Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2906

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

При определении температурных напряжений внешние нагрузки считаются отсутствующими

Уравнения равновесия системы, с учетом ее симметрии относительно оси у, сводятся двум уравнениям в проекциях всех сил на ось y для узлов А и D

- N1 0,7071+ N2 - N5 0,7071=0, - N2 + N3 0,5547+ N4 0,5547=0.

Матрица R –системы уравнений равновесия стержневой системы остается прежней.

Матрица P – матрица правых частей уравнений равнове-

сия

ˆ	0

P 0 .

Удлинение стержня определяется по формуле

	Ni li	1
li		tli Ci	Ni	tli .
li	EFi	tli Ci	Ni	tli .
	EFi

где N i - нормальная сила в поперечном сечении стержня; li -

длина участка стержня; Е – модуль упругости стержня; F – площадь поперечного сечения стержня на участке с номером i ; - коэффициент линейного расширения материала стержня.

В матричном виде получается

D ˆ
D ˆ	C 1N	tl ,

где C 1 - матрица, обратная к матрице жесткости системы;

ˆ	T	- матрицастолбец длин стержней.
l	l1 , l3 , l4 , l5	- матрицастолбец длин стержней.
	Умножение этого выражения на RC дает

		RCD ˆ RCC 1N		tRCl .
	По определению CC 1		I , где I - единичная матрица.
		ˆ	0 , получается
	Поскольку RI R и RN		0 , получается
		RCD ˆ	tRCl .

В результате перемножения получается

125

RC		EF	- 0,6667		1,0000				0,0000	0,0000 - 0,6667 .
			0,0000		- 1,0000 0,9231						0,9231	0,0000
			M	RCD		EF - 1,9428				1,0000		.
									1,0000	- 2,02411
	Уравнения для определения базовых перемещений в мат-
ричной форме имеют вид									tRCl ,
						M ˆ			tRCl ,
или
EF	- 1,94		1,00	u1		tEF			- 0,666	1,0	0,000 0,000 - 0,67
EF	1,00 - 2,02			u2		tEF			0,000 - 1,0 0,923 0,923 0,00
	1,00 - 2,02			u2					0,000 - 1,0 0,923 0,923 0,00
				2,1213
				2			- 0,8284
				x 1,8028			- 0,8284			tEF .
				x 1,8028				1,3282		tEF .
				1,8028				1,3282
				1,8028
				2,1213
	Обратная матрица системы
			M 1		- 0,6902				- 0,3410		/ EF .
					- 0,3410				- 0,6625
	Решение системы
1			- 0,6902		- 0,3410				0,8284			0,1188
1			t - 0,3410								t	0,5974 .
2			t - 0,3410		- 0,6625				1,3282		t	0,5974 .
2
	Пусть
	g	E	tF	2 105		125 10 7 (+35)31,853= 2787,12 Н.
	Матрица нормальных сил в стержнях
						CD ˆ
					N	CD ˆ			tCl ,

126

		0,9428	0,0000		0,0000	0,0000		0,0000
		0,0000	1,0000		0,0000	0,0000		0,0000

	N	g 0,0000	0,0000		1,6641	0,0000		0,0000	x
		0,0000	0,0000		0,0000	1,6641		0,0000
		0,0000	0,0000		0,0000	0,0000		0,9428
		0,7071	0,0000				2,1213
		- 1,0000	1,0000		0,1188		2
	x	0,0000	- 0,5547		0,1188		1,8028 H,
	x	0,0000	- 0,5547		0,5974		1,8028 H,
		0,0000	- 0,5547		0,5974		1,8028
		0,0000	- 0,5547				1,8028
		0,7071	0,0000				2,1213
	- 5353,37 -7570,81 - 6824,23 - 6824,23 - 5353,37 T Н.
N	- 5353,37 -7570,81 - 6824,23 - 6824,23 - 5353,37 T Н.
	Проверка решения уравнений равновесия
							- 5353,37
	- 0,707 1,0		0,000	0,000 - 0,707			- 7570,81		0
	- 0,707 1,0		0,000	0,000 - 0,707					0
RN	0,000 - 1,0		0,554	0,554 0,000			- 6824,23		0 .
							- 6824,23
							- 5353,37

Как видно, решение найдено верно.

Температурные напряжения определяются по формулам

i Ni / k Fi F .

Матрица нормальных температурных напряжений имеет

вид

			- 5353,3724/2	- 84,0328
1		1	- 7570,8118/2	- 118,8403
1		1
	N		- 6824,2375/3	- 71,4141 МПа .
F	N	31,853	- 6824,2375/3	- 71,4141 МПа .
F		31,853	- 6824,2375/3	- 71,4141
			- 6824,2375/3	- 71,4141
			- 5353,3724/2	- 84,0328

Пример 11. Подбор сечений стержней плоской статически

127

Рис. 1.11

неопределимой системы с твердым телом Для заданной стержневой системы (рис. 1.11), состоящей

из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: соотношение площадей, величина действующей на-

грузки и допускаемое напряжение.

Исходные данные:

а = 0,7м; Р = 50 кН; =

160 МПа.

Решение Так как диск может со-

вершать только вращательное движение, система один раз кинематически определима. В качестве базового перемещения выберем пере-

мещение точки D. В таком случае перемещение точки В будет равно

				B	3a / a	3 .
				B
Выразим удлинения стержней через базовое перемещение
l1	, l2		B cos		3	cos	3	0,6	1,8 ,
где cos	2a /	( 2a )2		( 1,5a )2		2 / 2,5	0,8 ;
sin	1,5a /		( 2a )2		( 1,5a )2	1,5 / 2,5		0,6 ;
cos	cos(	0,5		)	sin	0,6.

Таким образом, матрица связи деформации стержней с базовыми перемещениями будет иметь вид:

D 1,8 .

Рассмотрим равновесие диска, заменив действия на него со стороны стержней нормальными силами. В качестве уравнения равновесия системы возьмем уравнения равновесия моментов относительно точки С

128

N1 a N2 1,8a P3a 0 , или N1 1,8N2 3P .

Таким образом, матрица системы уравнений равновесия имеет вид:

R 1 1,8 .

Как видно, в данном случае матрицу D можно было бы получить простым транспонированием матрицы R.

Жесткости стержней:

C	2EF	1,333	EF	, C		2EF	0,4	EF	.
					1
1			a			2,5a		a
	1,5a

Матрица жесткостей системы

C	1,333	0	EF	.
	0	0,4
			a

Система уравнений равновесия диска в матричной форме имеет вид

ˆ ˆ

RCD P ,

где ˆ - матрица – столбец правой части системы урав-

P 3P

нений; ˆ - матрица – столбец базового перемещения. Очевидно, что

RCD		EF		1		1,8		1,333		0				1
RCD			a	1		1,8		0		0,4				1,8
			a					0		0,4				1,8
	EF		1	1,8		1,333				2,629			EF		.
			1	1,8		0,72				2,629					.
	a					0,72								a
Тогда система уравнений принимает вид
			2,629				EF		3P ,
			2,629				a		3P ,
							a
откуда следует, что					3Pa				1,141		Pa	.
откуда следует, что									1,141			.
					2,629EF						EF

Зная базовое перемещение, нормальные силы можно выразить через удлинения и жесткости стержней

N		l C		C 1,141		Pa	1,333	EF
N	1	l C		C 1,141			1,333
	1	1	1	1		EF		a
						EF		a
					129

1,521P	1,521 50	76,055 кН ,
N2 l2C2 1,8 C2 1,8		1,141	Pa	0,4	EF

			EF		a
0,821P	0,821 50	41,080 кН .

Для определения площадей сечений стержней используем условия прочности стержней

					i	Ni	/ Fi	.
Отсюда	Fi		Ni	/ i		или
	F		2F		76,055 103			476 мм2 ,
	F		2F					476 мм2 ,
1						160
						160
		F	F		41,080		103	257 мм2 .
2						160
						160

Отсюда получаем два неравенства для определения F F 238мм2 ,F 257мм2 .

Тогда F	257 мм2 и
F		2F 514 мм2	, F F 257мм2 .
1			2

Отсюда определяем диаметры стержней

d1 4F1 / 4 514 / 25,6 мм , d2 4F2 / 4 257 / 18,1 мм .

Пример 12. Определение удлинений стержней и напряжений

встержнях плоской статически неопределимой системы

ствердым телом

Для заданной стержневой системы (рис. 1.12), состоящей из стержней круглого поперечного сечения с площадями

F1	1 см2, F2 2 см2 и F3	3 см2, изготовленных из материа-
лов с модулями упругости		E	105 МПа, E 2 105 МПа,
		1	1
E	0,7 105 МПа. Система нагружена силой Р = 60 кН (рис.
3

1.12). Требуется определить удлинения стержней и напряже-

130

ния в стержнях.

Рис. 1.12

Решение Предполагая возмож-

ность только вертикального перемещения узлов, введем два базовых перемещения 1 и 3 , опреде-

ляющих перемещения узлов А и С, (рис. 1.12) и выразим через них удлинения стержней:

l1			1 ,
	1	e1
l3			3 ,
	3	e3

l2 ( 1( AC AB )	3 AB ) / AC ( 11,25
3 1 ) / 2,25	( 5 1 4 3 ) / 9 .

Матрица связи удлинений стержней с базовыми перемещениями имеет вид

	1	0
D	5		4	.
D	9	9		.
	9	9
	0	1

Матрица жесткостей стержней С имеет вид

	E1 F1	0		0
	l1	0		0
	l1
C	0		E2 F2	0 .
C	0		l2	0 .
			l2
	0	0			E3 F3
	0	0			l3
					l3

Матрица связи нормальных сил в стержнях с базовыми перемещениями CD имеет вид

131

						E1 F1	0
	c1		0			l1	0
	c1		0			l1
CD	5	c2	4	c2	5E2 F2			4E2 F2				.
CD	9	c2	9	c2		9l2			9l2			.
	0		c3						E	F
					0		3				3
					0				l3
									l3

Составим уравнения равновесия системы: 1) в проекциях сил на ось у

Piy 0, N1 N2 N3 P 0 ;

2) моментов сил относительно точки В

M B	0,	N1 AB N3 BC PBD	0 или
N1	1,25N3	0,5P , или 4 N1 5N3	2P .

Таким образом, система уравнений равновесия рассматриваемой системы имеет вид

4 N1 5N3 2P , N1 N2 N3 P .

Составим матрицу R системы уравнений равновесия стержневой системы

R	4	0	5
	1	1	1

ˆ
и матрицу P правых частей системы уравнений равновесия
стержневой системы
ˆ	2
ˆ
P	1	P .

Матрица связи базовых перемещений с внешними силами имеет вид

	4c1							5c3
M RCD ( c		5	c		)	(	4	c		c ) .
M RCD ( c			c		)	(		c		c ) .
1	9			2			9		2	3

Разрешающая система уравнений задачи имеет вид

M	ˆ	ˆ
M		P .

Поскольку

132

							E F					2 105100			7
									1	1					7
			c1												10	Н/м,
			c1						l1					2	10	Н/м,
									l1					2
						E		2	F		2 105150					7
								2		2						7
		c2													2 10		Н/м,
		c2						l2					1,5		2 10		Н/м,
								l2					1,5
					E F						0,7		105200		7 106
		c			3 3										7 106		Н/м,
		3				l3								2
						l3								2
M		4		107								5 7		106	107		4	3,5	.
M	( 4		5	2 )107						(	4	2		0,7 )107	107		5,11	1,588	.
	( 4	9		2 )107						(	9	2		0,7 )107			5,11	1,588

Тогда система уравнений задачи принимает вид

			7		4			3,5		1	6 10		4	2	.
			10	5,11			1,588				6 10			1	.
				5,11			1,588			2				1
										2
	Определитель матрицы M
	det M		1014((			4 ) 1,588				17,888 )				24,24			1014
отличен от нуля и поэтому существует обратная матрица
		M	1			107				0,0655		00,1443 .
		M						1014				00,1443 .
					24,24			1014		0,2108			0,1649
	Тогда
1		1 ˆ				3		0,1310 0,1443								3	0,0798
	M	P	6 10					0,426		0,1649				10			3,519	.
2								0,426		0,1649							3,519
2
	Удлинения стержней
			l1		0,0798 мм;					l3	3,519 мм;
		l2	( 5		0,0798				4 3,519 ) / 9			1,608 мм.
	Нормальные силы в стержнях
		N1		c1	l1		107		0,0798 10 3				798 Н;
		N2	c2	l2		2		107 1,608 10 3					32,16 кН;
		N3	c3	l3		6	106		3,519 10 3				21,114 кН.
	Нормальные напряжения в стержнях
			1		N1 / F1				798 / 100		7,98 Па;
									133

2	N2 / F2	32160/ 150	214 Па;
3	N3 / F3	21114 / 200	105,507 Па.

Пример13. Определение перемещений твердого тела

вплоской статически определимой системе

стремя стержнями

Определить перемещения твердого тела и нормальные силы в стержнях системы, изображенной на рис. 1.13. Уравнения равновесия системы

N 2

, N1

0 ,

M is

0, N3

M 0 .

Матрицы системы уравнений равно-

весия

(1.21)

P ,

где N

;

N1 , N2 , N3

P 0,0, M

2 / 2

1 .

2 / 2

Рис. 1.13

0,5a

При определении перемещений кон- Отформатировано цов стержней суммируем перемещения точек твердого тела, как жесткого целого в поступательном движении и перемещения вызванные поворотом тела. В основе этого способа определения перемещения лежит теорема о представлении перемещения точек твердого тела в плоском движении как суммы перемещения полюса и перемещения относительно полюса.

Тогда выражения для удлинений стержней примут вид


1	l1 ( 1	2 ) 2 / 2 ; 2			l2 ( 1	2 ) 2 / 2 ;

3 l3 0,5a 2 .

Матрица перемещений концов стержней

134

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.56 Mб02900.pdf
#
15.11.20222.56 Mб12901.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12903.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12904.pdf
#
15.11.20222.57 Mб02905.pdf
#
15.11.20222.58 Mб02906.pdf
#
15.11.20222.58 Mб72909.pdf
#
15.11.20222.58 Mб102910.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02912.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02914.pdf
#
15.11.20222.59 Mб12915.pdf