Рис. 55

Замечание. Для функции у = f(x) существование производной f (x0) гарантирует непрерывность функции f(x) в точке х =х0. Для функции n 2 переменных из существования частных производных по всем переменным в точке М0 не следует непрерывность функции u= f(М) в этой точке.

11.4. Полное приращение функции и полный дифференциал

Рассмотрим функцию двух переменных f (x,у). Пусть она определена и непрерывна в точке М0(х0 ,у0) и некоторой ее окрестности. Перемещению из точки М0(х0 ,у0) в точку М(х ,у)

х = x0+ x, у = у0+ у соответствует полное приращение

функции: z = f (М) - f (М0) = f (x0+ x, у0+ у) - f (x0, у0),

т.к. здесь, вообще говоря, все переменные получают приращения, отличные от нуля.

В общем случае, для произвольной функции, полное приращение имеет сложную структуру. Однако для широкого класса функций z = f (x, у), называемых дифференцируемыми, полное приращение z можно приближенно выразить линейно через приращения аргументов.

Обозначим через расстояние между точками М0 и М:

150

= x2 y 2 . Очевидно, что 0 х 0 и у 0.

Функция z = f (x, у) называется дифференцируемой в точке М0 (х0,у0), если существуют числа А и В такие, что пол-

ных x и y называется полным дифференциалом функции f (x, у) в точке М0 (х0,у0) и обозначается

dz = А x + В y.

Следовательно, формулу (11.4) можно записать

z = dz +.

Замечание. Формулу (11.4) можно записать в другом ви-

де: z = А x + В y + x + y,

где 0 и 0 при х 0 и у 0.

Установим связь между дифференцируемостью функции и существованием у нее частных производных.

Теорема 1. (Необходимое условие). Если функция

z = f (x, у) дифференцируема в точке М0 (х0,у0), то эта функция имеет в точке М0 частные производные, причем

Следовательно, полный дифференциал можно записать в виде:

ференциал равен сумме частных дифференциалов. Теорема 2. (Достаточное условие). Если функция

z = f (x, у) имеет частные производные в точке М0 (х0, у0) и в некоторой ее окрестности, и эти частные производные являются непрерывными функциями, то эта функция дифференцируема в точке М0 , причем

151

Теорема 3. Если функция f (x, у) дифференцируема в точке М0, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с х и у. Поэтому диффе-

ренциал – главная линейная часть приращения функции.

11.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z = f (x,y). Найдем ее частные производные:

Частные производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных: х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

дифференцирования называются смешанными производными второго порядка.

Пример 11.8. Найти производные второго порядка функции z x4 x5 y3 y3 16.

Решение.

Оказалось, что смешанные производные второго порядка равны.

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны в той области, где они непрерывны

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и обозначаются

т.д.

Введем понятие дифференциала второго и более высоких порядков.

Пусть функция z= f (х, у). Имеет непрерывные частные производные достаточно высоких порядков. Рассмотрим дифференциал этой функции.

Этот дифференциал называется полным дифференциа-

лом первого порядка, он зависит, во-первых от х и у, т.к. от х и у зависят частные производные, во-вторых, он зависит от

dx = x и dy = y. Эти величины не зависят от х и у. Поэтому при дифференцировании по х или у их можно считать постоянными.

153

Полный дифференциал от полного дифференциала пер-

вого порядка называется полным дифференциалом второго

11.6. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z= f(x,y), непрерывную в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности.

Точка М0(x0,y0)) называется точкой максимума функции z = f(М) (рис. 75), если всюду в некоторой окрестности точки М0 (0< d (M0 M) < ) выполняется неравенство

f (М) <f (М0) или z = f (М) – f (М0) <0.

Точка М0 (x0,y0) называется точкой минимума функции z=f(М) (рис.76), если всюду в некоторой окрестности точки М0

f (М) f (М0) или z = f (М) – f (М0) 0.

Точки максимума и точки минимума – точки экстремума. Понятие экстремума носит локальный характер: в определении рассматриваются лишь точки М1 достаточно близкие к точке

М0.

Теорема. (Необходимое условие). Если функция z= f(x,y)

дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то

Следствие. В тех точках, в которых существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Значит, экстремум следует искать только в тех точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.

Такие точки называются критическими (стационарными). В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. В общем случае о наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточных признаков экстремума.

11.7. Достаточный признак экстремума

Теорема. Пусть функция z= f(х, у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0

ция f(х, у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

155

2.Если число = AC B2 <0, то точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC B2 =0, то признак не применим.

Пример 11.9. Найти экстремум функции z x3 y 3 9xy 27 .

Решение. Найдем частные производные и приравняем их нулю.

Решая систему уравнений, получим критические точки

х1=0; у1 =0; х2= 3; у2= 3; М1(0,0); М2(3,3).

Найдем вторые производные:

тельно, в точке М2 функция имеем минимум, так как А0.

zmin 27 27 81 27 0.

11.8.Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области D . Тогда в области D найдётся хотя бы одна точка A(x0,y0), в которой функция принимает своё наибольшее значение M: f(x0,y0) = M и найдется хотя бы одна точка B(x1,y1), в которой

156

функция принимает своё наименьшее значение m: f(x1,y1) = m, т.е.

для любых точек области D.

Возможны два случая. Точка А лежит внутри области D или точка А лежит на границе. То же самое и относительно точки В. Если А и В лежат внутри области, то они, в силу неравенств (11.17), совпадают с экстремальными точками.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений необходимо:

1)найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции;

3)выбрать наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.

11.9. Производная по направлению

Пусть дана дифференцируемая функция трёх независимых переменных:

рость изменения функции в направлении координатных осей. Можно рассматривать более общую задачу: найти скорость изменения функции в произвольном направлении l0, не совпадающем с направлением координатной оси.

Возьмём в пространстве некоторую точку М0(x0,y0,z0) и

через неё проведём прямую параллельную l0 . Возьмём на прямой другую точку М1(х0+ x, y0+ y, z0+ z) на расстоянии

от точки М0 (рис. 58).

157

Пример 11.24. Найти производную функции f(x,y)=x y2 в точке М0 (5;1) по направлению к точке М1 (9;4).

Решение. Направляющие косинусы вектора M 0 M 1

Найдем значения частных производных в точках

По формуле (11.10) получим:

11.10. Градиент функции. Свойства градиента

Пусть в пространстве задана функция трёх переменных u=f(x,y,z). Тогда в некоторой точке M0(x0,y0,z0) имеется бесчисленное множество различных направлений и дифференцируемая в точке М0 функция в этой точке имеет бесчисленное множество производных, соответствующих различным направлениям.

Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.

Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M0(x0,y0,z0) непрерывные частные производные. Тогда в точке М0 можно по-

строить вектор с координатами:

Началом этого вектора служит точка М0, в которой вычислены частные производные. Этот вектор называется градиентом скалярной функции в данной точке и обозначается

grad u(M 0 ) или grad f (x0 , y0 , z0 ) (рис. 59).

Таким образом,

Аналогично определяется градиент функции двух переменных u=f(x,y). Это – вектор на плоскости Oxy:

gradu(M 0 ) на направление вектора l0 . 161

Из формулы (11.13) следует, что производная скалярной функции в точке М0 имеет наибольшее значение в направлении градиента функции в той же точке, т.к. в этом случае

0 и cos 0 1.

Вэтом случае формула (11.13) будет иметь вид:

это наибольшая скорость возрастания функции. Следовательно, модуль градиента равен наибольшей ско-

рости возрастания функции в данной точке.

Из формулы (11.13) следует, что производная по направ-

лению, перпендикулярному градиенту ( 2 ) равна нулю,

т.е. в этом направлении функция не изменяется.

Пользуясь рассмотренным свойством, можно дать другое определение градиента, не связанное с выбором системы координат.

Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М0(x0,y0,z0) называется вектор, в направлении которого производная имеет наибольшее значение. Длина вектора градиента равна максимальному значению производной в данной точке.

Рассмотрим функцию двух переменных u= u(x,y)

grad u u , u .x y

Линии в плоскости аргументов Оху, для которых функция u(x,y) сохраняет постоянные значения, называется линией уровня. Её уравнение: u(x, y) = c.

Градиент функции u(x,y) в любой точке М, перпендикулярен к линии уровня функции, проходящей через данную точку. В пространстве градиент направлен по нормали к поверхности уровня функции u=f(x,y,z), проходящей через данную точку.

162

11.11. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов

Пусть на основании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х:

у = (х).

Пусть в результате эксперимента получено n значений функции у при соответствующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу:

Вид функции у = (х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 60. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естественно предположить, что искомую функцию у = (х) можно искать в виде линейной функции

y = ax + b. Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис. 61, то естественно искать функцию

у = (х) в виде у=а x b и т.д.

163

Рассмотрим несколько случаев определения функции у= (х,a,b,c,...).

1. Пусть y=ax+b. Функция S (a, b ) в этом случае имеет

вид

Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b. Очевидно, что система имеет определенное решение, и что при найденных значениях a и b функция S (a, b) имеет минимум.

2. Пусть за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени

yax2 bx c .

Вэтом случае выражение (1.27) имеет вид

Это функция трех переменных a, b, с. Система уравнений (11.18) принимает вид

165

Система (11.18) принимает вид 21 39a 11b 0,

10 11a 4b 0.

Решая эту систему, находим a и b: a =- 26/35, b = 159/35.

Искомая прямая (рис. 62) есть y 2635 x 15935 .

у

(х,a,b)

у1

х

Рис. 62

11.12. Функции нескольких переменных в задачах экономики

Рассмотрим некоторые типичные задачи нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающие в экономике.

11.12.1. Прибыль от производства товаров разных видов

Pi постоянные величины). Пусть затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек

167

C S x1 , x2 , , xm .

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных при xi 0 (при отсутствии других ограничений):

0, i 1,2, , m.

xi

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных xi

Pi S 0, i 1,2, , m. (11.20)xi

Система уравнений (11.20) реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из m значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения решения системы уравнений (11.20) зависит от вида функции издержек и может быть достаточно сложным.

Найденные наборы значений x10 , x20 , , xm0 необходимо

проверить по достаточному признаку локального максимума. Иными словами, нужно выполнить следующие операции:

а) составить гессиан для функции вида (11.19):