2906

N 3 2M / a .

§ 8. МБП для пространственных стержневых систем Пространственные стержневые системы, предназначенные

для крепления твердых тел друг к другу, широко применяются в технике и строительстве. Ниже предлагается метод расчета нормальных сил и перемещений в пространственных статиче-

ски определимых и неопределимых стержневых шарнирных или близких к ним системах. Эти системы могут включать и твердые недеформированные тела. Рассматривается матричная форма описания основных соотношений метода, как наиболее удобная для пространственных систем и систем, имеющих большое количество

базовых перемещений.

Рассматривается система с одним твердым телом, изобра-

женная на рис. 1.14, где 0- диск; i=1, 2, …, n- номер стержня;

P, M - главные вектор и момент системы внешних сил, при-

ложенных к телу, приведенные к точке S; Ai , Bi - подвижный и неподвижный узлы, соединяющие стержень i с телом и

опорным телом; ei - орт оси стержня, направленный из центра подвижного узла в центр неподвижного узла; N i - нормальная сила в стержне i (на рисунке нормальные силы условно показаны как реакции, приложенные к телу); i - вектор-радиус

узла Ai относительно узла Bi ; r i - вектор-радиус узла Ai от-

носительно точки S ; - поступательное перемещение тела;i - полное перемещение узла Ai .

Для рассматриваемой системы базовыми перемещениями

136

определяет работу упругого деформирования стержней систе-

мы. Здесь знак ―-― обусловлен тем, что сила N i считается при-

ложенной к твердому телу и направленной к точке закрепле-

ния стержня на опоре и тем, что на перемещении точки креп-

ления стержня к телу при удлинении стержня сила N i совер-

шает отрицательную работу. Очевидно, что

стержней.

Следовательно, для определения абсолютных удлинений стержней, нет необходимости строить картину перемещений точек и тел системы. Для этого нужно транспонировать матрицы G и H , которые получаются при составлении уравне-

138

ний равновесия системы, и использовать выражение

Следует отметить, что это верно только при соответствии системы уравнений равновесия системе базовых перемещений: если каждому уравнению равновесия в проекциях на некоторую ось системы координат соответствует линейное базовое перемещение вдоль этой оси, а уравнению равновесия моментов, приложенных к телу, относительно некоторой точки, соответствует угловое базовое перемещение этого тела относительно этой же точки.

При одном твердом теле разрешающая система уравнений задачи содержит всего шесть уравнений независимо от количества стержней, соединяющих тело с опорой. Это следует из того, что число базовых перемещений, определяющих перемещение любой точки тела, равно количеству независимых уравнений равновесия тела. Поэтому исчезает различие в методах решения задач для статически определимых и неопределимых систем.

Особенно удобен МБП при решении задач с большим числом неизвестных, например для маховиков со спицами или многостержневых статически неопределимых систем.

§ 9. Примеры решения МБП задач для пространственных стержневых систем в матричной форме

Пример 14. Определение нормальных сил и перемещений в пространственной трехстержневой системе

139

Пусть три одинаковых стержня имеют длину l , площадь S , изготовлены из материала с модулем упругости E и обра-

мальных сил в стержнях на оси координат определяются мат-

140

рицами

Пример 15. Определение нормальных сил и перемещений в пространственной стержневой ферме

Пусть две симметрично расположенные фермы поддерживают твердое тело, нагруженное силой Q и моментом М, приложенными в плоскости симметрии и направленными вдоль оси z3 (рис. 1.16). Из условий закрепления тела следует, что перемещение точки S в направлении оси

Рис. 1.16 z2 будет равно нулю. Из условий равновесия тела следует, что проек-

быть такими, чтобы проекция перемещения точки S на ось z2

была равна нулю. Проекции ортов ei на оси системы координат и матрицы Bi и Bp остаются прежними, поскольку отра-

жают свойства деформируемой системы, а не нагрузки. Поэтому изменится только правая часть системы уравнений рав-

нормальных сил в стержнях на оси координат определяются матрицами

ной силы P на неосесимметричную ферму.

§ 10. Исследование статически неопределимых стержневых систем с использованием уравнений совместности перемещений

В данном параграфе рассматривается традиционный подход к рассмотрению статически неопределимых систем, основанный на использовании уравнений совместности перемещений (деформаций). Этот параграф можно изучать независимо от изложенного выше материала.

Пусть для некоторой системы можно составить n независимых уравнений статики. Пусть нормальные силы в стержнях системы определяются m неизвестными величинами. Стержневая система будет статически определимой, если число неизвестных m не превышает число независимых уравнений n равновесия, составленных по правилам статики. Если число неизвестных больше возможного числа уравнений равновесия, система становится статически неопределимой. Величина

l m n называется степенью статической неопределимости системы. Для рассмотрения статически неопределимых стержневых систем необходимо, в дополнение к уравнениям

143

ки, составить уравнения совместности перемещений. Число уравнений совместности перемещений должно соответствовать числу "лишних" неизвестных системы (термин «лишних» надо понимать как «нормальных сил в стержнях, не требующихся для обеспечения равновесия системы»).

Например, в системе, изображенной на рис 1.19, один из стержней является лишним и без него равновесие тела АВС может быть обеспечено.

Число лишних неизвестных определяет степень статической неопределимости стержневой системы. Если система имеет одну, две и т.д. лишних неизвестных, то ее называют один раз (или однажды), два раза (или

дважды) и т.д. статически неопределимой. Число уравнений совместности перемещений должно соответствовать степени

статической неопределимости.

Наиболее трудной частью изучения статически неопределимых систем является составление уравнений перемещений, которые отражают большое разнообразие физических явлений, происходящих в системе. Необходимо отметить, что если в статически определимых системах силы в их упругих элементах могут возникать только от активных и реактивных внешних сил, то в статически неопределимых системах эти силы могут возникать и по другим причинам, например, от изменения температуры, а также от неточностей изготовления элементов системы.

Уравнения совместности перемещений отражает очевидный факт: концы стержней деформированной системы должны оставатъся в тех же шарнирах, что и недеформированной, даже если эти шарниры перемещаются. Например, в системе, изображенной на рис. 1.18, шарниры В и С будут поворачиваться вокруг шарнира А, так как соединяют стержни 1 и 2 с жестким

144