Вопросы для самопроверки

Задачи для самостоятельного решения

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

5.1. Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Применим понятие производной для исследования возрастания функции.

Теорема 1. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a,b] не отрицательна, т.е. f (x) 0 .

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в промежутке (a,b), причем f (x) 0 для

x (a,b), то функция возрастает на отрезке [a,b].

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих (дифференцируемых) функций, а именно:

Теорема 2. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a,b], убывает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a,b] f (x) 0 .

57

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в промежутке (a,b), причем f (x) 0 для

x (a,b), то функция убывает на отрезке [a,b].

Замечание. Если на отрезке [a,b] функция возрастает, то касательная к кривой у=f(x) в каждой точке образует c осью Ох или острый угол или - в отдельных точках –горизонтальна . Тангенс этого угла не отрицателен.

Если на отрезке [a,b] функция убывает, то касательная к кривой у=f(x) в каждой точке образует c осью Ох или тупой уголили - в отдельных точках –горизонтальна . Тангенс этого угла не положителен.

Примеры 5.1. Найти интервалы возрастания и убывания

В связи с определением максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

58

y

Рис. 21

1)Функция, определенная на отрезке, достигает максимума и минимума только внутри отрезка.

2)Максимум и минимум не являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на рассматриваемом отрезке, в точке максимума функция имеет наибольшее значение только по сравнению с достаточно близкими значениями.

Так на рис. 21 изображена функция, определенная на отрезке [a,b], которая

при x x1 и x x3 имеет максимум, при x x2 и x x4 имеет минимум.

Но минимум функции при х=х4 больше максимума функции при х=х1. При х=b значения функции больше любого максимума.

Максимумы и минимумы функции называются экстре-

мумами.

5.3. Необходимое и достаточное условия существования экстремума

Теорема 1. (необходимое условие существования экс-

тремума). Если дифференцируемая функция f(x) имеет в точке x=x1 максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f (x1)=0.

59

Геометрический смысл.

Если в точках максимума и минимума функция имеет производную, то касательная к графику в этих точках параллельна оси Оx.

Следствие. Если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.

Обратное утверждение неверно. Если при некотором значении аргумента производная обращается в нуль, то функция не обязательно имеет экстремум.

Например, функция y x 3 имеет производную y 3x 2 , при x=0 производная равна нулю, но функция всюду

[a,b] производная не существует. Покажем на примерах, что в таких точках тоже может быть экстремум функции.

этой точке функция имеет минимум, так как в любой отличной от нуля точке y>0 (рис. 23).

ность при х=0, но в этой точке функция имеет максимум

(рис. 24).

3) Функция y 3 x не имеет производной при х=0. В этой точке функция экстремума не имеет (рис. 25).

Таким образом, если при некотором значении аргумента производная функции не существует, то экстремум в той точке может быть, а может и не быть. Отсутствие производной не является достаточным условием экстремума.

Функция может иметь экстремум, если производная f (х) =0 или f (х) не существует.

Значения аргумента при которых f (х) =0 или f (х) не

существует называются критическими точками первого рода.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x1 и дифференцируема во всех точках этого интервала (за исключением, может быть x1). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с «+» на « », то при x=x1 функция имеет максимум. Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с « » на «+», то при x=x1 функция имеет минимум.

Проиллюстрируем смысл теоремы на рисунке рис.33.

1) В точке x= x1 имеем f (х1) =0 и для всех х, достаточно близких к точке x1, выполняются неравенства f (х)>0 при

61

х <х1, функция возрастает; f (х)<0 при х >х1, функция убыва-

ет. Функция переходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум.

y

Рис. 26

2)В точке x2 функция переходит от убывания к возрастанию, т.е. имеет минимум.

3)В точке x=x3 f (х)>0 при х <х3 и f (х)>0 при х>х3 , т.е. производная не меняет знак. Функция не имеет экстремума.

Пример 5.3. Найти экстремумы функции

y x 3 2x 2 3x 1. 3

Решение. Находим производную y x 2 4x 3. Приравняем производную нулю и найдем корни уравне-

ния x 2 4x 3 0.

Получим критические точки первого рода х1=1; х2=3. Критические точки разбивают числовую ось на интервалы. Найдем знак производной на каждом интервале. Результаты оформим в виде таблицы

Функция имеет максимум уmax=7/3 при х=1 и минимум

уmin= 1 при х=3.

5.4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке функция достигает своего наибольшего значения. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка , то это будет один из максимумов функции, а именно, наибольший максимум. Но наибольшее значение может достигаться и на концах отрезка. То же самое можно сказать и о наименьшем значении.

Можно сформулировать следующее правило: если тре-

буется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке, то надо:

1)найти все критические точки и вычислить значения функции в критических точках;

2)найти значения функции на концах отрезка т.е. f(a) и

f(b).

3)из всех полученных значений выбрать наибольшее. Аналогичным образом следует поступать и при опреде-

лении наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 5.4. Определить на отрезке [-3,3/2] наибольшее и наименьшее значение функции y=x³ -3x+3.

Решение. Из условия y 0 находим критические точки на отрезке [-3,3/2]: y 3x2 3 0; критические точки x1=1, x2=

-1. Значения функции в критических точках у(1)= 1, у(-1)= 5. Определим значения функции на концах отрезка

y(-3)= -15; y(3/2)=15/8.

Следовательно, наименьшее значение y(3)=-15 , наибольшее значение y(-1)=5.

63

5.5. Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение 1. Кривая называется выпуклой на интер-

вале (a,b), если все ее точки расположены ниже любой ее касательной на этом интервале ( рис. 27).

Определение 2. Кривая называется вогнутой на интер-

вале (a,b), если все ее точки расположены выше любой ее касательной на этом интервале (рис. 28).

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная функции f`(x) отрицательна, т.е. f (x) <0, то кри-

вая выпукла на этом интервале.

Теорема 2. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная f (x) >0, то кривая вогнута на этом интервале.

Примеры 5.5. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

1)y=x²; y 2x, y 2 > 0 для всех х. Кривая всюду во-

гнута.

2)y x 3 , y 3x 2 , y 6x . Следовательно, кривая выпукла при x<0 и вогнута при x>0.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой называется точкой перегиба.

Установим достаточное условие того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

64

Теорема 3. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f (a)=0 или f (a) не существует и при переходе

через x=a вторая производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

Пример 5.6. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y x3 5x 2 3x 5.

Решение. Найдем первую и вторую производные y 3x 2 10x 3, y 6x 10 .

Первая и вторая производные существуют всюду. Находим значения х, при которых y 0 : x=5/3. Исследуем полученное значение.

При x<5/3, y <0. Кривая выпукла. При x>5/3, y >0. Кривая вогнута.

Точка (5/3,-250/27) является точкой перегиба.

5.6. Асимптоты

Определение. Прямая L называется асимптотной кривой, если при удалении точки M по кривой в бесконечность, расстояние от точки M до L 0 (рис. 29).

асимптотой.

65

Итак, если прямая y=kx+b есть асимптота, то k и b находятся по формулам (5.1),(5.2). Обратно, есль существуют пределы (5.1), (5.2), то прямая y=kx+b есть асимптота. Если хотя бы один предел не существует, то асимптоты нет.

Замечание. Функция может иметь различные асимптоты при x и x .

Следовательно прямая у=х+2 есть наклонная асимптота данной кривой (рис. 32).

67

Пример 5.9. Найти асимптоты кривой: y e x sin x x.

Решение. 1) Функция всюду определена, вертикальных асимптот нет.

2) Ищем наклонные асимптоты:

Следовательно , прямая у=х есть наклонная асимптота при х + . При х данная кривая асимптот не имеет

5.7. Общий план исследования функции

Полное исследование функций будем поводить, придерживаясь плана:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва;

3)отметить простейшие свойства (четность, периодичность, пересечение с осями);

4)асимптоты (вертикальные, наклонные);

5)критические точки первого рода (из условия f (x)=0

или f (x)`- не существует);

6) критические точки второго рода (из условия f (x)=0 или f (x) не существует);

7)интервалы возрастания и убывания;

8)экстремумы;

9)интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. На основании проведенного исследования строится гра-

фик функции.

68

Пример 5.10. 1) Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (х) и, используя результаты исследования, построить ее график y = x3 / 2 (x+1)2.

Решение. 1. Найдем область определения функции. Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель

дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким об-

разом, D (y) =(- , 1)U ( 1, ) .

2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка

О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность y( x) ( x)3 / 2( x 1)2 x3 / 2(1 x)2.

Очевидно, что у(-х) у (х) и у(-х) -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. А. Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет

асимптотой вычислим пределы справа и слева при x 1 0, x 1 0 от функции f(x):

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

Б. Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при x ,x

y

x

Рис. 33

Пример 5.11..Исследовать функцию y 3 2x 2 x3 и построить график.

1.Функция всюду определена: x R

2.Общего вида. Точки пересечения с осями

3. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные:

71