Теорема. Если в уравнении

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2712.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

кого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения.

у = f(x, у)

(12.2)

функция f(х, у) и ее частная производная f по у непрерывны в

некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х0; у0), то существует единственное решение этого уравнения у= (х), удовлетворяющее условию у= у0 при

х= х0.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция у= (x) , график которой проходит через точку (х0; у0).

Условие, что при х= х0 функция у должна равняться заданному числу у0, называется начальным условием. Оно часто

записывается в виде y x x0 y0 .

отношения аргументов. Сделаем подстановку z

, т.е. y = zx,

дифференцируя последнее равенство, найдем

у= (х, С), (12.3)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

б) каково бы ни было начальное условие у= у0 при х= х0, можно найти такое значение С = С0, что функция у= (х, С0) удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения х0 и у0 принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности.

В процессе отыскания общего решения часто получается соотношение вида

Ф (х, у, С) = 0

(12.4)

178

не разрешенное относительно у. Равенство (12.4) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением называется любая функция у= (х, С0), которая получается из общего решения у= (х, С), если произвольной постоянной С придать определенное значение. Соотношение Ф (х, у, С0)=0 называется в этом случае частным интегралом.

С геометрической точки зрения общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку плоскости.

12.2.Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

dy	f1 (x) f 2 ( y),	(12.5)
dx

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его

следующим образом, (предполагая, что				f 2 ( y) 0) ,
1		dy f1	(x)dx. .	(12.6)

	f 2 ( y)

Считая у известной функцией от х, равенство (12.6) можно рассматривать, как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться только на постоянную величину. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, найдем

f 21( y) dy f1 (x)dx C .

Дифференциальное уравнение (12.6) называется уравнением с разделенными переменными, а приводящееся к нему

179

уравнение (12.5) – уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 12.1. Дано уравнение dydx xy . Разделим пере-

менные

Интегрируя,

находим

т.е. ln

или

C / x

;

отсюда получаем об-

щее решение: у = С/x.

Пример 12.2.

Дано

уравнение

(1 x) ydx (1 y)xdy 0.

Разделяя переменные, находим

1 x

1 y

1 dx

1 dy 0,

x ln

y C

x y C ;

интегрируя, получаем ln

или ln

последнее соотношение есть общий интеграл уравнения.

12.3. Однородные уравнения первого порядка

Определение. Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных х и у, если при любом справедливо тождество

f( x, y) = n f( x, y).

Пример 12.3. Функция f (x, y)= 3 x 3 y 3 - однородная функция первого порядка, так как

f( x, y) = 3( x)3 ( y)3 3 x 3 y 3 = f ( x, y).

Определение. Уравнение первого порядка dydx f ( x, y)

называется однородным относительно х и у, если функция

180

f (x, y) есть однородная функция нулевого порядка относительно х и у.

По условию f( x, y) = f (x, y). Положив в этом тождестве 1/ x , получим

f (x, y) = f (1,	y	),	(12.7)

	x

т.е. однородная функция нулевого порядка зависит только от

Подставляя выражение производной в уравнение (12.7), получим

z dxdz x f (1, z) .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

dz	x f (1, z) z, или	dz	dx	.
dx		f (1, z) z
			x

Интегрируя, находим

dz	dx	C.

f (1, z) z	x

Подставляя после интегрирования вместо z отношение y/x, получим интеграл уравнения (12.7).

Пример 12.4. Дано уравнение	dy	xy	.
	dx	x 2 y 2

Решение. Справа стоит однородная функция нулевого порядка, следовательно, имеем однородное уравнение. Делаем замену y/x=z, тогда y = zx

x ,

z 3

1 z 2

(1 z 2 )dz

Разделяя переменные, получим

;

z 3

181

Отсюда, интегрируя, находим

или

zxC

2z 2

Подставляя y/x=z, получим общий интеграл исходного уравнения:

x 2
	ln	yC	.
2 y 2

12.4. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка

называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

dy	P(x) y Q(x) ,	(12.8)
dx

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-

янные.

Решение линейного уравнения (12.8) будем искать в виде произведения двух функций от х:

у= u (x) v (x) . (12.9)

Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (12.8). Дифференцируя обе части равенства (12.9), находим

dydx u dvdx v dudx .

Подставляя полученное выражение производной в уравнение (12.8), будем иметь

Puv Q

или

Q .

(12.10)

Выберем функцию v такой, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль

182

dv	Pv 0 .	(12.11)
dx

Разделяя переменные в полученном уравнении относительно v, находим

dvv Pdx .

Интегрируя, получим

					Pdx , или v C e Pdx .
ln	C	1	ln	v	Pdx , или v C e Pdx .
		1			1

Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (12.11), то за функцию v (x)можно взять v e Pdx ,

где Pdx - какая-нибудь первообразная. Очевидно, что v (x)0.

Подставляя найденное значение v (x) в уравнение (12.10),

Q( x)

получим v(x)

Q( x) или

, откуда

dx C .

v( x)

Подставляя u и v в формулу (12.9), окончательно получим

Q( x)

y v( x)

dx C .

v( x)

Пример 12.5. Решить уравнение

y (x 1)3 .

x 1

Решение. Пусть y=uv, тогда

Подставляя выражение

в исходное уравнение, полу-

чим

uv (x 1)3 .

x 1

(x 1)

(12.12)

Для определения v решим уравнение

v 0 , т.е.

183

2dx

, откуда

2 ln

x 1

или v (x 1)2 . Подставляя

x 1

выражение функции v в уравнение (12.12), получаем для опре-

деления u уравнение				x 1 2		du	(x 1)3 , или	du	(x 1) , отку-
деления u уравнение				x 1 2		dx	(x 1)3 , или	dx	(x 1) , отку-
						dx		dx
да u	(x 1)	2	C . Следовательно, общий интеграл заданного

	2
	2
уравнения будет иметь вид
				y	(x 1)4		C(x 1) 2 .
				y	2		C(x 1) 2 .
					2

Полученное семейство является общим решением. Каково бы ни было начальное условие (х0, у0), где х0 -1, всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию у0=3 при

х0=0,			найдем					следующим	образом:
3	(0 1)	4	C(0 1)2 , C 5 / 2.			Следовательно, искомое частное

	2

решение таково:				y	( x 1)4		5	(x 1)2 . Однако,	если началь-
					2		2

ное условие (х0, у0) выбрать так, что х0 = -1, то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это

	2
объясняется тем, что при х0 = -1 функция	P( x)		разрывна
		x 1

и, следовательно, не удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пример 12.6. Найти частное решение дифференциального уравнения y ytgx cos2 x , удовлетворяющее начальному условию у(0) =1.

Решение. Положим y=uv, тогда dydx u dvdx v dudx .

184

vtgx

cos

x . Определим v так, чтобы выра-

жение в скобках обратилось в нуль. Тогда

vtgx , разделяя

переменные,

получим

sin x

dx , интегрируя уравнение,

cos x

найдем ln v ln cos x или v cos x

Для определения u имеем уравнение

cos x

cos2

x ,

cos x

; u cos xdx sin x C .

Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) .

Используя начальное условие у(0) =1, найдем 1= сos0 (sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид

y cos x(sin x 1) .

12.5. Дифференциальные уравнения высших порядков

Как уже было сказано выше, дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде

F(x, y, y , y ,..., y (n) ) 0

или, если его можно разрешить относительно n-й производной,

y (n) f (x, y, y , y ,..., y (n 1) ) .

(12.13)

Для уравнений, разрешенных относительно производной вида (2.13), имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка.

Теорема. Если в уравнении

y (n) f (x, y, y , y ,..., y (n 1) )

функция f (x, y, y , y ,..., y (n 1) ) и ее частные производные по аргументам y, y , y ,..., y (n 1) непрерывны в некоторой области,

185

содержащей значения x x , y y , y y ,....,y(n 1)

(n 1)

, то су-

ществует и притом единственное решение

y y(x)

уравнения,

удовлетворяющее условиям

x x0

, ... ,

y (n 1)

x x0

(n 1) .

Эти условия называются начальными условиями.

Если рассматривать уравнение второго порядка

y f (x, y, y ) ,

то начальными

условиями

при

x x0

будут

условия

y y , y y , где x

, y

- заданные

числа. Геометрический

смысл этих условий следующий: через заданную точку плоскости (x0, y0 ) с заданным тангенсом угла наклона касательной

y	проходит единственная кривая. Из этого следует, что если
0
задавать различные значения		y	при постоянных x	0	и	y	0	, то
		0		0			0

получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона, проходящих через заданную точку.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) ,

зависящая от nпроизвольных постоянных C1 , C2 ,...,Cn и такая,

что :

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных C1 , C2 ,...,Cn ;

б) при заданных начальных условиях

x x0

y , ... ,

y (n 1)

x x0

(n 1)

постоянные C1 , C2 ,...,Cn

можно подобрать так, что функция

y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) будет удовлетворять этим условиям.

Соотношение вида

Ф(x, C1 , C2 ,...,Cn ) 0

называется об-

щим интегралом дифференциального уравнения.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных C1 , C2 ,...,Cn , называется

частным решением.

186

12.6. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка

1.Рассмотрим уравнение вида

d 2 y

f ( x,

) ,

(12.14)

dx2

которое не содержит явным образом искомой функции у.

Обозначим производную

через р,

положим

p .

Тогда

d 2 y

. Подставляя эти выражения производных в ис-

ходное

уравнение, получим

уравнение

первого

порядка

dpdx f ( x, p) относительно неизвестной функции р от х. Проин-

тегрировав это уравнение, находим его общее решение

р = р (х, С1), а затем из соотношения dydx p получаем общий интеграл исходного уравнения y p(x, C1 )dx C2 .

Пример 12.7. Найти общее решение уравнения xy y ln(y / x) .

Решение. Полагая y p , преобразуем уравнение к виду

	xp p ln( p / x) или p ( p / x) ln( p / x) .
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая							p/x
= z, откуда p = zx, p z x z , получим уравнение
z x z z ln z или				dz		x z(ln z 1) , разделяя переменные,	по-

				dx
лучим	dz	x	dx		.
	z(ln z 1)
				x

Интегрируя, полученное уравнение, находим

187

ln(ln z 1) ln x ln C	или	ln z 1 xC , откуда z e1 C1x , воз-
1		1
вращаясь к переменной у,		приходим к уравнению y xe1 C1x .
Следовательно, y xe1 C1x dx . Применяя интегрирование по

частям,

получим y

xe1 C1x dx

xe1 C1x

e1 C1x C

C 2

Пример 12.8. Найти частное решение уравнения

x(x 1) ,

x 1

удовлетворяющее начальным условиям y(2) 1, y (2) 1.

Решение. Полагая y p , преобразуем уравнение к виду

x(x 1) .

x 1

Это линейное уравнение первого порядка, удовлетво-

ряющее начальному условию.

Положим p=uv,

тогда

.Подставим в урав-

нение

x(x 1) ;

x(x 1) .

x 1

Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в

нуль.

Тогда

разделяя

переменные,

получим

x 1

интегрируя

уравнение, найдем ln v ln(x 1)

или

x 1

v x 1.

Для

определения

u имеем

уравнение

x ,

xdx

x 2

C .

Умножив u на v, получим

188

x 2				x 3	x 2
y p		C	(x 1)			C x C .
y p		C	(x 1)			C x C .
	2	1		2	2	1	1
	2			2	2

Интегрируя еще раз, найдем общее решение исходного уравнения

	x3		x2				x4	x3		x2
y				C x C		dx			C		C x C		.
y				C x C		dx			C		C x C		.
		2	2	1	1		8	6	1	2	1	2
		2	2				8	6		2

Используя начальные условия y(2) 1, y (2) 1 , найдем

1	16	8		C		4	2C				C			;				8
1				C			2C				C			;				8
	8 6					1 2				1			2		1	2			C2 ;
	8 6					1 2				1			2		1	2		6	C2 ;
			8		4													6
	1		8		4	2C			C			;		1			4 2			C	;
	1					2C		1	C			;		1			4 2			C	;
	2			2				1			1									1
	2			2

Получили систему линейных уравнений, из которой найдем постоянные С1 = -3 и С2 =1/3. Искомое частное решение будет иметь вид

y	x 4		x 3	3	x 2	3x	1	1	(3x 4 4x 3 36x 2 73x 8).

8		6		2			3	24

2. Рассмотрим уравнение вида
	d 2 y	f ( y,	dy	) ,	(12.15)
	dx2
			dx

которое не содержит явным образом независимую переменную

х.

Снова положим

p ,

(12.16)

но

теперь

будем считать р функцией от

у. Тогда

d 2 y

dp dy

Подставляя эти выражения производ-

dx2

dy dx

ных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

p dp f ( y, p) . dy

189

Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С1:

р=р (у, С1).

Подставляя это значение в соотношение (12.16), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции у от х.

dydx р (у, С1).

Разделяя переменные, находим

dy	dx. .
p( y, C1 )

Интегрируя это уравнение, получим искомое общее решение дифференциального уравнения.

Пример 12.9. Найти общее решение уравнения

3y y 5 / 3 .

Решение. Положим dydx p , считая р функцией от у. То-

гда y dpdy p. Подставляя эти выражения производных в ис-

ходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

3p dp y 5 / 3 , dy

разделим переменные	pdp	1	y 5 / 3dy . Интегрируя это уравне-
разделим переменные	pdp		y 5 / 3dy . Интегрируя это уравне-
		3
	y 2 / 3			p	dy	;
ние, находим p 2 C		или p C y 2 / 3 . Но			dy
ние, находим p 2 C		или p C y 2 / 3 . Но
1		1			dx
					dx
следовательно, для определения у получаем уравнение

190

или

y1/ 3dy

dx ,

откуда

C y 2 / 3

y 2 / 3 1

x C2

y1/ 3dy

. Для вычисления последнего интегра-

2 / 3

C y

ла

сделаем

подстановку

C y 2 / 3

1 t 2 .

Тогда

y1/ 3 (t 2

1)1/ 2

. Продифференцируем это равенство

C1/ 2

y 2 / 3dy

(t 2 1) 1/ 2 2t

dt ;

dy 3t(t 2 1)1/ 2 2t

dt .

C11/ 2

C13 / 2

y1/ 3dy

3t(t 2 1)dt

Следовательно,

C12

C y 2 / 3

t 3

C y 2 / 3 1(C y 2 / 3

2) .

Окончательно получим

x C

C y2 / 3

1(C y2 / 3

2).

C 2

12.7. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относитель-

но искомой функции у и ее производных y , y ,..., y (n) , т.е. имеет вид

a	0	y (n) a	y (n 1) ... a	n	y	f (x) ,	(12.17)
	0	1		n
где a0 , a1 ,...,an		и f ( x)	- заданные функции от х или постоян-

ные, причем a0 0 для всех значений х из той области, в которой рассматривается уравнение (12.17). Будем предполагать, что функции a0 , a1 ,...,an и f ( x) непрерывны при всех значе-

191

ниях х, причем коэффициент a0 1 (если он не равен 1, все члены уравнения надо поделить на него). Функция f ( x) ,

стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если f ( x) 0, то уравнение называется линейным неод-

нородным или уравнением с правой частью. Если						f ( x) 0, то
уравнение имеет вид
y (n) a	1	y (n 1)	... a	n	y 0	(12.18)
	1			n

и называется линейным однородным или уравнением без правой части.

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, приводя теоремы без доказательства и ограничиваясь уравнениями второго порядка.

Теорема 1. Если у1 и у2 – два частных решения линейно-

го однородного уравнения второго порядка
y a1 y a2 y	0 ,	(12.19)

то у1 + у2 есть также решение этого уравнения.

Теорема 2. Если у1 есть решение линейного однородного уравнения второго порядка (12.19) и С – постоянная, то Су1 есть также решение этого уравнения.

Определение. Два решения уравнения (12.19) у1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке а,b , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если

y1 const . y2

В противном случае решения называются линейно зависимыми. Иными словами, два решения у1 и у2 называются линейно зависимыми на отрезке а,b , если существует такое по-

стоянное число , что	y1	. В этом случае у1 = у2.
	y2

192

Теорема 3. Если у1 и у2 – два линейно независимых решения уравнения (12.19), то

у=С1 у1 + С2 у2,

где С1 и С2 – произвольные постоянные, есть общее решение этого уравнения.

12.8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеем линейное однородное уравнение второго порядка

y py

q y

0 ,

(12.20)

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно, как следует из теоремы 3, найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде y ekx , где k = const;

Тогда y kekx ; y k 2 ekx .

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (12.20), находим

ekx (k 2 pk q) 0.
Так как ekx 0, то значит
k 2 pk q 0.	(12.21)

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнения

(12.21), то e kx будет решением уравнения (12.20). Уравнение

(12.21) называется характеристическим уравнением по отно-

шению к уравнению (12.21). Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через k1 и k2. При этом

k1		p	p 2	q,	k2		p	p 2	q .
			4					4
	2					2

Возможны следующие случаи:

193

e k1x

1.k1 и k2 – действительные и притом не равные между собой числа;

2.k1 и k2 – действительные равные числа;

3.k1 и k2 – комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Корни характеристического уравнения действитель-

ны и различны: k1 k2. В этом случае частными решениями будут функции

			y	1	ek1x ,			y	2	ek2 x .
				1					2
Эти решения линейно независимы, так как
	y1				ek1x	e(k1 k2 ) x					const .
						e(k1 k2 ) x					const .
	y2				ek2 x
Следовательно, общее решение имеет вид
y		C ek1x C					2	ek2 x .			(12.22)
					1		2

Пример 12.9. Найти общее решение уравнения y y 2 y 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение k 2 k 2 0 .

Находим корни характеристического уравнения:

k1,2	1	1	2; k1	1;	k2 2.
	2	4

Общее решение имеет вид y C1e x C2 e 2x .

2. Корни характеристического уравнения действитель-

ные и равные. В этом случае k1= k2.

Одно частное решение y1 ek1x получается на основании предыдущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение. Линейно независимое с первым (функция ek2 x тождест-

венно равна и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения).

194

		Будем	искать	второе		частное решение	в виде
y	2	u(x)ek1x , где u(x)		- неизвестная функция, подлежащая оп-
	2
ределению.
		Дифференцируя, находим
		y	u ek1x k		uek1x ek1x (u uk ) ,
		2		1		1
		y u ek1x 2k u ek1x k 2				uek1x ek1x (u 2k u uk 2 ).
		2	1		1	1	1

Подставляя выражения производных в уравнение (12.21), по-

лучаем ek1x [u (2k p)u (k 2 pk q)u] 0 .
	1	1	1
Так как k1 – кратный корень характеристического урав-
нения, то k 2	pk q 0 .
1	1
Кроме того, k1= k2 = - p/2 или 2k1 p, 2k1				p 0 .
Следовательно, для того чтобы найти u(x) ,				надо решить
уравнение ek1x u 0, или		u 0,	интегрируя уравнение, полу-

чаем u=Ax+B. В частности, можно положить А=1, В=0. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять

xek1x .

Это

решение

линейно независимо с

первым,

так

как

x const . Поэтому общим решением будет функция

y C ek1x

xek1x

ek1x (C xC

) .

(12.23)

Пример 12.10. Найти общее решение уравнения

y 4 y 4 y 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение

k 2 4k 4 0 .

Находим корни характеристического уравнения: k1 k2

Общее решение имеет вид

y C e2x C

xe2x .

195

3. Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряжен-

ными, то обозначим k1 i ,							k2 i ,
где p / 2,			q	p 2	.
где p / 2,			q		.
			4
Частные решения можно записать в виде
y	1	e( i ) x , y				2	e( i ) x .	(12.24)
	1					2
Это комплексные функции действительного аргумента,
удовлетворяющие дифференциальному уравнению (12.20).
Очевидно, что если какая-либо комплексная функция
действительного аргумента
			y u(x) iv(x)					(12.25)

удовлетворяет уравнению (12.20), то этому уравнению удовлетворяют функции u(x) и v(x) .

Действительно, подставляя выражение (12.25) в уравне-

ние (12.20), будем иметь

[u(x) iv(x)] p[u(x) iv(x)] q[u(x) iv(x)] 0

или

(u pu qu) i(v pv qv) 0 .

Но комплексная функция равняется нулю тогда и только тогда, когда равны нулю ее действительная и мнимая части,

т.е. u pu qu 0,	v pv qv 0 .
Следовательно,	u(x) и v(x) являются решениями урав-

нения (12.20). Перепишем комплексные решения (12.23) в виде суммы действительной и мнимой части:

	y	e x cos x ie x sin x,				y	2	e x cos x ie x sin x.
1							2
По доказанному, частными решениями уравнения (12.20)
будут действительные функции
		e x cos x,			e x sin x.
	y	e x cos x,	y	2	e x sin x.
1				2

Функции y1 , y2 линейно независимы, так как

196

Следовательно, общее решение уравнения (12.20) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

y C			C				C e x cos x C					e x sin x
y C	y	1	C	2	y	2	C e x cos x C				2	e x sin x
1		1		2		2		1			2
или
			y e x (C					cos x C	2	sin x) ,			(12.26)
							1		2

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Важным частным случаем решения (12.26) является случай, когда корни характеристического уравнения мнимые. Это имеет место, когда в уравнении (12.20) р=0, и оно имеет вид y qy 0 .

Корни характеристического уравнения k1,2 i

q i .

Решение (12.26) принимает вид

y C1 cos x C2 sin x .

Пример

12.11.

Найти

общее

решение

уравнения

y 2 y 5y 0 и частное решение,

удовлетворяющее началь-

ным условиям y

x 0 0, y

x 0

Решение.

Составим

характеристическое

уравнение

k 2 2k 5 0 и найдем его корни:

k1 1 2i, k2 1 2i .

Общее решение имеет вид

e x (C cos2x C

sin 2x) .

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным

начальным условиям, определим С1

и С2. На основании перво-

го условия находим: 0= e 0 (C cos(2 0) C

sin(2 0)),

откуда С1.

Найдем производную

y e x (2C2 cos2x C2 sin 2x) . Из второ-

го условия получим 1=2 С2, т.е. С2=1/2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

y 12 e x sin 2x . 197

12.9. Неоднородные линейные уравнения второго

порядка

Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка

y a1 y a2 y f (x).

(12.27)

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего решения y соответствующего однородного уравнения y a1 y a2 y 0.

12.10. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть имеем уравнение
y py qy f (x) ,	(12.28)

где p и q - действительные числа.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых случаях частное решение можно найти, не прибегая

кинтегрированию. Рассмотрим эти случаи.

1.Пусть правая часть уравнения (2.28) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

f x P (x)e x ,	(12.29)
n

где Pn ( x) - многочлен n –й степени. Тогда возможны случаи.

а) Число не является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

y Q	n	(x)e x ( A	x n A x n 1	.. A ) .	(12.30)
	n	0	1	n
			198

Действительно, подставляя решение (12.30) в уравнение (12.28) и сокращая все члены на множитель e x , будем иметь:

Qn (x) (2 p)Qn (x) ( 2 p q)Qn (x) P(x). (12.31)

Qn (x) - многочлен степени n, Qn ( x) - многочлен степени n – 1,

Qn (x) - многочлен степени n – 2. Таким образом, слева и

справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0 , A1 , A2 ,..., An .

б) Число есть простой корень характеристического уравнения.

Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме (12.30), то в равенстве (12.31) слева получился бы многочлен (n-1)степени, так как коэффициент при Qn (x) , т.е.

( 2 p q) равен нулю, а многочлены Qn ( x) и Qn (x) имеют степень, меньшую n. Следовательно, ни при каких A0 , A1 , A2 ,..., An равенство (12.31) не было бы тождеством. По-

этому в рассматриваемом случае частное решение нужно искать в виде многочлена (n +1)-й степени, но без свободного члена (так как свободный член этого многочлена исчезнет при

дифференцировании):
y xQ	n	(x)e x .	(12.32)
	n

в) Число есть двукратный корень характеристического уравнения. Тогда в результате подстановки в дифференциаль-

ное уравнение функции Qn (x)e x степень многочлена понизится на две единицы. Действительно, если есть корень характеристического уравнения, то 2 p q 0 ; кроме того, так как есть двукратный корень, то 2 p (так как по теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения

199

равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком).

Итак, 2 +р = 0.

Следовательно, в левой части равенства (12.31) остается многочлен (n-2)-й степени. Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен степени n, следует частное ре-

шение искать в виде произведения e x на многочлен (n+2)-й степени. При этом свободный член этого многочлена и член в первой степени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно не включать в решение.

Итак, в случае, когда есть двукратный корень характеристического уравнения, частное решение можно брать в фор-

ме
y x 2Q	n	(x)e x .	(12.33)
	n

Пример 12.12. Найти общее решение уравнения. y 4 y 3y x.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y C1e x C2 xe 3x .

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид xe0x (т.е. вид P1 (x)e0x ), причем 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение бу-

дем искать в форме	y Q (x)e0x , т.е. положим	y A	x A .
	1	0	1

Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

4A0 3( A0 x A1 ) x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,

получим 3A0 1,	4A0 3A1 0 , откуда,										A0		1/ 3,			A1 4 / 9.
Следовательно, y		1	x	4	. Общее решение								y		y будет
		1		4										y
														y
	3			9
	y C e x C						e 3x		1	x	4	.
	y C e x C					2	e 3x			x		.
	1					2		3			9
								3			9
							200

Пример 12.13. Найти общее решение уравнения. y 9 y (x 2 1)e3x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

его корни k 2 9 0,			k	1,2	3i.

Тогда общее решение соответствующего однородного
уравнения		C1 cos3x C2 sin 3x .
	y
Правая часть			данного неоднородного уравнения

(x 2 1)e3x имеет вид P2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического урав-

нения,

то

частное

решение

будем

искать

в форме

y Q

(x)e3x , т.е. положим

y ( Ax2

Bx C)e3x . Подставляя

это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[9( Ax2 Bx C) 6(2Ax B) 2A 9( Ax2

Bx C)]e3x

(x 2 1)e3x

Сокращая на

e 3x и приравнивая коэффициенты при одинако-

вых степенях х, получим

18A 1,

12A 18B 0 ,

2A 6B 18C 1,

откуда

A 1/ 18,

B 1/ 27.,

C 5 / 81.

Следовательно, ча-

стное решение будет y

Общее решение y

y будет

y C1 cos3x C2 sin 3x

Пример 12.14. Найти общее решение уравнения. y 7 y 6 y (x 2)e x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

201

его корни k 2 7k 6 0,		k	1	6,		k	2	1.
			1				2
Тогда общее решение соответствующего однородного
уравнения
		C e6x C				e x .
	y	C e6x C			2	e x .
		1			2

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x( Ax B)e x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7( Ax2 Bx) 7(2Ax B) 6( Ax2 Bx)]ex

(x 2)ex .

( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex.

	Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при оди-
наковых		степенях		х,	получим
10A	1,	5B 2A 2 ,	откуда	A 1/ 10,	B 9 / 25.

		1
Следовательно, частное решение будет	y x

		10

Общее решение y y y будет

9 x

xe . 25

y C1e

C2 e

+ x

2. Пусть правая часть уравнения имеет вид f (x) P(x)e x cos x Q(x)e x sin x ,

где P(x), Q(x) - многочлены от х, то форма частного реше-

ния определяется следующим образом:

а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (12.28) следует искать в виде

202

y U(x)e x cos x V (x)e x sin x ,

где U(x), V (x) - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов P(x), Q(x) ;

б) если + i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (12.28) следует искать в виде

y x[U(x)e x cos x V (x)e x sin x] .

Следует отметить, что указанные формы частных решений сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (12.28) один из многочленов P(x), Q(x) тождественно

равен нулю, т.е., когда правая часть имеет вид P(x)e x cos x

или Q(x)e x sin x .

Рассмотрим важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

f (x) M cos x N sin x ,

где M и N – постоянные числа. Тогда:

а) если i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (12.28) следует искать в виде y Acos x B sin x ;

б) если i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (12.28) следует искать в виде y x[ Acos x B sin x] .

Пример 12.15. Найти общее решение линейного неодно-

родного уравнения

y 2 y 5y 2 cos x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

его корни k 2 2k 5 0,	k	1	1 2i,	k	2	1 2i.
		1			2

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

203

y e x (C1 cos2x C2 sin 2x).

Правая часть данного неоднородного уравнения 2 cos x , очевидно, что i =1i не является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

y Acos x B sin x ,

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные y :

y Asin x B cos x, y Acos x B sin x.

Подставляя выражения y и производных в заданное уравнение, будем иметь

Acos x B sin x 2( Asin x B cos x) 5(cos x B sin x) 2 cos x .

Приравнивая коэффициенты при cos x																и sin x , получим
два уравнения для определения А и В:
					A 2B 5A 2,						B 2A 5B 0 ,
откуда	A 2 / 5,						B 1/ 5.	Следовательно,								частное реше-
ние y	2	cos x			1	sin x .Общее решение y										y будет иметь
	2				1										y
	5				5										y
	5				5
вид
				e x (C cos2x C								+	2	cos x			1	sin x .
			y						2	sin 2x)			2				1
			y							sin 2x)
							1					5				5
												5				5

Пример 12.16. Найти общее решение линейного неодно-

родного уравнения

y 4 y cos2x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

его корни k 2 4 0,	k	1	2i,	k	2	2i.
		1			2

204

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

y C1 cos2x C2 sin 2x.

Правая часть данного неоднородного уравнения cos2x , очевидно, что i =2 i является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

y x( Acos x B sin x),

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные y :

2x( Asin 2x B cos2x) ( Acos2x B sin 2x),

y 4x( Acos2x B sin 2x) 4( Asin 2x B cos2x).

Подставляя выражения

y и производных в заданное

уравнение и приравнивая коэффициенты при cos2x

и sin 2x ,

получим два уравнения для определения А и В:

4B 1,

4A 0 ,

откуда

A 0,

B 1/ 4. Следовательно, частное

реше-

ние y

x sin x

. Общее решение y

y будет иметь вид

y C cos2x C

sin 2x +

x sin x .

Пример 12.17. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y y 3e2x cos x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

его корни k 2 1 0,	k	1	1,	k	2	1.
		1			2

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

205

y C1e x C2 e x .

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет

вид

f (x) e x (M cos x N sin x) ,

в данном случае 2, 1, M 3, N 0 .Так как число + i =2

+ i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

y e2x ( Acos x B sin x),

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные y :

y 2e2x ( Acos x B sin x) e2x ( Asin x B cos x),

y 4e 2 x ( A cos x B sin x) 4e2 x ( Asin x B cos x)e 2 x ( A cos x B sin x).

Подставим выражения y и производных в заданное уравнение, получим после приведения подобных членов

(2A 4B)e2x cos x ( 4A 2B)e2x sin x 3e2x cos x.

Сократим на e 2 x

и приравняем коэффициенты при cos x

и sin x , получим два уравнения для определения А и В:

2A 4B 3,

4A 2B 0 , откуда

A 3 / 10,

B 3 / 5. Сле-

2 x 3

cos x

довательно,

частное решение y

sin x . Общее

решение y

y будет иметь вид

y C e x C

e x e2 x

cos x

sin x .

Пример 12.18. Найти частное решение линейного неод-

нородного

уравнения

y y 2y cos x 3sin x , удовлетво-

ряющее начальным условиям: y(0) 1,

y (0) 2.

206

Решение. Найдем вначале общее решение, которое будет иметь вид y y y .

Чтобы найти общее решение соответствующего одно-

родного уравнения y ,

составим характеристическое уравнение

и найдем его корни k 2 k 2 0,

Тогда общее решение соответствующего однородного

уравнения

C e x C

e 2x .

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет

вид

f (x) e x (M cos x N sin x) ,

данном случае

0, 1,

i i, M 1, N 3.Так как число + i = i не

является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

y ( Acos x B sin x), y Asin x B cos x, y Acos x B sin x.

Подставим выражения y и производных в заданное

уравнение, получим после приведения подобных членов

(B 3A) cos x ( A 3B) sin x cos x 3sin x.

Приравняем коэффициенты при cos x

и sin x ,

получим

два уравнения для определения А и В:

B 3A 1,

3B A 3 ,

откуда

A 0,

B 1.

Следовательно,

частное

реше-

ние y sin x . Общее решение y

y будет иметь вид

y C e x C

e 2x

sin x .

Найдем С1, С2, используя начальные условия

C e0 C

e0 sin 0 1;

C1 C2 1;

или

C1e0

2C2 e0 cos0 2,

C1 2C2 1 2.

Отсюда С1=1, С2=0. Искомое частное решение будет y e x sin x .

207

12.11. Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

12.11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Модель естественного роста выпуска

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный РQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.

I(t) =тРQ(t),

(12.34)

(акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т – норма инвестиции, постоянное число, причем 0<m<1.

Если исходить из предположения о не насыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска

Q lI ,

(12.35)

где 1/l – норма акселерации. Подставив в (12.35) формулу (12.34), получим

Q kQ,	k lmP.	(2.36)
	208

Дифференциальное уравнение (12.36) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид

Q Ce kt ,

где С – произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени t=t0 зафиксирован (задан) объем выпуска продукции

Q0:

Q Ce kt0 .

Тогда из этого условия можно выразить постоянную С:

C Q e kt0	.
0
Отсюда получаем частное решение уравнения (12.36) –
решение задачи Коши для этого уравнения:
Q Q ek (t t0 ) .		(12.37)
0

Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Так из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается уравнением (12.36). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности, установленной формулой (12.37), и т.д.

12.11.2. Рост выпуска в условиях конкуренции

В этой модели не будем предполагать, что рынок насыщается. Пусть P P(Q) - убывающая функция, т.е. с увеличе-

нием объема продукции на рынке цена на нее падает: dP/dQ<0. Теперь из формул (12.34) – (12.36) получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:

Q P Q Q, lm. (12.38)

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то Q 0 , т.е. функция Q t возрастающая.

209

Характер возрастания функции определяется ее второй производной. Из уравнения (2.38) получаем

	dP			dP
Q Q P Q Q		Q	Q P		Q .
Q Q P Q Q		Q	Q P		Q .
	dQ			dQ
	dQ			dQ

Это равенство можно преобразовать, введя эластичность

E P

dQ P

dP Q

спроса

, откуда Q Q P 1

, или, так как

dP Q

dQ P

и, значит, E<0, окончательно получаем

Q P

(12.39)

Из уравнения (12.39) следует, что при эластичном спро-

1,Q 0

и график функции Q t имеет на-

се, т.е. когда

правление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост; при неэластичном спросе E 1,Q 0 - направление выпуклости функции Q t вверх, что означает замедленный рост

(насыщение).
	Для простоты примем зависимость P(Q)							в виде линейной
функции
					P(Q) a bQ, a 0,b 0,			(12.40)
(рис. 64). Тогда уравнение (2.39) имеет вид
					Q (a bQ)Q,			(12.41)
откуда
					Q Q (a 2bQ) .			(12.42)
	Из отношений (12.41) и (12.42) получаем: Q 0 при
Q 0		и при Q	b	,	Q 0 при Q	a	и Q 0	при Q	a	;

			a			2b			2b
Q	a	- точка перегиба графика функции Q Q t . Приведен-

	2b

ный на рис. 65 график этой функции (одной из интегральных

210

P	Q
a	a/b
a

0	a/b	Q	0	t
	a/b	Q		t
	Рис. 64			Рис. 65

кривых дифференциального уравнения (12.41)) носит название

логистической кривой.

Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например размножение бактерий в ограниченной среде обитания, динамику эпидемий внутри ограниченной общности биологических организмов и др.

12.11.3. Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) – национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения:

Y(t)=S(t)+I(t)+E(t),
S(t)=a(t)Y(t)+b(t),	(12.43)
I(t)=k(t) Y (t),

где a(t) – коэффициент склонности к потреблению (0<a(t)<1); b(t) – автономное (конечное) потребление; k(t) – норма акселе-

211

рации. Все функции, входящие в уравнения (12.43), положительны.

Поясним смысл уравнений (12.43). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу – этот баланс отображен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве плюс конечное потребление – эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы – они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t.

Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное ли-

нейное уравнение первого порядка для функции Y(t):
Y	1 a t	Y	b t E t	.	(12.44)
	k t		k t

Проанализируем случай, полагая основные параметры задачи a, b, k постоянными числами. Тогда уравнение (12.44) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Y	1 a	Y	b E	.	(12.45)

	k		k

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (12.45) возьмем так называемое

равновесное решение, когда Y =0, т.е.

Yp	b E	.	(12.46)

	1 a
212

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой

~	1 a
y	C exp

		k

имеет вид

				уравнения (12.45)
t , так что общее решение

Y t	b E	1 a	t .

		Ce k		(12.47)
	1 a

Интегральные кривые уравнения (12.45) показаны на рисунке 66. Если в начальный момент времени Y0 Yp , то С=Y0-

Yp<0 и кривые уходят вниз от равномерного решения (12.46), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи a, b, k, E, так как показатель экспоненты в (12.47) положителен. Если же Y0 Yp , то С>0 и национальный

доход растет – интегральные кривые уходят вверх от равно-

Y=Yp

0	t
	t
	Рис. 66

весной прямой Y=Yp. Для автономного дифференциального уравнения (12.45) стационарная точка (12.46) является точкой неустойчивого равновесия.

213

12.11.4. Неоклассическая модель роста

Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где F – однородная производственная функция первого порядка (F(tK,tL)=tF(K,L)), K – объем капиталовложений (производственных фондов), L – объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k=K/L, тогда производительность труда выражается формулой

f x F K, L F k, l . (12.48) L

Целью рассматриваемой задачи является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базируется на определенных предпосылках, нам нужно сделать некоторые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполняются следующие предположения:

1) имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов

L L;			(12.49)
2) инвестиции расходуются на увеличение производст-
венных фондов и на амортизацию, т.е.
I K K,			(12.50)
где - норма амортизации.
Тогда, если l – норма инвестиций, I lY K K,			или
K lF K, L K.			(12.51)
Из определения фондовооруженности k вытекает, что
ln k ln K ln L.
Дифференцируя это равенство по t , имеем	k	K		L	.
Дифференцируя это равенство по t , имеем					.
	k	K		L

Подставив в полученное равенство выражения (12.48),

(12.51), получаем уравнение относительно неизвестной функции k:

k lf k k,	(12.52)
214

где f(k) определена по формуле (12.48).

Полученное соотношение (12.42) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое является автономным. Выделим стационарное решение этого уравнения; из ус-

ловия k =0 следует, что
lf k k 0 ,	(12.53)

т.е. kst=const – постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.

Рассмотрим конкретную задачу: для производственной

функции F(K,L)= KL найти интегральные кривые уравнения (12.52) и стационарное решение.

Из (12.48) следует, что f(k)= k , и тогда уравнение

(12.52) имеет вид
	dk	l		k.	(12.54)
			k
	dt

Стационарное решение этого автономного уравнения следует из равенства l k k 0 ,

откуда получаем ненулевое частное решение уравнения

(12.52): kst= l 2 / 2 .

Дифференциальное уравнение (12.54) решаем методом

		dk
разделения переменных:		l		dt.
разделения переменных:	k	l	k	dt.

Интегрируя это уравнение с заменой переменной k =z, получаем его общее решение в окончательном виде

	l				2
k t		C exp		t	.	(12.55)
k t		C exp		t	.	(12.55)
			2

215

kst

0	t

Рис. 67

Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 67): т.е. k kst при t . Следовательно, при неизменных входных параметрах задачи l, , функция фондовооруженности устойчиво стремится к

стационарному значению независимо от начальных условий. В таком случае говорят, что k= kst является точкой устой-

чивого равновесия.

12.11.5. Дифференциальные уравнения второго порядка в экономике

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка обычно полагают, что спрос и предложение зависят только от текущей цены на товар. Однако в реальных ситуациях они зависят еще и от тенденции ценообразования, и от темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены P и ее производных:

216

	D t 3P P 2P 18,	(12.56)
	S t 4P P 3P 3.	(12.56)
	S t 4P P 3P 3.

Принятые в (12.56) зависимости вполне реалистичны: поясним слагаемые с производными функции цены.

1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп роста растет P 0 , рынок увеличивает интерес к това-

ру, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком «минус».

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при P в функции S t

больше, чем в D t . Рост цены также увеличивает предложение

– потому слагаемое, содержащее P , входит в выражение для S t со знаком «плюс».

Установим зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D S , приравняем правые части уравнений (12.56). После приведения подобных получаем

P 2P 5P 15.

(12.57)

Соотношение (12.57) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P t . Общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего ре-

шения соответствующего однородного уравнения
		P 2P 5P 0.				(12.58)
Характеристическое уравнение имеет вид
			k 2 2k 5 0.
Его	корни	–	комплексно-сопряженные			числа:
k1,2 1 2i ,	и, следовательно, общее				решение уравнения
(12.58) дается формулой
		~	e t C cos2t C		sin 2t ,
		P t	e t C cos2t C	2	sin 2t ,
			1	2
где C1 и С2	- произвольные постоянные. В качестве частного
решения неоднородного уравнения возьмем решение						P Pst
			217

постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (12.57) дает значение Pst :

Pst 3.

Таким образом, общее решение уравнения (12.57) имеет

вид

P t 3 e t C	cos2t C		2	sin 2t .	(12.59)
1
Нетрудно видеть, что P(t)		Pst 3 при			t , т.е. все

интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту P 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установлению с колебаниями около установившейся цены Pst , причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2.Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, укажите метод его решения.

3.Дайте определение однородного и линейного дифференциальных уравнений. Изложите методы нахождения их общего и частного решений.

4.Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите примеры.

5.Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения. Приведите примеры.

218

6.Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Приведите примеры.

7.Изложите правило для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой ча-

стью вида e x Pn (x) , где Pn (x) есть многочлен степени n 0.

8. Изложите правило для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида e x ( Acos x B sin x) .

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

1.y tgx y a.

2.y 10x y .

3.y xy xy .

4.xy y ln xy .

5.y 2xy xe x2 .

6.y 1 2x y 1.

Ответ: y C sin x a . Ответ: 10x 10 y C.

Ответ: y x2 ln Cx

Ответ: y xe1 Cx .

Ответ: y e x2 (C x 2 ). 2

Ответ: y Cx 2 e1/ x x 2 .

219

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям

7.y xy 2;

xyy

Ответ: arctg

8. y

y 1

x 0 1.

x 2

1 x

Ответ:

[2 x

1 x 2 arcsin x].

1 x

9. (1 e x ) yy e y ;

Ответ: (1 y)e y

1 e x

1 x .

10. y 3x 2 y x5

x 2 ;

x 0

Ответ:

e x3

(2 x 3 ).

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

11.xy y ln yx .

12.y ln x.

13.2xyy ( y )2 1.

14 yy yy ln y ( y )2 .

								x	1
									1
Ответ: y (C x C 2 )e C1										C		2		.
			1	1								2
Ответ: y			x 2	(ln x		3	) C x C									.
Ответ: y				(ln x			) C x C								2	.
			2	2						1					2
			2	2
			2
Ответ:	y		2		(C x 1)3					C			2	.


				1
			3C1
Ответ:		x C2		C arctg(C							ln y).
Ответ:				C arctg(C						1	ln y).
	2			1						1
	2

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

220

4 y 16y 15y 4e

x ; y

5,5.

15.

x 0

Ответ: y (1 x)e

2 e

2 .

16.

y 2 y 10y 10x 2

18x 6;

x 0

3,2.

Ответ: y e x (0,16cos3x 0,28sin 3x) x 2

2,2x 0,84.

17.

y y 2(1 x); y

x 0 1,

x 0 1.

Ответ: y e x x 2 .

18.

y y sin 2x 0; y

x 1,

x 1.

Ответ: y 13 sin x 13 sin x cos x.

221

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.1 Mб02704.pdf
#
15.11.20222.1 Mб22706.pdf
#
15.11.20222.11 Mб12707.pdf
#
15.11.20222.12 Mб02710.pdf
#
15.11.20222.12 Mб02711.pdf
#
15.11.20222.12 Mб02712.pdf
#
15.11.20222.12 Mб182713.pdf
#
15.11.20222.13 Mб02716.pdf
#
15.11.20222.13 Mб02717.pdf
#
15.11.20222.13 Mб02718.pdf
#
15.11.20222.15 Mб02724.pdf