Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2906

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

1 0,0209 2 3,08 10 7 P .

Отсюда находим

				( 3,08			2,83 )			10 7 P						0,25			10 7 P			7,788 10 7 P ,
		2								10 7 P									10 7 P			7,788 10 7 P ,
		2	( 0,053				0,0209)								0,0321
			( 0,053				0,0209)								0,0321
	1		3,08 10 7				P	0,0209 7 ,788 10 7 P												3,242 10 7 P ,
	1
				3	15,584 1				0,984					2	( 15,584 3,242
					0,984 7,788 )10 7 P											42,87				10 7 P .
Нормальные силы в стержнях
			N1		2 105			3,242 10 7 P									6 ,484 10 2 P ,
			N2	105 ( 3,242					7,788 )10 7 P									6 ,484 10 2 P ,
N3			0,798 105 ( 2 3,242										42,87 )10 7 P								58,07 10 2 P ,
					N4		0,798 105 ( 4								3,242			7,788
						42,87 ) 10 3 P									50,77 10 2 P .
Проверка правильности решения
			2N3			N4	( 2 58,07							50,77 )10 2 P							1,67P ,
			0,707N 2				0,894( N3						N4 )			( 0,707 (						4,546 )
				0,894( 58,07					50,77 ) 10 2 P											1,005 P ,
N1	0,707N 2					0,447( N3					N4 )				( 6 ,484					0,707 ( 4,546 )
				0,447( 58,07					50,77 )) 10 2 P											0,00687P .
Условия прочности стержней имеют вид
									i			Ni				.
													Fi			.


Поскольку
			F		160 1000 102								1,6 107 H							1,6		104 кН ,
допускаемое значение силы P определяется системой нера-
венств:
			P				F				1,6				10	4	2,46 103 кН ,
				1
				1	6 ,484			10	2		6 ,484
					6 ,484			10	2		6 ,484
											105

P		F			1,6 104	3,52		103	кН ,
	2	4,546	10 2	4,546

P		2F			3,2 104	0,55		103	кН ,
	3	58,07	10 2	58,07

P		2F			3,2 104		0,63 103 кН .
	4	50,77	10 2	50,77

Этой системе неравенств удовлетворяет							P 550 кН .
Перемещение точки приложения силы P определяется на
основе принципа суперпозиции
DY	( 0,75		3	0,25 2 )		( 0,75	42,87
	0,25 7,788 ) 10 7 P					34,09 10 7 P ,
		DX		1	3,242 10 7 P .
		DX		1
Полное перемещение точки D (рис. 1.5, б)

D	2		2		34,092	3,2422	10 7 P
D		DX	DY
34,25 10 7 P			34,25 10 7			550 103	1,88 мм .

Пример 6. Определение температурных напряжений в статически неопределимой системе с жестким телом

Определить температурные напряжения в стержнях системы, изображенной на рис. 1.6, а, если a=1м; F 5 см 2 ;

E 2 105 см 2 повышение температуры стержней после сбор-

ки системы составляет 80 С. Решение

Система два раза статически неопределима и один раз кинематически определима.

Характеристики стержней. Длины

l1 a ; l2 ( 3a )2 a 2 10a 3,16a ,

106


	a 2 ( 1,5a )2
l3	a 2 ( 1,5a )2			3,25a		1,803a ,

	( 2a )2		( 3a )2
AC	( 2a )2		( 3a )2		13a	3,60a ,
		AD	0,5 AC	1,80a .

Рис. 1.6

Тригонометрические функции углов

	cos	3a / 3,60a		0,832 ,
sin	2a / 3,60a	0,556,		arcsin(0,556 ) 33,78 ,
	cos	3a / 3,16a		0,949 ,
	sin	a / 3,16a		0,316 ,
	arcsin(0,316 ) 18,42 ,
	2( 90	) 2( 90	33,78 )		112,44 ,

cos 0,382,sin 0,924 .

Пусть перемещение точки В равно , тогда, поскольку твердое тело вращается относительно точки А, получаем (рис. 1.6, б)

	е	AC	3,60a	1,20 ;		1		0,6 .

C AB			3a		D	2	C

Направления векторов перемещений точек перпендикулярны радиусам, соединяющим эти точки с точкой А, и показаны на рис. 1.6, б.

107

Удлинения стержней

													l1	1 ,
		l2					c		cos( 90					)		1,20 0,79			0,948		,
l3			D cos(							90 )		0,6		sin			0,6	0,924		0,555 .
Жесткости стержней
							C1			E1F1 / l1			E3F / a				3EF / a
							3		2 105		5 102 / 1000					3 105 н / мм ,
C	2	E	2	F			/ l	2		E2F / 3,16a				0,63EF / a				0,63 105 н / мм ,
	2		2		2			2
C		E F					/ l		3	EF / 1,80a				0,55EF / a				0,55 105 н / мм .
	3		3		3				3
	При изменении температуры стержней нормальные силы
определяются по формулам
										Ni		( li			tli )Ci .
	Тогда
					N1				(		t a )C1			3 105 (				ta ) ,
						N2			(	0,948				t3,16a )0,633 105
										0,6(			3,33			ta ) 105 ,
					N3				( 0,555				t	1,803a ) 0,555 105
										0,308(			3,24			ta ) 105 .
	Уравнение равновесия жесткого тела АВС (диска) имеет
вид		M A ( Pi )							0 , или
	N1 3a				N2 AC sin(90									)	N3 AD sin(				90 )		0 .
	Отсюда
									3N1		2,206N 2			0,687N3				0 ,
	3 3			105 (						ta )		2,206		0,6		105 (		3,33	t a )
							0,687 0,308 105 (								3,24		ta ) 0 ,
или
10,535						3,906				ta		0 ,	ta		125 10 7 80 1000					1 мм ,
													108

0,371ta 0,371мм .

Нормальные силы

N1 3 105 ( 0,371 1 )

1,887 105’

188,7 кH ,

N2 0,6( 0,371 3,33 1 )105 222 кH ,

N3 0,308( 0,371 3,24 )105 11,12 кH .

Напряжения в стержнях


1	N1			188,7 10			3	125,8 МПа ,
	F1			3 500				125,8 МПа ,


2			N 2			222 103		222 МПа ,
			F2	2 500				222 МПа ,


3		N3			11,12 103			222МПа .
		F3		500				222МПа .

Пример 7. Определение допускаемой силы, приложенной к проволоке

Определить допускаемую нагрузку на проволоку диаметром 1 мм из стали, для которой 200МПа (рис. 1.7). Вес проволоки не учитывать.

			Решение
	Пусть смещение точки приложения силы
	Р равно . Удлинение половины проволоки

	l l		l		l 2	2 l
	1
	l(	1	(	/ l )2		1 ) .
Рис. 1.7	Величина в общем случае (					/ l )2 мала Ис-
Рис. 1.7	пользуя разложение в ряд Тэйлора по степеням
	пользуя разложение в ряд Тэйлора по степеням
( / l )2 , получаем
	( 1 ( / l )2 )1 / 2	1	0,5( / l )2 .
	109

	l	1	2
Тогда	l	1				.

	l	2		l
	l	2		l
Нормальные напряжения в проволоке
						1	2
					E	1			E .	(1.18)
					E				E .	(1.18)
						2		l

Из условия равновесия точки приложения силы Р имеем

	P	2N sin		2N		.
	P	2N sin		2N	l	.

С учетом (1.18) имеем P			2N	2 / E .
Допускаемая сила Р равна

	P	2	F 2	/ E
	12
2 200	12	2	200 / 2 105 14,042н .
2 200	4	2	200 / 2 105 14,042н .
	4

Пример 8. Проверка прочности и определение перемещений в статически неопределимой системе с двумя твердыми телами

Система состоит из двух жестких тел соединенных друг с другом тремя стержнями и закрепленных как указано на рис. 1.8, а. Определить перемещение точки Е и проверить проч-

ность стержней, если P=200 кН;, а=1 м, F=10 см2 ;

E 2 105 МПа ;

160МПа .

Решение Для обеспечения равновесия системы достаточно стерж-

ней 1 и 3. Поэтому система один раз статически неопределима. Уравнения равновесия моментов, приложенных к жестким телам, имеют вид

M A ( Pi ) N1a N2 2a cos N3 2a 0 ,

M G ( Pi ) P 2a N1 2a N2 2a cos N3a 0 .

Отсюда следует

110

N1 2N2 2N3 0, 2N1 2N2 N3 2P . (1.19)

Эта система содержит три неизвестных и поэтому один раз статически неопределима. Система два раза кинематически

Рис. 1.8 определима, поскольку перемещения всех ее точек определя-

ются углами	1	и	1	поворота жестких тел 1 (ABC) и 2 (EFG),
	1		1

которые отсчитываются в положительных направлениях (рис. 1.8, б).

Перемещения точек


B	1a ,		c	2 1a ,		E	2a 2 ,		F	2a 2 .
Деформации стержней
l1		E	B		2a 2		a 1	a( 2 2		1 ),
	l2		E	sin		c sin		( 2a	2
		2a	1 )sin		2a(		2	1 )sin		,
l3		F	C		a 2	2a 1		a( 2		2 1 ) .

Пусть l2		2a . Тогда жесткости и нормальные силы

стержней будут равны

111

C	C	2	EF / a 2 105						103 / 1000		2 105 н / мм ,
1		2
		C3 2EF / l2							2EF /	2a		2C ,
			N1				C1 l1		C1a( 22		1 ),
													1 ) ,
		N2		2aC2 (				2	1 ) 2C1a(		2		1 ) ,
			N3			C3 l3			C1a( 2	2 1 ) .
После подстановки Ni в (1.19) получаем
													0 ,
	2 2		1			2 2( 2 1 ) 2 2					4 1		0 ,
2( 2 2			1 )		2 2 ( 2				1 )	2	2 1		2P / C1a ,
или

			( 5 2 2 ) 1						( 4 2 2 ) 2 0 ,
											2P / C1a .
		( 4 2 2 ) 1						( 5 2 2 ) 2			2P / C1a .

Вычитая из последнего уравнения первое, получаем систему уравнений

1 0,872 2 0,	1 2 2P / C1a .
Отсюда

			2P		1,068	P		1,068 20 103	1,068 10 3 ,
2 1,872C a					1,068	EF		2 105 1000	1,068 10 3 ,
2 1,872C a						EF		2 105 1000
				1
				1	0,872		2	0,931 10 3.
Перемещение точки Е
			E	2 2 a	2 1,068 10 31000 2,136 мм .
Нормальные силы в стержнях
		N1	2	105	103( 1,068			0,931)10 3	27,4 кН ,
N2			2	2 105 103 ( 1,068 0,931)10 3					54,8 кН ,
N	3		2 105 103 ( 1,068 2 0,931)10 3						158,8 кН .

Стержни 1 и 2 растянуты, стержень 3 - сжат. Напряжения в стержнях

	N	1		240,8 103	240,8МПа ,
1	F		1000		240,8МПа ,
1

			112

			N		2	158,8 103	27,4МПа ,
					2
	2		2F			2000
	2

		N		3		158,8 103	158,8МПа .
				3
3		F				1000
3

Отсюда следует, что напряжение в стержне 1 превышает допускаемое напряжение.

Пример 9. Раскрытие статической неопределимости и определение площадей сечений стержней статически неопределимой системы

Для заданной стержневой системы (рис. 1.9), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

а) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: отношения площадей, величина действующей

нагрузки Р= 60 кН и допускаемое напряжение

160 Мпа.

Решение Поскольку вследствие симметрии системы узлы А и В мо-

гут перемещаться независимо друг от друга только по вертикали, рассматриваемая система два раза кинематически определима.

Для определения сил и напряжений в стержнях системы используем принцип суперпозиции.

Пусть	1	и	2	перемещения точек А и В соответственно.
	1		2

Закрепив мысленно точку В сообщаем точке А перемещение

1 . Тогда удлинения стержней будут равны									l11	1 ,
l21	1 cos	,	l31	0 . Нормальные силы в стержнях, вы-
званные перемещением					1
					1
	N11	c1	l11	c1	1 ,	N21	c2	l21	c2 1 cos		,
				N31		c3	l31	0 .
Закрепив точку А, сообщаем точке В перемещение											2 . То-
гда удлинения стержней будут равны
	l12			2 ,	l32		2 cos ,		l22	0 .
						113

Нормальные силы в стержнях, вызванные перемещением 2 определятся по формулам

N12 c1 l12

c1 2 , N32 c3 l32

c3 2 cos ,

N22 c2 l22 0 .

Таким образом, за счет обоих перемещений в стержнях

Рис. 1.9 будут действовать нормальные силы

		N1		N11					N12		c1 1		c1 2		c1( 1					2 ),
		N2		N21				N22			c2	1 cos			0		c2	1 cos			,
		N3		N31					N32		0	c3	2 cos				c3	2 cos .
Уравнение равновесия узлов А и В имеют вид (рис. 1.9,б)
		P		2N2 cos							N1	0 ,		N1	2N3 cos					0
Подставляя сюда выражения для нормальных сил, получа-
ем уравнения для							1		и	2
							1			2
c (	1	2	)	2c	2	1			cos2		P ,		c (	1	2	)	2c		2	cos2	0 ,
1	1	2			2	1							2	1	2			3	2
или

( c		2c cos2			)	1	c	2	P,
1		2				1	1	2		(1.20)
c		( c	2c		cos2		)		0.	(1.20)
c	1	( c	2c		cos2		)	2	0.
1	1	1	3					2
Далее проще эту систему численно, для чего нужно опре-
делить коэффициенты при			1	и 2 .
Из рис. 1.9, а следует
			114

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.56 Mб02900.pdf
#
15.11.20222.56 Mб12901.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12903.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12904.pdf
#
15.11.20222.57 Mб02905.pdf
#
15.11.20222.58 Mб02906.pdf
#
15.11.20222.58 Mб72909.pdf
#
15.11.20222.58 Mб102910.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02912.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02914.pdf
#
15.11.20222.59 Mб12915.pdf