2906

телом АВС. При этом, вследствие малости удлинений по сравнении с длинами стержней, используются следующие допущения:

I) ориентация оси любого стержня в процессе деформирования системы не изменяется;

2) если жесткое тело в соответствии с наложенными связями может совершать вращательное движение, дуги окружностей, по которым перемещается его точки,

заменяет отрезками касательных к этим окружностям.

Эти допущения в большинстве случаев практически очень точно выполняются.

Рассмотрим составление уравнений совместности перемещений на нескольких примерах.

На рис. 1.19, а-1.22, а, представлены стержневые системы, а на рис. 1.19, б – 1.22, б представлены схемы деформирования этих систем с учетом принятых допущений. На этих схемах цифрами без штрихов помечены части стержней, недеформированной системы, а цифрами со штрихами помеченные те же части стержней деформированной системы.

Случай 1.

Система, изображенная на рис. 1.18, а один раз статически неопределима ( l = 1). Вследствие симметрии шарнир А пере-

Система (рис. 1.20,

145

твердого тела ОС перемещается по вертикали и при этом тело может поворачиваться вокруг точки О (см. рис. 1.22, б). Из

Расчет статически неопределимых систем ведется в следующем порядке.

Рис. 1.22

l. Выбирают тело, равновесие которого нужно рассмотреть. Освобождают его от связей и нагружают активными силами и реакциями стержней, считая стержни pастянутыми. Классифицируют получившуюся систему сил и составляют уравнения равновесия.

2.Определяют степень статической неопределимости сис-

темы.

3.Рассматривая возможные перемещения, соответствующие наложенным связям составляют уравнения совместности перемещений характерных точек стержней и выражают перемещения шарниров стержней через удлинения стержней.

При этом принимают:

а.) если из схемы возможных перемещений следует, что какой либо стержень укоротился, то удлинение в уравнении перемещений берут со знаком минус;

6) если стержень К изготовлен с погрешностью длины K , то в уравнении совместности перемещений, составленном без учета погрешностей длин заменяют удлинение lK на

147

lK K . При этом считают K > 0 если стержень длиннее проектного и K < 0 - если короче.

4. Заменяют в уравнениях совместности перемещений удлинения нормальными силами по закону Гука, при этом длины стержней берут равными расчетным (проектным) длинам

lK

Частные случаи:

а) если в стержне реализуется однородное напряженное

5. Решают совместно уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений и получают значения нормальных сил в стержнях.

Пример 17. Определение монтажных напряжений в стержневой системе с твердым телом

Для системы, изображенной на рис. 1.18 раскрыть статическую неопределимость и определить нормальные силы в стержнях при условии, что длина стержня 2 отличается от проектной длины на величину .

Тригонометрические функции угла

Раскрытие статической неопределимости проводится следуя ранее изложенной методике.

1. Стержни является связями для абсолютно твердого тела ABС (см. рис. 1.18, а), поэтому для определения N1 и N2

нужно рассмотреть равновесие этого тела (рис. 1.23, а). Для системы сил, произвольно расположенных на плоскости, мож-

Рис. 1.23

но составить 3 независимых уравнения равновесия, Так как нужно определить только N1 и N2 , выбираем уравнение равновесия, в которое не войдут реакции опоры А

2. Число независимых уравнений равновесия 3, неизвестных реакций 4 ( N1 , N2 , RAx , RAy ), поэтому степень статиче-

ской неопределимости системы равна 1.

3. Тело ВСА закреплено неподвижно и точка А вследствие деформации стержней может совершать вращательное движение. На рис. 1.23, б представлена схема деформирования:

ВАС - положение тела до деформации; В'А'С' - положение тела после деформации. Угол поворота узлов В и С одинаков, так как тело АВС - абсолютно твердое. Пусть C и B перемеще-

ния узлов С и В. Тогда

дует из схемы деформирования (см. рис. 1.23, б) стержень 1

l2 3a , после подстановки получим уравнение совместности перемещений в виде

5. Решая совместно уравнения равновесия и совместности деформаций, получим

Знаки нормальных сил подтверждают, что стержень 1 сжат, а стержень 2 растянут.

Дальнейшие расчеты по определению площадей проводятся так же как и в других рассмотренных выше задачах.

Раскрытие статической неопределимости при наличии отклонений длин стержней от проектных длин проводится в соответствии с выше рассмотренной методикой.

1. Полагая Р= 0, освобождаем тело ВАС от связей. Пусть N1* и N*2 нормальные силы, возникающие в стержнях после сборки (рис. 1.23). Уравнение равновесия имеет вид

2.Поскольку l =1 система статически неопределима.

3.Так как длина стержня 1 отличается от проектной длины на , то в уравнение совместности перемещений, составленное для идеальных (точно изготовленных) стержней, необ-

Так как

ня. Из рис. 1.2, з следует

тело, при любых нагрузках, не разрушающих стержень, перемещения его концевых сечений друг относительно друга равны нулю. Поэтому удлинение всего стержня равно нулю. Поскольку стержень состоит из трех участков, его удлинение определится по формуле

l l1 l2 l3 .

На участках 1 и 3 нормальная сила и характеристики стержня постоянны. Поэтому удлинения этих участков определятся по формулам

На участке 2 характеристики стержня постоянны, а нормальная сила и изменяется по линейному закону

N( z2 ) RB 14qa 4qz2 .

Поэтому удлинение этого участка определится по формуле

153

Глава 2. КРУЧЕНИЕ ПРЯМЫХ КРУГЛЫХ ВАЛОВ

§ 11. Теоретическая справка.

Крутящим моментом называется момент пары сил, расположенных в плоскости поперечного сечения, которым одна часть стержня действует на другую часть стержня.

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Стержень, нагруженный подобным образом, называют валом. Ниже рассматриваются только прямые валы. Моменты, вызывающие кручение стержня создаются парами сил, расположенных в плоскостях, перпендикулярных продольной оси вала.

Для определения крутящего момента в сечении вала используется метод сечений, для чего в нужном месте вал рассекается поперечным сечением, одна из частей вала с приложенными к ней нагрузками отбрасывается, ее действие на оставленную часть вала заменяется крутящим моментом, который определяется из уравнения равновесия оставленной части вала. Крутящий момент в поперечном сечении вала, нагруженного сосредоточенными моментами, определяется по формуле

где M i - момент, приложенный по одну сторону от сечения;

n - количество моментов, расположенных по одну сторону от сечения.

При записи этого соотношения принято правило знаков, согласно которому крутящий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, когда M i вращает рассматри-

ваемую часть вала против хода часовой стрелки, если смотреть в направлении, противоположном направлению внешней нормали к сечению.

Условие прочности при чистом кручении вала переменного сечения записывается в виде

154