2

( 1,5a )2

2,5a ,

cos

a / l2

a /(1,802a )

0,5547,

cos

2a / l3

2a /( 2,5a )

0,8 ,

E1F1 / l1

2EF / a ,

E2 F2 / l2

2EF /( 1802a )

1,111EF / a ,

E3F3 / l3

EF /( 2,5a )

0,4EF / a .

Тогда

cos2

2EF

2 1,111EF

0,55472

2,683 EF / a ,

2c cos2

2EF

2 0,4EF

0,82

2,512 EF / a .

Система (1.20) приобретает вид

2,683

2EF

2,512

0 .

Отсюда следует

1,256

0 ,

0,730

0,917

Тогда

c (

)

2EF

( 0,917

0,730 )

0,374P

22,426кH ,

1 cos

1,111EF

0,917

0,5547

0,565P

33,907кН ,

cos

0,4EF

0,730

0,8

115

0,234P 14,016кН .

Следовательно, стержни 2 и 3 сжаты, а стержень 1 — растянут.

Для определения площадей поперечных сечений стержней используем условия прочности стержней

	Ni		или F	Ni	.

i		i
			i
	Fi

Отсюда получаем три неравенства для определения F.

		N1		3			2
F	2F					22,426*10 /160= 140,16 мм ,
F	2F					22,426*10 /160= 140,16 мм ,
1
F	2F	N	2		3		2
		N	2		3		2
						33,907*10 /160= 211,91 мм ,
						33,907*10 /160= 211,91 мм ,
2
F	F	N	3	3			2
		N	3	3			2
						14,016*10 /160= 87,63 мм .
						14,016*10 /160= 87,63 мм .
3

Отсюда получаем 3 неравенства для определения величины площади F

F 70,08 мм2, F 105,955 мм2, F 87,63 мм2.

Тогда
F 105,955 мм2, и F1	F2	211,91 мм2, F3 105,955 мм2.
Диаметры стержней

d1 d2 2 F1 /	2	211,91 /	16,426 мм,

d3	2	F3 /	2	105,955 /	11,633 мм.
Принимаем d1 d2			18 мм. Тогда
F	F	d 2	/ 4	182 / 4	254,469 мм2,
1	2	1
		F3	0,5F1 127,235 мм2.
Тогда

d3	2	F3 /	2	127,235 /	12,728 мм.

Для сохранения соотношений площадей стержней округление диаметра d2 до 13 мм производить не нужно.

116

§6. МБП для плоских стержневых систем в матричной форме

Для использования матриц в решении задач МБП нужно уметь строить матрицы по уравнениям равновесия и совместности деформаций.

Пусть n и m числа стержней и базовых перемещений

системы,			, Nn T - матрица столбец нормальных
системы,	N N1	, N2	, Nn T - матрица столбец нормальных
сил в стержнях, ˆp			p , p , p	T - матрица правых частей
			1 2	m

системы уравнений равновесия. Пусть R rij ( m n ) - матрица

коэффициентов системы уравнений равновесия стержневой системы. Тогда система уравнений равновесия стержневой системы имеет вид

Пусть l

P .

, l

T - матрица –столбец длин стержней

системы, ˆ

T - матрица – столбец базовых пе-

ремещений,

, l

T - матрица – столбец удлине-

ний стержней системы,

E1F1 / l1

E2 F2 / l2

En Fn / ln

матрица жесткостей стержней, а

D dij ( m

n ) - матрица связи удлинений стержней системы с

базовыми перемещениями, такая, что

D ˆ .

	CD ˆ , и система уравнений для определения ба-
Тогда N	CD ˆ , и система уравнений для определения ба-
зовых перемещений принимает вид
	RCD	ˆ	ˆ
	RCD		P .
Пусть M	m ( m m ) RCD , и пусть M 1 - матрица, об-
	ij
	117

ратная для M . Тогда

ˆ	M	1 ˆ
	M	P .

Поскольку в упругой системе определенным нагрузкам всегда соответствуют определенные перемещения всех точек системы, и наоборот, матрица M имеет определитель отличный от нуля (невырожденная матрица). Поэтому обратная

матрица M 1 всегда существует.

Определив ˆ , можно определить удлинения стержней, нормальные силы и нормальные напряжения в стержнях.

Определение температурных напряжений При определении температурных напряжений внешние

нагрузки обычно считаются отсутствующими.

Поэтому матрица P – матрица правых частей уравнений равновесия становится нулевой

		ˆ	0, 0,	0	T	.
		P	0, 0,	0		.
Уравнения равновесия системы принимают вид

			RN	0
Удлинение стержня определяется по формуле
l		Nili	tl	C	1 N			tl .
	i	EFi	i	ii			i	i
		EFi
где N i - нормальная сила в поперечном сечении стержня; li									-
длина участка стержня; Ei			– модуль упругости стержня; Fi						–

площадь поперечного сечения стержня на участке с номером i ; - коэффициент линейного расширения материала стерж-

ней.
В матричном виде получается
D ˆ
	C 1N	tl ,

где C 1 - матрица, обратная к матрице жесткости системы. Умножение этого выражения на RC дает

RCD ˆ
RCD ˆ	RCC 1N	tRCl .

По определению CC 1 I , где I - единичная матрица по-

118

рядка n n.

Поскольку RI R и RN 0 , получается

RCD ˆ tRCl .

Уравнения для определения базовых перемещений в мат-

ричной форме имеют вид

M ˆ tRCl ,

Отсюда следует

ˆM 1tRCl .

Матрица нормальных сил определяется по формуле


N CD ˆ	tCl .

§7. Примеры решения МБП задач для плоских стержневых систем в матричной форме

Пример 10. Подбор сечений стержней и расчет температурных напряжений

Для заданной стержневой системы (рис. 1.10), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

а) раскрыть статическую неопределимость системы;

б) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: соотношение площадей, величины действующих нагрузок и допускаемое напряжение 160 МПа;

в) при рассчитанных значе- Рис. 1.10 ниях диаметров определить на-

пряжения в стержнях, возникающие при повышении температуры стержней системы на t , считая при этом нагрузку отсутствующей.

Таблица 1.1

119

	kF 1		kF 2		kF 3		Px		Py	xH		yH				t
		2	2		3		0		-25	0		2			35

													Таблица 2.1

xA		yA	xB	yB		xC		yC	xD	yD	xE	yE			xF		yF
0		0	-1,5	-1,5		-1,5		3	0	2	1,5	3		1,5			-1,5

Принять значение модуля упругости для стали равным

E 2,0*105 МПа, а коэффициент температурного расширения

равным

125*10-7 1/м.

Числовые данные к задаче приведены в таблицах 1 и 2, где все линейные величины даны в метрах, площади сечений стержней в см2, изменение температура в градусах Кельвина. Площади стержней определять по формуле Fi kFi F .

Положения характерных точек стержневой статически неопределимой системы заданы координатами в системе координат, изображенной на расчетной схеме системы (рис. 1.10).

Решение Длины стержней определяются по формулам

l	( x	x	2i	)2	( y	1i	y	2i	)2	,
i	1i		2i			1i		2i

где x1i , x2i , y1i , y2i - координаты концов стержня с номером i . Длины стержней

l1	l5			( xB		xA )2	( yB	y A )2
= ((-1,5-0)2-(-1,5-0)2)0,5 = 2,1213 м;
	l2		( xD		xA )2		( yD	y A )2
		= (( 0-0)2-( 2-0)2)0,5= 2 м;
l3	l4			( xC		xD )2	( yC	yD )2
	= ((-1,5-0 )2-(3-2 )2)0,5= 1,8028 м.
Площади стержней
F1	F5		kF 1 F 2 F ; F2 kF 2 F 2 F ;
		F3			F4	kF 3 F 3 F .
						120

Жесткости стержней
c1	c5	k F 1 EF / l1		2 EF /2,1213= 0,9428 EF ;
		c2	kF 2 EF / l2 2 EF /2= EF ;
c3	c4	kF 3 EF / l3		3 EF /1,8028= 1,6641 EF .
Матрица жесткостей системы
	0,9428		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
	0,0000		1,0000	0,0000	0,0000	0,0000
C EF	0,0000		0,0000	1,6641	0,0000	0,0000 .
	0,0000		0,0000	0,0000	1,6641	0,0000
	0,0000		0,0000	0,0000	0,0000	0,9428

Перемещения точек тел и стержней системы определяются одним двумя базовыми перемещениями u1 и u2. Удлинения стержней с одним подвижным узлом определяются по форму-

лам
			( jx eix	jy eiy ) ,
	li	j ei	( jx eix	jy eiy ) ,

где	j - вектор базового перемещения с номером j ; ei - орт

оси стержня с номером i , направленный от подвижного узла стержня к неподвижному узлу.

Удлинения стержней с обоими подвижными узлами опре-

деляются по формулам
li
li	1	ei		2	ei .
Проекции ортов осей стержней определяются матрицами
eˆ1	cos			sin				0,7071	0,7071 ;
eˆ 2 0 1 , eˆ 3				cos		sin		0,8321 0,5547 ;
eˆ 4		cos			sin			0,8321	0,5547 ;
eˆ 5		cos		sin			0,7071 0,7071 .
Проекции орта базовых перемещений на оси координат
определяются матрицами
		ˆ	1	0	1 ,	ˆ	2	0 1 .

Для рассматриваемой системы

121

									1 ;
l1	1	e1	1 y e1 y			-1*(-0,7071)= 0,7071			1 ;
		l2						1 ,
		l2	2	e2	1	e1	2	1 ,

l3	1	e3	1 y	e3 y		-1*0,5547= -0,5547			2 ,
									2 ,
l4	1	e4	1 y	e4 y		-1*0,5547=-0, 0,5547			2 ,
	ˆ1								1 .
l5	ˆ1	e5	1 y	e5 y		-1*(-0,7071)= 0,7071			1 .

Матрица D связи деформаций стержней и базовых перемещений имеет вид

0,7071 0,0000 - 1,0000 1,0000

D0,0000 - 0,5547 .

0,0000 - 0,5547

0,7071 0,0000

Уравнения равновесия системы, с учетом ее симметрии относительно оси у, сводятся одному уравнению в проекциях всех сил на ось y для узлов А и D

-N1 0,7071+ N2 - N5 0,7071=0,

-N2 + N3 0,5547+ N4 0,5547+ Py =0.

Матрица R системы уравнений равновесия стержневой системы

R	- 0,7071	1,0000	0,0000	0,0000	- 0,7071 .
	0,0000	- 1,0000	0,5547	0,5547	0,0000

Матрица ˆ – матрица правых частей уравнений равнове-

сия

ˆ	0		0
P		Py	25 .
В результате перемножения получается
M RCD	EF	- 1,9428		1,0000
M RCD	EF		1,0000	- 2,0241 .

где

122

	0,6667	0,0000
	- 1,0000	1,0000
CD EF	0,0000	- 0,9231 .
	0,0000	- 0,9231
	0,6667	0,0000

	Уравнения для определения базовых перемещений в мат-
ричной форме имеют вид
		Muˆ		EF - 1,9428		1,0000		uˆ		0 .
					1,0000	- 2,0241				25
	Обратная матрица системы
			M	1	- 0,6902		- 0,3410 / EF .
					- 0,3410		- 0,6625
	Решение системы
ˆ		1 ˆ	- 0,6902		- 0,3410		0			1			0,1188
	M	P	- 0,3410		- 0,6625		25 / EF					EF	0,5974 .
	Матрица нормальных сил в стержнях
					0,6667	0,0000
				- 1,0000		1,0000		1		0,1188
		CD ˆ						1		0,1188
	N			EF	0,0000	- 0,9231
	N			EF	0,0000	- 0,9231			EF	0,5974
					0,0000	- 0,9231			EF	0,5974
					0,6667	0,0000
	- 5,6837 - 8,0380 15,2894 15,2894										- 5,6837 T			кН .
	Проверка решения уравнений равновесия
								- 5,683
	- 0,707		1,000 0,000 0,000 - 0,707							- 8,038				0
	- 0,707		1,000 0,000 0,000 - 0,707											0
RN		0,000 - 1,000 0,554 0,554					0,000			15,289				25 .
										15,289

- 5,683

Как видно, решение верно.

123

Для определения площадей стрежней используем условия прочности стержней

[

] .

Отсюда F

| Ni |

[

]

Для определения площади F получаем систему неравенств

| N1 |

| N3 |

| N4 |

| N5 | ,

, F

kF 1 [ ]

kF 3 [ ]

kF 4 [ ]

kF 5 [ ]

или

| N1 |

= 5,6837*10 /2*160= 17,761 мм ,

kF 1

[

]

| N 2 |

= 8,0380*10

/2*160= 25,118 мм ,

kF 2

[

]

| N3 |

= 15,284*10

/3*160= 31,853 мм ,

kF 3

[

]

| N4 |

= 15,284*10

/3*160= 31,853 мм ,

kF 4

[

]

| N5 |

= 5,6837*10 /2*160= 17,761 мм ,

kF 5

[

]

Тогда F= 31,853 мм2.

Диаметры стержней

4F1

4kF 1 F

2 31,853

9,0063мм ,

4F2

4kF 2 F

31,853

9,0063мм ,

4F3

4kF 3 F

4 3 31,853

11,030мм .

Определение температурных напряжений

124

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.56 Mб02900.pdf
#
15.11.20222.56 Mб12901.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12903.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12904.pdf
#
15.11.20222.57 Mб02905.pdf
#
15.11.20222.58 Mб02906.pdf
#
15.11.20222.58 Mб72909.pdf
#
15.11.20222.58 Mб102910.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02912.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02914.pdf
#
15.11.20222.59 Mб12915.pdf