2906

не меняя его величины и направления, переносить параллельно самому себе.

В сопротивлении материалов вектор силы или момента можно считать свободным только при описании равновесия тела (гипотеза отвердевания). При определении внутренних сил в теле силы и моменты уже нельзя считать свободными векторами, поскольку от положения силы или момента относительно тела зависят напряжения и деформации тела.

Моментом пары m( P,P ) называют

свободный вектор, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на ее плечо (рис.4) и направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, чтобы, смотря из его конца к

Рис. 4 началу, видеть вращение пары против хода часовой стрелки

Вращательное действие силы относительно оси определя-

ется не всей силой, а только ее состав-

ляющей (компонентой) Pt (рис. 5), ле-

жащей в плоскости, перпендикулярной

этой оси. Другая составляющая Pl , па-

раллельная оси l, не вызывает вращения, а стремится сдвинуть тело вдоль оси (силой такого направления дверь

снимают с петель).

Моментом силы относительно оси называют алгебраическую величину, равную произведению проекции силы на плоскость П, перпендикулярную к данной оси, на расстояние от этой проекции до оси, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции (рис. 5):

142

Момент силы относительно оси не зависит от выбора точ-

143

ки О оси, из которой проводится вектор– радиус r в точку А

приложения силы P .

Сумма векторов моментов двух сил, составляющих пару, относительно произвольной точки О не зависит от положения точки О и равна вектору моменту пары, то есть вектору моменту одной из сил пары относительно точки приложений второй силы пары.

В частном случае на плоскости сумма моментов двух сил, составляющих пару, относительно произвольной точки в плоскости пары равна моменту пары

Часто пару изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 7, а). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что действие пары сил характеризуется ее моментом, и при определении опорных реакций, т. е. неизвестных внешних сил следует брать суммы моментов всех сил относительно какой - либо точки, а где приложены силы, составляющие пару, на основании (7) значения не имеет. Но, если надо определить не внешние силы, а внутренние в разных сечениях балки, как

Рис. 7 это делается в сопротивлении материалов, то важно знать, где приложе-

ны силы пары. Например, внутренние силы будут различными для балок, изображенных на рис. 7, б и 7, в. Если силы пары приложены, как показано на рис. 7, в, то пара и ее момент условно называют сосредоточенными.

Наиболее распространенными опорами тел являются шарнирно подвижная опора, шарнирно неподвижная опора и заделка.

Шарнирно подвижная опора (рис. 7,а, б, опора В) позволя-

144

ет точке В тела перемещаться вдоль некоторой линии. В шар-

нирно подвижной опоре возникает реакция RB , перпендику-

лярная направлению перемещения опоры.

Шарнирно неподвижная опора (рис. 7,а, б, опора А) не позволяет точке А никаких перемещений. В шарнирно непод-

вижной опоре возникает реакция RA произвольного направления, которую для удобства определения раскладывают на две

Заделка - одна из часто встречающихся связей (опор). Пусть горизонтальная одноопорная (консольная) балка (рис. 8) имеет один свободный конец, а другой конец жестко заделан в

стену. Стена воздействие на балку со-

средоточенной силой RA (реакцией) и

Для произвольной системы сил верна теорема Вариньона: вектор момент равнодействующей любой системы сил относительно произвольной точки равен сумме векторов моментов

Если все силы расположены в одной плоскости и точка О (центр моментов) находится в той же плоскости, то все векторы моменты сил будут расположены на одной прямой, проходящей через точку О, и перпендикулярной к плоскости сил, а

145

тогда, согласно (5.9), векторное суммирование можно заме-

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно произвольной точки в плоскости сил равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

Момент равнодействующей произвольной системы сил относительно какой - либо оси равен алгебраической сумме

( k 1,2, ,n ) называется векторная сумма моментов этих сил

Для получения уравнений(15) в скалярной (координатной) форме, нужно спроецировать левые и правые части этих ра-

146

венств на оси прямоугольной декартовой системы координат и затем использовать формулу (10)

Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Выберем начало координат в точке пересечения линий действия (схождения) сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и, согласно формуле (16) моменты сил относительно этих осей равны нулю. Три последние равенства (16) принимают вид 0 = 0. Поэтому

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то, взяв оси Ox к Oy в плоскости сил, видим, что Zk = 0, т. е. проекция любой силы на ось Oz равна нулю. Поэтому третье уравнение (17) дает тождество: 0 = 0, которое бесполезно.

Итак, для плоской сходящейся системы сил

147

при условии, что точки O1, O2, O3 не лежат на одной прямой. При решении задач можно пользоваться тремя видами

систем уравнений равновесия (20), (21), (22) исходя из конкретных условий задач. Выбор той или иной системы уравнений равновесия зависит в первую очередь от особенностей задачи, уровня знаний, опыта, желания и вкуса решающего.

Известно, что момент силы, отличной от нуля, относительно данной точки равен нулю, когда линия действия силы проходит через данную точку. Отсюда следует практический вывод: если при определении неизвестных сил нужно составить уравнения, в которые входят моменты этих сил, то за центр моментов О выгодно брать точку, через которую проходит линия действия одной или нескольких неизвестных сил.

Система параллельных сил, расположенных в одной плоскости

Если все параллельные силы лежат в плоскости х, у, то, выбирая оси так, чтобы ось Ox была перпендикулярна силам,

получим, что все Xk = 0, a Yk = Pk, где Pk – проекция силы на

ось у силы Pk . Из (20) остаются два уравнения

149