Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2906

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Деформации стержней определяются из схемы перемещений концов стержней (рис. 1.3, а) по формуле

cos

где

cos

1; cos 2

l / l2

1,030; cos

l / l3

1,118 .

Силы, вызванные в стержнях деформациями

где

C1 E1F1 / l1

EF / l , C2

E2 F2 / l2

EF / 1,03l

C1 / cos 2 ,

E3 F3 / l3

EF / 1,118l

C1 / cos

3 .

Из уравнения равновесия узла А (рис. 1.3, б)

2N 2

2N3

получаем уравнение для определения

cos 1

2C2

cos

2C2

cos

3 P

0 ,

или

( C1

2C1

2C1 ) P .

Отсюда

P / 5C1

200 103

1000

0,2 мм .

2 105

10 100

Силы в стержнях

cos

C1 P

40 кH ,

5C1

N 2

cos 2

C2 P cos

40 кH ,

5C1

cos

PC1

40 кH .

5C1

Итак, все стержни оказались нагруженными одинаково. Поскольку площади стержней одинаковы, напряжения в стержнях также одинаковы. Подобные конструкции называются равнонапряженными.

Пример 3. Определение допускаемой силы для статически неопределимой стержневой системы

Определить допускаемое значение силы Р, для системы, изображенной на рис 1.3, а, если допускаемое напряжение в стержнях равно [ ]=200 МПа; F=1 см2, а перемещение точки А не должно превышать 0,3 мм.

Решение Для решения этой задачи нужно определить зависимость

силы Р от перемещения точки А подобно тому, как это сделано в примере 2. Эта зависимость имеет вид P=5 C1.

Условие жесткости системы имеет вид [ ]= 0,3 мм. Отсюда определяется допускаемое значение силы Р

P 5 C1 5EF / l 5 0,3 2 105 10 100 / 1000 300H .

Кроме условия жесткости система должна удовлетворять условию прочности, которое включает условия прочности всех стержней

Тогда

Ni .

Но Ni

. Отсюда следует ограничение на li

Ni / Ci F

/ Ci .

Поскольку

cos

i , получаем систему ограничений

на

li / cos

i F

/ Ci

cos

/ C1

200 1000

1 мм .

2 105

Допускаемое значение силы Р по условиям прочности

C1 5 12 105

103 / 1000

1000 кН .

Следовательно, допускаемое значение силы Р определяется условием жесткости системы и равно 300 кН.

Пример 4. Раскрытие один раз статически неопределимой стержневой системы и определение монтажных напряжений

Рис. 1.4

Для заданной стержневой системы (рис. 1.4, а), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

а) подобрать диаметры стержней из условия прочности, если известны соотношения площадей стержней, внешняя нагрузка Р и допускаемое напряжение [ ]=160 МПа;

б) при рассчитанных значениях диаметров определить напряжения в стержнях, возникающие при сборке системы, если известно, что длина стержня 1 отличается от проектной длины на величину (силу Р при этом считать отсутствующей).

Исходные данные: Р = 60 кН; а = 1 м; = - 0,8 мм;

E 2 105 МПа .

Решение Поскольку обе точки А и В могут перемещаться в верти-

кальном направлении, система 2 раза кинетически неопределима. Пусть 1 и 2 - перемещения точек А и В соответственно.

Закрепив точку В сообщаем точке А перемещение 1 . Тогда

удлинения стержней будут равны						l11	1 ,	l21	1 cos ,
l31	0 . Нормальные силы в стержнях, вызванные перемеще-
нием
	1							1 cos .
N11		C1	l11	C1 1 ,	N21 C2 l21		C2	1 cos .
Закрепив точку А, сообщаем точке В перемещение 2 . То-
гда получаем
			l12	2 ,	l32	2 cos	, l22		0 ,
			N12	C1 2 , N32		C3	2 cos .
Таким образом, при наличии обоих перемещений в стерж-
не 1 будет действовать нормальная сила
N1		N11	N12	C1 1 C1 2		C1( 1		2 ) .

Уравнение равновесия узлов А и В имеют вид (рис. 1.4, б)

P 2N2 cos N1 0 , N1 2N3 cos 0 .

Подставляя сюда выражения для нормальных сил, получаем уравнения для 1 и 2

C1(				1			2 )		2C2		1 cos2					P ,
C	2		(	1			2	)	2C		2	cos2				0 ,
	2			1			2			3	2
или
( C				2C		2	cos2			)	1	C	1	2		P ,
	1					2					1		1	2
C				1	( C				2C	cos2				)	2	0 . (1.17)
	1			1			1			3					2
Далее проще решать эту систему численно, для чего нуж-
но определить коэффициенты при											1	и 2.
Из рис. 1.4, а следует

l1		2a,l2						( 2a )2			( 1,5 )2					2,5a ,
		( a )2				( 1,5a )2
l3		( a )2				( 1,5a )2						3,25a				1,802a ,
			cos				2a / l2				2a / 2,5a					0,8 ,
cos				a / l3					a / 1,802a					0,5547 ,
C1				E1F1 / l1					E2F / 2a					EF / a ,
									98

C2	E2 F2 / l2	EF / 2,5a	0,4EF / a ,
C3	E3 F3 / l3	E2F / 1,802a	1,11EF / a ,

C		2C					cos2					EF				2 0,4							EF					0,82
C	1	2C				2	cos2									2 0,4												0,82
	1					2							a										a
													a										a
					( 1			0,512 )					EF									1,512	EF						,
					( 1			0,512 )					a									1,512	a						,
													a										a
C		2C			cos2						EF						2 1,11				EF				0,5552
C		2C		3	cos2												2 1,11								0,5552
1				3							a												a
											a												a
					( 1			0,683)				EF					1,683					EF					.
					( 1			0,683)									1,683										.
													a										a
Тогда система (1.17) примет вид
1,512						1				2	aP			,	1				1,683 2											0 .
1,512						1				2	EF			,	1				1,683 2											0 .
											EF
Отсюда
1	1,683						2	и 1,512 1,683 2 2																					aP / EF ,
								2		0,6473aP / EF ,
								2
1		1,683 0,6473aP / EF																	1,0895aP / EF .
1
Тогда
		N					C (							)				EF		( 1,0895
			1					1		1	2							a
																		a
		0,6473)							aP		0,442P									26,53 кH ,
		0,6473)							EF		0,442P									26,53 кH ,
									EF
N2		C2				1 cos					0,4					EF			1,0895							aP				0,8
N2		C2				1 cos					0,4						a		1,0895											0,8
																	a										EF
							0,348H							20,918 кH ,
N3		C3			2 cos						1,11				EF				0,647					aP						0,557
N3		C3			2 cos						1,11								0,647					EF						0,557
																	a							EF
								0,398P							23,91 кH .

Cледовательно, стержни 2 и 3 сжаты, стержень 1 - растя-

нут.

Для определения площадей сечений стержней используем условия прочности стержней

Ni / Fi

Отсюда

или

26,53 103

165,8 мм2 ,

160

20,918 103

130,7 мм2 ,

160

23,19

149,4 мм2 .

160

Отсюда получаем три неравенства для определения F

F 82,9 мм2 ,

130,7 мм2 ,

F 74,7 мм2 .

Тогда F 130,7 мм2 и

261,4 мм2 ,F

130,7 мм2 .

Диаметры стержней d1

4F1

261,4

18,2 мм .

Принимаем d1

19 мм . Тогда

d12

283,52 мм

141,76 мм

4F2

141,76

13,43 мм .

Округление до 14 м диаметра d2 нельзя, поскольку это изменит соотношения между площадями стержней.

Определение монтажных напряжений Поскольку = -0,8, длина стержня 1 короче проектной

длины на 0,8 мм. Поэтому для сборки системы нужно приложить нагрузки, деформирующие стержни. Точка А' стержня 1 должна совпадать с точкой А (рис. 1.4, в). Пусть для этого точ-

ка А переместится на величину ,		'1'	а точка В- на величину '2' .
При этом перемещение точки А'		стержня 1 составит величину
'		/	/	/
1	, и в нем возникнет сила N1		C1( 1	2 ) .
	100

Уравнение равновесия узлов А и В после сборки примут

вид

N1'	2N2' cos			0,N1'			2N3' cos			0 ,
C1( 1'		2'		)		2C2	1'	cos2		0 ,
C (	'	'		)		2C	'	cos2		0 ,
1	1	2				3	2
или
( C1		2C2 cos	2			'	C1		'	C1 ,
( C1		2C2 cos				) 1	C1		2	C1 ,
C	1	( C 2C			3	cos2		)	'	C .
1	1	1			3				2	1

Коэффициенты этой системы и системы (а) одинаковы, поэтому система примет вид

1,512	'	'	,	'	1,683	'	.
	1	2		1		2

Решая эту систему, получаем

'	( 1 1,512 )	0,265 мм ,
2	( 1,683 1,512 1 )	0,265 мм ,
2

'	1,683	'
1	1,683	2

0,8 1,6830,265 0,354 мм .

Жесткости стержней

C1 EF / a	2 105	141,76 / 1000 2,8352 104 н / мм ,
C2	0,4EF / a	0,4C1 1,134 104 н / мм

	C		1,11EF / a			1,11C	3,14 104 н / мм .
	3					1
Нормальные силы в стержнях
	N1'			C1(	1'	2' )	2,83 104 ( 0,354
					0,8	0,265)	5,12 кH ,
N2'	C2	1'		cos	1,134 104 ( 0,354 ) 0,8			3,21 кH ,
N'	C	'		cos	3,14 104		0,265 0,5547	4,62 кH .
3	3	2

Знаки сил указывают на растяжение в 1 и 2 стержнях и сжатие в стержне 3.

Нормальные напряжения в стержнях

101


	N1	5,12 103			18,3 ММПа ,
1 F1		283,52			18,3 ММПа ,
1 F1		283,52
	N2		3,21 103		22,64 МПa ,
2	F2	141,76			22,64 МПa ,
2

	N3			4,62 103	16,3 Мпa .
3	F3	283,52			16,3 Мпa .
3

Пример 5. Определение перемещения точки приложения силы к статически неопределимой системе с жестким телом

Определить допускаемое значение силы Р и перемещение точки ее приложения для системы, изображенной на рис 1.5, а,

если F	F	F ; F	F 2F ; F 10 cм2	; Е= 2 105	МПа;
1	2	3	4

а=1м.

Решение Рассматриваемая система один раз статически неопреде-

лима и три раза кинематически определима. Пусть 1 , 2 , 3 -

определяющие перемещения базового тела (рис. 1.5, а). Длины стержней

																	a 2		( 0,5a )2
l1 a, l2						2a, l3							l4				a 2		( 0,5a )2						1,25a				1,118a.
Функции углов и удлинения стержней
cos			sin				0,707,								cos				0,447,				sin			0,894,
									l11				1 ,			l12			0, l13			0 ,
		l21						1 cos					,		l22				2 cos			,		l23		0 ,
l		1	cos				,			l			0,			l			3	cos( 90				)			3	sin ,
31		1								32						33			3								3
l				cos			,			l				1				cos( 90				)		0,5			sin		,
l	41		1	cos			,			l	42		2			2		cos( 90				)		0,5		2	sin		,
													2
				l					1			cos( 90							)		0,5		sin .
				l	43		2			3		cos( 90							)		0,5	3	sin .
					43					3												3

Жесткости стержней C1																E1F1 / l1					EF / a ,
																102

								0,707C1 ,
	C2	E2 F2 / l2			EF /		2a	0,707C1 ,
	C3	E3 F3 / l3			E2F / 1,118a				1,789C1 ,
	C4	E4 F4	/ l4		E2F / 1,118a				1,789C1 .
Нормальные силы в стержнях
			N1		C1	l1	C1	1 ,
N2	C2 l2	C2 (	1 cos			2 cos		)	C2 ( 1	2 )cos ,
	N3	C3	l3	C3 (		1 cos			3 sin	) ,
N4	C4 l4	C4 (		1 cos		0,5 2 sin			0,5	3 sin ) .

После подстановки в эти выражения числовых значений входящих в них величин, получаем

N1	EF			2 105 103		2 105	1 ,
	a		1	1000	1

N2		0,707		2 105 0,707( 1		2 ) ,

Рис. 1.5

N3 1,7982 105 ( 0,894 1 0,447 3 )

103

	1,596 105 ( 2			1	3 ) ,
N4	1,798 2 105 ( 0,894 1				0,447		2
0,5 0,447 3 )		0,798 105 ( 4			1	2	3 ) .
Уравнения равновесия жесткого тела
	M a ( Pi ) 0 ,		Piy	0 ,	Pix		0 ,
N4 a sin		N3 2a sin		1,5aP		0 ,
N 2 cos		N4 sin		N3 sin	P		0 ,
N1	N 2 sin		N4 cos	N3 cos			0 .

После подстановок и преобразований получается система

						2N3		N4			1,67P ,
			0,707N 2				0,894N3					0,894N4				P ,
		N1	0,707N 2					0,447N3				0,447N4				0 .
Уравнения для перемещений принимают вид
1,596(	4	1	2 3 )			0,798( 4			1		2		3 )		1,67 10 5 P ,
	0,707(		1		2 )		0,894 1,596(						2	1		3 )
		0,894 0,798( 4						1	2			3 )		10 5 P ,
2	1	0,707(		1		2 )		0,447			1,596(			2	1	3 )
		0,447			0,798( 4				1		2		3 )		0 .
Отсюда следует
			4 1			2	5	3	2,092 10 5 P ,
		0,992 1			1,992 2				3	3		1,40 10 5 P ,
			15,584			1	0,984			2		3		0 .
Исключая 3 , получаем
			73,92		1		3,92		2		2,092 10 5 P ,
			45,76			1	0,96		2		1,40 10 5 P ,
или
			1	0,053 2					2,83 10 7 P ,
								104

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.56 Mб02900.pdf
#
15.11.20222.56 Mб12901.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12903.pdf
#
15.11.20222.57 Mб12904.pdf
#
15.11.20222.57 Mб02905.pdf
#
15.11.20222.58 Mб02906.pdf
#
15.11.20222.58 Mб72909.pdf
#
15.11.20222.58 Mб102910.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02912.pdf
#
15.11.20222.59 Mб02914.pdf
#
15.11.20222.59 Mб12915.pdf