Замечание 3. Обратное утверждение неверно. Неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Например, y x sin x при x неограниченна, так как для любого

М > 0 можно указать такие значения x, что x sin x M . Но функция y x sin x не является бесконечно большой, так как обращается в нуль при x k .

2.3. Бесконечно малые и их основные свойства

Определение 1. Функция (x) называется бесконечно

ния предела следует, что для любого наперед заданного произвольно малого положительного найдется такое число N, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству |x| > N,

| x | N 1 .

Пример 2.5. Функция (2 x)3 при x 2 является

бесконечно малой, так как lim (2 x)3 0. x 2

Теорема 1. Если функция y f (x) представлена в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой α: у = b + α, то lim y b (при x a , x ).

Обратно, если lim y b , то у = b + α.

16

можно представить в виде суммы предела 1 и бесконечно малой , равной в данном случае равна 1/x, т.е. у =1+ .

Теорема 2. Если (x) 0 при x a ( x ) и не

обращается в 0, то y 1 стремится к бесконечности.

Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции(x) на ограниченную z z(x) при x a ( x ), есть бесконечно малая функция.

Cледствие 1. Если lim 0 , lim 0 , то lim 0 . Следствие 2. Если lim 0 , c const , то lim c 0 .

Теорема 5. Частное ( x) от деления бесконечно малой z( x)

величины (x) на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

2.4. Основные теоремы о пределах

Будем рассматривать совокупность функций, которые зависят от одного и того же аргумента х, при этом x a или x . Поэтому не будем писать ни x a , ни x , подразумевая то или другое.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

lim u1 u2 ... uk lim u1 lim u2 ... lim uk

17

Теорема 5. Если при x a (или при x ) функция y принимает неотрицательные значения y 0 и при этом y b ,

то b есть неотрицательное число b 0 .

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций u u(x) и v=v(x), стремящихся к пределам при

x a (или при x ) выполняется неравенство u(x) v(x) , то имеет место lim u(x) lim v(x) .

Теорема 7. Если переменная величина v возрастающая, т.е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и, если она ограничена, т.е. v < M, то эта переменная величина имеет предел lim v a , где а < M.

Примеры. 2.10. Вычислить пределы

1)

2

2) lim . Здесь предел знаменателя равен 0. Восполь- x 1 x 1

зуемся теоремой о том, что величина, обратная бесконечно малой, будет бесконечно большой величиной. Таким образом,

Здесь и в дальнейшем будем обозначать бесконечно малую величину -0, а бесконечно большую величину - .

Выражения вида 0 , , 0 , , 1 называют-

0

ся неопределенностями.

19

сектора МОА = 12 OA AM 12 1 x x 2 . Площадь

СОА = 12 OA CA 12 1 tgx . После сокращения на ½ полу-

чим sin x x tgx .

личинами, имеющими предел равный 1. Следовательно, на основании теоремы 4 предыдущего параграфа

lim sin x 1 . x 0 x

20

Примеры 2.11.

нечности, стремится к пределу е:

= е е е = e3.

=e4 1 e4 .

2.7.Раскрытие некоторых неопределенностей

который при непосредственной подстановке х = а приходит к одному из случаев неопределенности. Укажем приемы для решения таких примеров, приемы «раскрытия неопределенности».

1. В числителе и знаменателе многочлены. Получается

неопределенность . Для ее раскрытия необходимо разде-

лить числитель и знаменатель на x в старшей степени.

Пример 2.13.

Здесь было использовано, что при x величины 1/x и 1/ x 2 стремятся к нулю.

2. В числителе и знаменателе многочлены. Получается

числитель и знаменатель на множители и сократить.

Пример 2.14.

3. Дробь не является рациональной т.е. в числителе или знаменателе есть корни. Получается неопределенность вида

0 . Необходимо числитель и знаменатель умножить и разде-

0

лить на сопряженное и сократить.

Пример 2.15.

4. При непосредственном вычислении получается неопределенности вида . В выражении есть корни. Необходимо умножить и разделить на сопряженное.

Пример 2.17.

5.Неопределенность вида . Необходимо привести

кобщему знаменателю. В результате получим один из уже рассмотренных случаев.

6. Пример содержит тригонометрические функции. По-

0

лучается неопределенность вида . Для решения необхо-

0

димо воспользоваться первым замечательным пределом.

24

Пример 2.19. Доказать, что функция y x 2 непрерывна в произвольной точке х0. Действительно,

y0 x02 ; y0 y (x0 x)2 ,

y (x0 x)2 x02 2x0 x x2 .

lim y = lim (2x0 x x 2 )x 0 x 0

=2x0 lim x + lim x lim x =0x 0 x 0 x 0

при любом стремлении x к нулю к нулю.

Теорема 1. а) Если функции f1(x) и f 2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (х ) = f1(x) + f 2(x) также есть непрерывная функция в точке х0.

б) Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

в) Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

г) Если u = (х) непрерывна при х=х0 и f(u) непрерывна в точке u0= (х0), то сложная функция f( (х)) непрерывна в

точке х0.

Теорема 2. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Определение 2. Если функция у = f (х) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,b), где а b, то гово-

рят, что функция непрерывна на этом интервале.

Если функция определена при х = а и при этом

26