2906

Реакцию RA найдем из уравнения равновесия моментов сил относительно точки В

Для проверки правильности решения используем уравнение равновесия сил в проекциях на ось у:

RA RB B P1 2a 4a 0 , 2,25qa 4,75qa qa 2a 4a 0 , 0 0 .

В рассматриваемой балке можно выделить три участка непрерывного изменения поперечных сил и изгибающих моментов. Определим нормальные силы и изгибающие моменты для этих участков, используя метод сечений.

Участок 1: 0 z1 a3 5a . Как видно из рис. 3.6, а, на

этом участке к балке не приложено никаких сил или моментов, поэтому поперечные силы и изгибающие моменты на всем

Поскольку поперечная сила на втором участке меняет знак, на этом участке находится экстремум изгибающего мо-

мента. Для его определения нужно найти координату z*2 точки, соответствующей Qy 0 , то есть решить уравнение

Qy ( z*2 ) 2qz*2 4,75qa 0 .

Отсюда следует, что z*2 2,375a .

120

При определении Qy ( z2 ) учтено, что распределенная на-

грузка, направленная противоположно оси у считается отрицательной.

Изгибающий момент

Для расчета третьего участка распределенную нагрузку, приложенную на участке 2 удобно представить в виде равнодействующей с модулем R 2q 4a 8qa приложенной в точке, удаленной от рассматриваемого сечения на расстояние

b2a z3 .

Врезультате, поперечная сила на третьем участке будет

равна

Qy (z3 ) RA - RB 8qa -2,25qa - 4,75qa 8qa qa .

Изгибающий момент на этом участке определяется реак- RB , равнодействующей R с плечом b и моментом

Для проверки используем левую отсеченную часть балки, на которую действует только сила P1 qa (рис. 3.6, в). Поперечная сила на третьем участке будет равна

Qy (z3 ) P1 qa .

121

Изгибающий момент на этом участке определяется только силой P1 , плечо которой относительно сечения балки равно z3 5a z3 :

Как видно из последних результатов, рациональный выбор рассматриваемой части балки позволяет значительно упростить определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов показаны на рис. 3.5. Из них видно, что максимальное значение изги-

бающего момента M x 5,64qa2 5,64 107 Нм достигается в

опоре А. Исходя из условий прочности, определим размеры указанных сечений. Момент сопротивления сечения

Для сечения в виде двух швеллеров момент сопротивления каждого из двух одинаковых швеллеров составит

что соответствует профилю №22 с площадью сечения 26,7 см2 и моментом сопротивления Wx 192 см3. Для этих трех случаев коэффициенты экономичности составят соответственно:

Следовательно, из трех рассмотренных сечений рациональнее использовать сечение, состоящее из двух рядом расположенных швеллеров.

Пример 23. Расчет плоской статически определимой рамы

Рис. 3.7

Для заданной рамы (рис.3.7) построить эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты этих эпюр. Принять a 1 м, q 10

коэффициент запаса прочности n 1,5. Решение

1. Определение реакций опор.

Для определения трех реакций опор Н, RA , RA можно со-

123

ставить три уравнения равновесия. Сумма проекций всех сил

Все три реакции

Qy и изгибавших моментов M x . Разбиваем раму на три участ-

ка. Правила разбиения рамы на участки те же, что и для балки. Положение произвольного поперечного сечения на участках определяется координатами z1 , z2 и z3 . Выбираем направле-

ние взгляда на участок при написании выражений для построения эпюр (оно показано стрелками) и записываем выражения для N , Qy и M x на участках. Для каждого участка

пользуемся наиболее удобной локальной системой координат. Участок 1: 0 z1 a3 .

Рассматриваем равновесие части рамы, расположенной по левую сторону от сечения (рис. 3.8, а):

Рассматриваем равновесие части рамы, расположенной справа от сечения (рис. 3.8, б):

N( z1 ) 0 , Qy ( z2 ) qz2 RA .

Поскольку Qy линейная функция z2 , определяем ее зна-

чения на границах второго участка:

Qy ( 0 ) RA -20 кН,

Изгибающий момент является квадратичной функцией координаты z2 . Для построения параболы необходимо определить как минимум три значения M x , два из них удобно определять на границах участка:

qa2 / 2 qa2 / 2 5 кН*м.

Так как на втором участке Qy не меняет знак, то эпюра не имеет экстремума. Третье значение изгибающего момента

125

ствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

Для коробчатого сечения осевой момент сопротивления

где J1 , J2 - моменты инерции прямоугольников, соответст-

вующих наружному и внутреннему прямоугольникам, в виде разности которых можно представить коробчатое сечение.

Учитывая, что h 3b и t 0,2b , получим

Приравняв осевой момент сопротивления коробчатого сечения расчетному значению Wx , получим,

Поскольку напряжение в опасном сечении превышает допускаемое напряжение , опасное сечение перегружено. Перегрузка составляет

() / (158,018-150)/150= 5,34%.

Поскольку допускаемая перегрузка по напряжению составляет более 5%, опасное сечение недостаточно прочно и его размеры нужно увеличивать.

127

Глава 4. Сложное сопротивление

§ 15. Изгиб с кручением прямых круглых валов

На рисунке 4.1, а представлено изображение в одной из возможных схем промежуточных валов механических передач приборов с установленными на них зубчатыми колесами с диаметрами d1 и d2 . Каждое из колес может быть цилиндрическим прямозубым или косозубым, коническим, червячным. В зависимости от вида колес осевые силы Fa1 и Fa 2 в зацепле-

ниях колес могут иметь другие направления или отсутствовать.

На рисунке обозначено:

K1 и K2 - точки зацепления 1- го и 2- го колес с колесами предыдущей и последующей ступеней передачи; - угол поворо-

128

та точки K2 относительно точки K1 вокруг оси вала; Ft 1 и Ft 2 окружные силы, приложенные к зубчатым колесам 1 и 2 в точках зацепления K1 и K2 и направленные по касательным к окружностям, проходящим через эти точки ; Fr1 и Fr 2 - радиальные силы в зацеплениях колес, линии действия которых проходят через точки K1 и K2 перпендикулярно оси вала; Fa1 и Fa 2 - осевые силы в зацеплениях колес, проходящие через точки K1 и K2 и направленные параллельно оси вала.

угол в градусах, длины участков – в мм; L1 , L2 , L3 - расстояния между опорами и местами установки зубчатых колес.

Вращающий момент, передаваемый зубчатыми колесами определяется по формуле M Ft1d1 Ft 2d2 ;

В валах механизмов возникают в общем случае нормальные напряжения от нормальных сил и изгибающих моментов и касательные напряжения от крутящего момента и поперечных сил. В общем случае в точках вала наблюдается объемное напряженное состояние.

Построение расчетных схем валов в сопротивлении материалов не рассматривается, поскольку требует знания общетехнических дисциплин, в частности теории механизмов и машин и деталей машин.

При расчете валов используются ранее рассмотренные методы определения напряжения при растяжениисжатии, изгибе балок и чистом кручении валов.

Существует два вида расчетов валоврасчет на прочность и жесткость и расчет на выносливость.

Перед проведением расчетов любого вида необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов в сечениях вала.

Расчетная практика показывает, что в общем случае напряжениями от нормальных и поперечных сил в сравнении с напряжениями от крутящих и изгибающих моментов можно пренебречь.

129