2906

сечения вала диаметром d ; - допускаемое напряжение.

Условие прочности при кручении вала постоянного сечения записывается в виде

где Mк max - максимальный крутящий момент в поперечных

сечениях вала.

С помощью эпюры крутящих моментов, построенной для заданной расчетной схемы согласно соотношению (2.I), можно определить угол закручивания концевых сечений вала длиной l со ступенчатым изменением жесткости по формуле

мент на i - м участке; li - длина i - го участка вала; Ji

d 4 / 32 0,1d 4 - полярный момент инерции сечения i - го участка вала.

Условие жесткости для относительного угла закручивания записывается в виде

где - допускаемое значение относительного угла закручи-

вания.

Вал называется статически определимым, если крутящие моменты в его сечениях можно определить с использованием методов теоретической механики и метода сечений. В против-

155

2. Построение эпюры крутящего момента.

Составляем выражения для крутящего момента согласно соотношению (2.1) для каждого из пяти участков, показанных на рисунке 2.2 (границами участков являются сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные моменты).

Определяем крутящие моменты в сечениях.

часть (рис. 2.2, в) получаем

Участок 5: 0 z5 a . Рассматривая правую отсеченную часть (рис. 2.2, д) получаем

M к ( z5 ) 0 .

По полученным значениям крутящего момента M к стро-

им эпюру крутящих моментов (рис. 2.1). 3. Определение опасного сечения.

Из анализа эпюры крутящих моментов следует, что на втором участке крутящий момент является наибольшим по абсолютному значению и равным Mк max =2,7 кНм=2,7*106

Н*мм. Поскольку сечение вала постоянно, опасные сечения вала находятся в сечениях с максимальным крутящим моментом. В данном случае опасные сечения располагаются на втором участке вала.

4. Определение диаметра вала.

Диаметр вала сплошного сечения определим из условия прочности вала, записанного для всех участков.

Условие прочности имеет вид

где Wp d 3 / 16 - момент сопротивления сечения вала; d - диаметр вала; Mк max - максимальный крутящий момент в се-

чениях вала. Отсюда следует

После округления получаем: d1 65 мм.

Пример 20. Кручение статически неопределимого вала

К стальному валу, защемленному с двух сторон, приложены два заданных момента M 1 и M 2 (рис. 2.3). Требуется:

158

Для системы сил, приложенных к валу нельзя составить другие независимые уравнения равновесия. Это уравнение содержит две неизвестные вели-

чины M A и M B . Поэтому рассматриваемая задача является один раз статически неопределимой. Для определения крутящих моментов необходимо

раскрыть статическую неопределимость системы, для чего нужно составить уравнение совместности деформаций вала.

159

Построим эпюры крутящих моментов, выраженных через

Так как концы вала защемлены, то поворот концевых сечений вала друг относительно друга не возможен и соответствующий угол поворота равен нулю:

сечения участка с номером i относительно левого; li - длина

участка вала с номером i; G 8 104 МПа - модуль сдвига материала вала; J pi - полярный момент инерции поперечного

сечения вала для участка с номером i.

Определим полярные моменты инерции для каждого участка.

Подставим выражения для крутящих моментов и поляр-

160

ных моментов инерции в уравнение совместности деформаций:

В качестве диаметра d назначим максимальное из этих чисел - это значение d = 37,91 мм. После округления получаем: d1 40 мм. Далее определяем диаметры прочих участков

162

Глава 3. ПРЯМОЙ ИЗГИБ БАЛОКИ РАМ

§13. Теоретическая справка.

Под изгибом понимается такой вид деформирования, при котором в поперечном сечении стержня возникает изгибающий момент. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающим в сечении стержня, то изгиб называется чистым. В большинстве случаев наряду с изгибающим моментом в поперечном сечении стержня возникает и поперечная сила. В этом случае изгиб называется поперечным. Стержень, работающий в основном на изгиб, называется балкой.

Изгиб балок При решении задач, связанных с расчетом на прочность

при изгибе, важно научиться правильно определять поперечную силу Qy и изгибающий момент M x в поперечном сече-

нии белки и строить эпюры этих внутренних силовых факторов.

Обычно решение задачи начинают с определения опорных реакций. Это необходимо для балок имеющих более одной опоры. Для этого следует составить уравнения равновесия балки. Для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать только три уравнения равновесия, Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, для чего записывают дополнительное уравнение равновесия. Если реакции определены верно, то это уравнение удовлетворяется тождественно.

Далее разбивают балку по ее длине на участки. В пределах каждого участка аналитические выражения Qy и M x должны

быть неизменными. Границами участков образуют: 1) сечения, в которых приложены сосредоточенные силы; 2) сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты; 3) сечения, в которых происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки; 4) сечения концов балки; 5) сечения в ко-

108

торых находятся опоры балки.

Рассматривая произвольное поперечное сечение на каждом участке балки, используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Qy в сечении балки

численно равна сумме поперечных сил, порожденных каждой из всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент в сечении балки равен сумме изгибающих моментов, поро-

Рис. 3.1. жденных каждой из всех внешних сил, действующих на

отсеченную часть балки.

При этом используются следующие правила знаков для Qy и M x . Внешняя сила Pi , поворачивающая отсеченную

часть балки относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, дает положительную поперечную силу (положительное слагаемое в выражении для Qy и наоборот (рис. 3.1,

а). Существует и другие способы вычисления поперечной силы. Например, можно использовать проекции сил P на ось у:

Внешний момент М, вызывающий изгибающий момент в рассматриваемом сечении и изгибающий балку выпуклостью вниз (создающий сжатие в верхних частях сечений балки), дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для M x ) и наоборот (рис. 3.1, б).