2906
.pdf
Расчет на прочность.
При наличии в некотором сечении одновременно действующих крутящего M k и изгибающего M i моментов расчет вала ведут по эквивалентному (приведенному) моменту в се-
чении M* = 
Mi2 0,75M k2 , где Mi 
M x2 M y2 - суммарный изгибающий момент в сечении вала.
Опасным сечением вала считается сечение, в котором эквивалентный момент максимален.
Диаметр вала определяется по формуле d 3
32M* ,
где 
= 50 МПа – заниженное допускаемое нормальное напряжение материала вала.
Если в некотором сечении вала действует только крутящий момент M k , то диаметр сечения можно определить из ус-
ловия прочности на кручение: d 3 |
|
16M k |
|
, где |
= 0,5 |
- |
|
допускаемое касательное напряжение материала вала.
Расчет на жесткость С целью уменьшения упругого мертвого хода, особенно
проявляющегося в точных (несиловых) механизмах крутильная жесткость валов ограничивается допускаемым углом закручивания . Условие жесткости вала на кручение имеет вид
,
max
где 
- допустимая величина угла закручивания вала на рабочей длине L .
Рабочая длина вала L определяется суммированием длин
130
участков вала, на которых крутящий момент вала отличен от нуля.
В зависимости от точности механизма величину 
принимают равной нескольким угловым минутам.
Диаметр вала на нагруженном участке определяется по формуле
d |
4 |
|
32M k |
L |
|
, |
|
G |
|
||||
|
|
|
|
|
|
где G – модуль сдвига материала вала.
Если крутящий момент M k измеряется в Н*мм, то модуль сдвига определяется в МПа.
Если условия жесткости вала не выполнено, то есть
d
d , то в качестве диаметра вала принимают наибольший из диаметров d и d
. Полученный диаметр выражают в миллиметрах и округляют до целого числа из предпочтительного ряда размеров, в котором числа заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6
и 8.
Пример 24. Расчет вала на прочность и жесткость при сложном сопротивлении
В соответствии с вариантом задания произвести расчет вала (рис. 4.2) на прочность и жесткость в следующем порядке
1.Из условия равномерного вращения вала определить диаметры зубчатых колес d1 и d2 .
2.Изобразить в масштабе схему нагружения вала.
3.Определить реакции опор вала во взаимно перпендикулярных плоскостях, указанных на схеме нагружения вала.
4.Рассчитать изгибающие и крутящие моменты в сечениях вала, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.
5.Рассчитать диаметры вала на прочность по эквивалентным напряжениям (приведенному моменту M* ) в наиболее
131
опасных сечениях вала. Опасным сечением вала считать то, в котором приведенный момент нагрузки на вал максимален.
6. Рассчитать вал на жесткость при кручении.
При расчете принять G |
8*104 МПа, |
50 МПа; = |
20 угловых минут, то есть |
= / 540 рад. |
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
|||
|
Исходные данные для расчета взять из таблицы 4.1. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
Ft 1 |
|
Fa1 |
Fr1 |
Ft 2 |
Fa 2 |
Fr 2 |
L1 |
L2 |
|
L2 |
|
Н*м |
гр |
|
Н |
|
Н |
Н |
Н |
Н |
Н |
мм |
мм |
|
мм |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4000 |
320 |
-200 |
|
0 |
74 |
-420 |
70 |
162 |
10 |
18 |
|
5 |
|
|
В таблице 4.1 силы даны в Ньютонах, момент в Н*мм, |
|
||||||||||||
угол |
в градусах, длины участков – в мм; L1 , L2 , L3 - рас- |
|||||||||||||
стояния между опорами и местами установки зубчатых колес. Отрицательное значение некоторой величины означает,
что соответствующая сила в действительности направлена
132
противоположно ее направлению на рис. 4.2.
Решение Определение диаметров зубчатых колес
Из условия равномерного вращения вала следует
M |
|
M |
|
M , или |
M |
|
d1 |
F |
|
d2 |
F |
. |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
t1 |
2 |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Отсюда определяем диаметры зубчатых колес |
||||||||||||||||
|
|
|
|
d1 |
2M / Ft1 = 2*4000/200= 40 мм; |
|||||||||||||
|
|
|
|
d2 |
2M / Ft 2 = 2*4000/420= 19,048 мм. |
|||||||||||||
|
|
Определение проекций сил, действующих в зацеплениии в |
||||||||||||||||
точке K2 , на оси координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ft 2 x Ft 2 cos( |
0,5 |
0,5 |
|
) |
Ft 2 |
cos |
= |
|||||||
|
|
|
|
= -420* cos 320 = -321,739 Н, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Ft 2 y |
Ft 2 cos( |
|
0,5 |
|
) |
|
Ft 2 |
sin |
= |
|
||||
|
|
|
|
= -420* sin320 = 269,271 Н, Ft 2 z |
0 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
Fr 2 x |
Fr 2 cos( |
|
0,5 |
|
|
|
) |
Fr 2 sin |
= |
|||||
|
|
|
|
|
= 162* sin320 = -104,132 Н, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
Fr 2 y |
Fr 2 cos( |
|
|
|
) |
|
Fr 2 cos |
= |
||||||
|
|
|
|
= -162* cos 320 = -124,099 Н, F |
|
0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 z |
|
|
|
|
|
|
Определение проекций равнодействующей силы, |
||||||||||||||
|
|
действующих в зацеплении в точке K2 , на оси координат |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Fx |
Ft 2 x |
Fr 2 x |
|
Ft 2 cos |
|
Fr 2 sin |
= |
|||||||
|
|
|
|
=-321,739 -104,132= -425,870 Н, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Fy |
Ft 2 y |
Fr 2 y |
|
Ft 2 sin |
|
Fr 2 cos |
= |
|||||||
|
|
|
|
= 269,271-124,099= 145,872Н. |
|
|||||||||||||
|
|
Плечи осевых сил относительно оси х и у |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
y1 |
0,5d1 = 0,5*40*1= 20 мм, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
0,5d2 cos( |
|
0,5 |
|
) |
|
0,5d2 sin |
= |
||||||
|
|
|
|
= -0,5*19,048*(-0,6428)= 6,122 мм, |
||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
0,5d2 sin( |
0,5 |
) |
|
0,5d2 cos |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
|
|
|
|
|
||
- 0,5*19,048*0,7660= 7,296 мм.
Проекции моментов осевых сил относительно точек C и D на оси х и у
M 1x |
0,5Fa1d1 = 0,5*0*40= 0, |
||
M 2 x |
Fa 2 y2 |
0,5Fa 2 d2 cos |
= |
= 0,5*70*19,048*0,7660= 510,696 Н*мм, |
|||
M2 y |
Fa2 x2 |
0,5Fa2 d2 sin |
= |
|
|
= 0,5*70*19,048*(- |
|
|
|
0,6428)= -428,525 Н*мм. |
|
|
|
Приводя силы в за- |
|
|
|
цеплениях колес к точ- |
|
|
|
кам C и D , располо- |
|
|
|
женным на оси вала и |
|
|
|
заменяя действие опор |
|
|
|
реакциями RA и RB , по- |
|
|
|
лучим схему нагружения |
|
|
|
вала, показанную на рис. |
|
|
|
4.3. |
|
|
|
Рассмотрим раз- |
|
Рис. 4.4 |
|
дельное воздействие на |
|
|
|
вал сил, расположенных в |
|
вертикальной и горизонтальной плоскостях. Вертикальная плоскость ( zy )
В вертикальной плоскости действуют силы Fr1 , Fy , а также пары сил, образующих моменты M x1 и M x2 .
Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид
|
|
|
M Ax 0 , |
|
|
|
|
RBy ( L1 |
L2 ) Fr1 L1 |
M x1 |
Fy ( L1 |
L2 |
L3 ) M x2 |
0 , |
|
M Bx |
0 , |
RAy ( L1 |
L2 ) Fr1 L2 |
M x1 |
Fy L3 M x2 |
0 , |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
RAy ( Fr1L2 |
M x1 |
Fy L3 |
M x2 ) /( L1 |
L2 ) , |
|
||
|
|
|
134 |
|
|
|
|
RBy |
( Fr1 L1 M x1 Fy ( L1 |
L2 L3 ) M x2 ) /( L1 |
L2 ) . |
||
Тогда, |
|
|
|
|
|
RAy |
(74*18+0+145,872*5+510,696)/(10+18)= 91,859 Н, |
||||
RBy |
-(-74*10+0+145,872*(10+18+5)+ |
|
|
|
|
+510,696)/(10+18)= -163,731 Н. |
|
|
|
|
|
Проверка |
|
|
|
|
|
|
|
Yi |
RAy |
RBy |
Fr1 Fy |
|
|
91,859-163,731- |
|
||
|
|
74+145,872= 0. |
|
||
|
|
Следовательно реак- |
|||
|
|
ции RAy и RBy определе- |
|||
|
|
ны правильно. |
|
||
|
|
Горизонтальная плос- |
|||
|
|
|
кость ( zx ) |
|
|
|
|
В горизонтальной |
|||
|
|
плоскости действуют си- |
|||
|
Рис. 4.5 |
лы Ft1 , |
Fx , |
RAx , RBx а |
|
также пара сил, образующих момент M y2 .
Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А
и В имеют вид |
|
|
|
|
|
|
M Ay 0 , |
RBx ( L1 |
L2 ) Ft1L1 |
Fx ( L1 L2 |
L3 ) M y 2 0 , |
||
M By |
0 , RAx ( L1 |
L2 ) Ft1L2 Fx L3 |
M y 2 |
0 , |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
RAx |
( L2 |
Fx L3 |
M y 2 ) /( L1 |
L2 ) , |
|
RBx |
( Ft1L1 |
Fx ( L1 L2 |
L3 ) M y 2 ) /( L1 |
L2 ) . |
||
Тогда,
RAx 
-(200*18+425,870*18-428,525)/(10+18)= -189,315 Н,
RBx 
(-200*10+425,870*(10+18+5)-
- 428,525)/(10+18)= 415,185 Н.
Проверка
135
X i RAx RBx Ft1 Fx -189,315+415,185+200-425,870= 0.
Следовательно, реакции RAx и RBx определены правиль-
но.
Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов Вертикальная плоскость ( zy ) (рис. 4.4)
Изгибающие моменты M x равны:
В точке А M xA |
0; |
|||
В точке С M xC |
RAy L1 91,859*10= 918,59 Н*мм; |
|||
В точке В |
|
|
|
|
M xB |
Fy L3 |
M2 x |
|
145,872*5+510,696= 1240,054 Н*мм; |
В точке D M xD |
|
M 2 x = 510,696 Н*мм. |
||
|
Горизонтальная плоскость ( zx ) (рис. 4.5) |
|||
|
|
|
|
Изгибающие мо- |
|
|
|
|
менты M y равны: |
|
|
|
|
В точке А M yA |
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
В точке С |
|
|
|
|
M yC RAx L1 |
|
Рис. 4.6 |
189,315*10= 1893,15 |
||
|
Н*мм; |
|||
|
|
|
|
|
В точке В |
|
|
|
|
M yB |
Fx L3 |
M2 y 425,870*5-428,525= 1700,826 Н*мм; |
||
В точке D M yD |
|
M 2 y = -428,525 Н*мм. |
||
Крутящие моменты в поперечных сечениях вала равны: На участке AC M кр 
0;
На участке CB M кр 
kt M 
-4000 Н*мм; На участке BD M кр 
kt M 
-4000 Н*мм.
Эпюра крутящего момента приведена на рис. 4.6. Суммарный изгибающий момент в сечении вала определя-
136
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется по формуле M i |
|
|
|
|
M x2 |
M y2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Суммарный изгибающий момент в поперечных сечениях |
||||||||||||||||||||||
вала равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В точке А M |
iA |
|
|
M 2 |
M 2 |
0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xA |
yA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
В точке С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M iC |
|
|
M xC2 |
M yC2 |
918,598 2 |
1893,1522 |
|
2104,242 Н*мм; |
||||||||||||||||
|
|
В точке B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M |
iB |
|
|
M 2 |
M 2 |
1240,052 |
1700,822 |
|
|
2104,886 Н*мм; |
||||||||||||||
|
|
|
|
xB |
|
|
yB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В точке D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
MiD |
|
M xD2 |
M yD2 |
510,6962 |
428,8702 |
|
|
|
666,666 Н*мм. |
|||||||||||||||
|
|
Эквивалентный момент в поперечных сечениях вала опре- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
деляется по формуле M* = |
M i2 |
0,75M k2 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Эквивалентный момент в поперечных сечениях вала ра- |
||||||||||||||||||||||
вен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
В точке А M |
* A |
|
|
|
|
M 2 |
0,75M 2 |
0 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iA |
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
В точке С M*C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= MiC2 |
|
0,75M кр2 |
|
|
|
|
2104,242 2 |
0,75* 40002 |
|
4053,126 Н*мм; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
В точке B |
M |
*B |
|
|
|
|
M 2 |
0,75M 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iB |
|
кр |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2104,882 |
0,75* 40002 |
|
4053,461 Н*мм; |
||
|
|
|
|
|
|
|
В точке D M |
*D |
M 2 |
0,75M 2 |
|||
|
|
iD |
|
кр |
||
|
|
|
|
|
||
666,6662 |
0,75* 40002 |
|
3527,668 Н*мм. |
|||
Максимальный эквивалентный момент в поперечных се- |
||||||
чениях вала равен M*max |
4053,461 Н*мм. |
|||||
Опасное сечение вала расположено в точке D .
Расчет вала на прочность Диаметр вала определяется по формуле
137
d 3 |
32M* |
= d |
3 |
32* 4053,461 |
9,382 мм. |
|
|
|
|
50 |
|
Расчет вала на жесткость
Рабочая длина вала L определяется суммированием длин участков вала, на которых крутящий момент вала отличен от нуля. В данном случае L L2 L3 
18+5= 23 мм.
Диаметр вала на нагруженном участке определяется по формуле
d |
4 |
32M k |
L |
|
= 4 |
|
32* 4000* 23* 540 |
= 6,168 мм |
|
G |
|
|
8* 104 |
* |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где G 
8*104 МПа – модуль сдвига материала вала.
В соответствии с рядом предпочтительных чисел принимаем диаметр вала равным 10 мм.
138
Приложение. 
Отформатировано
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТАТИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Если некоторое тело рассматривается изолированно от других тел, то их действие на это тело заменяется силами или моментами, которые называются внешними силами или моментами или нагрузками.
Сила и момент являются векторными величинами, характеризующими взаимодействие тел.
Система сил называется плоской, если все силы системы расположены в одной плоскости. В противном случае система сил является пространственной.
Система сил называется сходящейся, если линии действия входящих в нее сил пересекаются в одной точке.
Сходящиеся системы сил могут быть плоскими и пространственными.
Момент силы относительно точки
|
|
|
|
|
Плечом силы P относительно точки О называ- |
||
|
ют перпендикуляр OK, опущенный из точки О на |
||
|
линию действия силы (рис. 1). |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
Моментом силы P относительно точки О называют ал- |
||
гебраическое значение произведения модуля силы на ее пле- |
|||
|
|||
|
чо относительно точки О |
|
|
|
Mo ( P ) Ph |
(1) |
|
Из (1) следует, что момент силы относительно точки не меняется при переносе силы по ее линии действия. При определении знака момента следует мысленно считать плечо OK = h стержнем, который закреплен шарнирно в точке О и имеет
свободный конец в точке К. Тогда при вращении плеча под
действием силы P вокруг точки О против часовой стрелки
момент будет положительным, а при вращении по часовой
стрелке - отрицательным. Если P = 0 или h = 0, то M0 ( P ) 0 . 139