11.12.5. Оптимизация спроса

Типичной задачей исследования спроса является оптимизация функции полезности при ограничениях на бюджет покупателя. Рассмотрим такой пример: найти величины спроса x и y на две разновидности товара при ценах на них соответственно a и b, сели потребитель при бюджете К стремится максимизировать функцию полезности, которая имеет вид

Из условия задачи следует, что при покупке, стоимость которой ах +ву, потребитель может израсходовать сумму, не превышающую К. Следовательно, необходимо найти точку (х, у), в которой функция (11.27) достигает максимума при ограничениях:

ется минимальным ее значением. Следовательно, нужно искать точку максимума этой функции на границе

ax by K,

области D. Подставляя из этого уравнения выражение для у в функцию (11.27), получаем функцию одной переменной

174

Критическую точку этой функции найдем из условия обращения в нуль ее первой производной; получаем, что х=К/(а+в),откуда у=К/(а+в). Таким образом, в данной модели оптимальный спрос на оба вида товара одинаков: он пропорционален бюджету и обратно пропорционален суммарной цене товара.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое толкование этих понятий.

2.Что называется пределом функции двух переменных в

точке?

3.Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных.

4.Когда функция z =f (x,у) называется дифференцируемой в данной точке?

5.Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных функции двух переменных.

6.Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Выведите необходимые и сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.

7.Что называется производной от функции z =f (x,у) в

данной точке М0 по направлению вектора s? Выведите формулу для ее вычисления.

8.Что называется градиентом скалярной функции в данной точке?

175

3.Найти полный дифференциал функции z arctg x y .

xy

Ответ. В точке М (0,3) функция имеет минимум zmin= 9.

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy+x+y в квадрате, ограниченном прямыми х=1, х=2, у= 2,

у=3.

Ответ. zнаим =5, zнаиб=11.

8. Найти производную функции z x 2 y 2 в точке М

(1,1) в направлении вектора a, составляющем угол =60 с положительным направление оси Ох.

176

Ответ. (grad z)М= 4i +j . grad z M = 17 .

12.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

12.1.Основные понятия и определения

Определение. Дифференциальным уравнением называет-

ся уравнение, связывающее независимую переменную х , искомую функцию у= f(x) и ее производные y , y ,..., y(n) .

Символически дифференциальное уравнение можно записать в виде:

F(x, y, y , y ,..., y (n) ) 0.

Если искомая функция у= f(x) есть функция одной переменной, то уравнение называется обыкновенным.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Так, например, уравнение y 2xy 2 7 0 есть уравне-

ние первого порядка.

Определение. Решением или интегралом дифференци-

ального уравнения называется всякая функция у= f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(12.1)

Если это уравнение можно разрешить относительно y ,

то его можно записать в виде у = f(x, у). В этом случае говорят что уравнение разрешено относительно производной. Для та-

177