12.y arctgx ,
13.y arcctgx ,
14.y a x ,
15.y e x ,
16.y log a x ,
17.y ln x ,
y' |
|
|
|
1 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
1 x2 |
|||||||||
y' |
1 |
|
. |
||||||
|
|
|
|||||||
1 x2 |
|||||||||
y' a x ln a . |
|||||||||
y' e x . |
|
|
|
||||||
y' |
1 |
log |
|
e . |
|||||
|
|
a |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y' |
|
1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||
Правила дифференцирования
1. |
y Cu(x) , |
y' Cu (x) . |
2. |
y u(x) v(x) , |
y u (x) v (x) . |
3. |
y u(x)v(x) , |
y u (x)v(x) u(x)v (x) . |
4. |
y |
u( x) |
, |
|
y' |
u (x)v(x) u(x)v (x) |
. |
|||
|
|
v( x) |
|
|
|
|
v2 (x) |
|||
5. |
y f (u), u (x). |
y f (u) |
(x) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
x |
|
|
|
y f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f 'x (x) |
1 |
|
|
|
|||
6. |
x ( y) |
, |
|
. |
|
|
||||
x' y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.4. Найти производную функции y arcsin x . x
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования дроби
y x (arcsin x) arcsin x (x) x 2
|
x |
1 |
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|||||
|
1 x 2 |
|
|
x arcsin x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
x 2 |
1 x 2 |
|||||
41
Пример 3.5. Найти производную сложной функции y (2x3 5)4 .
Решение. |
Обозначим (2x3 5) u. Тогда |
y u 4 . По |
правилу дифференцирования сложной функции имеем |
||
y (u4 ) (2x3 |
5) 4u3 (6x2 ) 24x 2 (2x3 5)3. |
|
u |
x |
|
Пример 3.6. Найти производную сложной функции y sin 2 
x 1 .
Решение. y 2 sin |
|
cos |
|
|
|
1 |
|
. |
|
x 1 |
x 1 |
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
x 1 |
|||||
Пример 3.7. Найти производную функции x x .
Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от х. В таблице производных нет формулы для таких функций.
Прологарифмируем заданную функцию ln y ln x x x ln x.
Продифференцируем по х обе части полученного равенства. Так как у есть функция от х, то ln у есть сложная функция от х
и (ln y) |
1 |
y . Следовательно, |
1 |
y ln x x |
1 |
ln x 1. |
|
|
|
|
|||||
|
y |
y |
|
x |
|||
Окончательно получим: y y(ln x 1) x x (ln x 1). |
|||||||
Использованный прием |
называют |
логарифмическим |
|||||
дифференцированием. |
|
|
|
|
|
||
3.8. Производная функции, заданной параметрически |
|||||||
Даны два уравнения |
|
|
|
|
|
||
|
|
y (t), x (t) , |
(3.9) |
||||
где t T1 ,T2 . Каждому значению t соответствуют значения х
и у. Если (х, у) рассматривать как координатные точки, то каждому значению t соответствует точка плоскости Oху. Когда t изменяется от Т1 до Т2, точка на плоскости описывает некоторую кривую.
42