3.5. Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция у=f(x), т.е. такая, что ее можно представить в следующем виде: y=F(u), u =φ(x) или y=F(φ(x)). В выражении y=F(u) переменную u называют промежуточным аргументом.
Теорема. Если u=φ(x) имеет в некоторой точке x произ-
водную u |
(x) , а функция F(u) имеет при соответствую- |
|
x |
|
|
щем значении u производную y |
F (u) , то сложная функция |
|
|
u |
|
y=F(φ(x)) в указанной точке x также имеет производную, кото-
рая равна y |
F |
(u) |
(x) , где вместо u должно быть под- |
x |
u |
x |
|
ставлено выражение u=φ(x).
3.6. Производные элементарных функций
Пользуясь определением и правилами дифференцирования, найдем производные элементарных функций.
1. |
y x , |
y' 1 . y x |
, lim |
y |
1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2. y sin x , y' cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y sin(x x) sin x 2sin |
x x x |
cos |
x x x |
, |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
2 |
|
cos |
2x x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
sin x |
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y' lim |
|
|
lim |
|
cos x |
|
cos x . |
|
|||||||||
x |
x |
|
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
2 3. y cos x , y' sin x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos x sin |
x |
|
|
|
x |
|
cos |
|
x 1 sin x . |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
39
4. y tgx , |
y' |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
sin x |
. Воспользуемся правилом дифференцирова- |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния дроби, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y' |
(sin x)' cos x (cos x)' sin x |
|
cos 2 x sin 2 |
x |
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
cos 2 x |
|
|
cos 2 x |
|
cos 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
3.7. Таблица основных формул дифференцирования
Объединим в одну таблицу все основные формулы и правила дифференцирования.
1.y const ,
2.y xn ,
3.y x ,
4.y 
x ,
5.y 1x ,
6.y sin x ,
7.y cos x ,
8.y tgx ,
9.y ctgx ,
10.y arcsin x ,
11.y arccos y ,
y' 0 .
y' nxn 1 .
y' 1 . |
|
|
|
||
y' |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
2 |
|
x |
||
y' x12 . y' cos x .
y' sin x .
y' |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos 2 x |
|
|
|
|||||||||
y' |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin 2 x |
|
|
||||||||||
y' |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
y' |
1 |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|||