2539

где my = ∫ ρ(M )xdl ,

mx = ∫ ρ(M ) ydl —статические моменты

AB

AB

кривой относительно осей координат.

Координаты центра тяжести пространственной кривой АВ

x =

myz

,

y

c

=

m

xz

,

z

c

=

mxy

,

(5)

c

m

m

m

где myz = ∫ xρ(M )dl ,

mxz

= ∫ yρ(M )dl ,

mxy = ∫ zρ(M )dl —

AB

AB

AB

Ix = ∫ρ(M )( y2 + z2 )dl,

Iy = ∫ρ(M )(x2 + z2 )dl,

L

L

Iz = ∫ρ(M )(x2 + y2 )dl, I0

= ∫ρ(M )(x2 + y2 + z2 )dl. (6)

L

L

G

7°. Работа, совершаемая силой

F(P,Q, R) при перемеще-

E = ∫ Pdx +Qdy + Rdz ,

(7)

AB

G

где Р,Q , R — проекции силы F на координатные оси.

Если сила имеет потенциал, т. е. существует потенциальная

или силовая функция U (x, y, z) такая, что

∂U = P,

∂U = Q,

∂U = R,

(8)

∂x

∂y

∂z

то работа определяется по формуле

E = ∫ Pdx +Qdy + Rdz = ∫B dU =U (B) −U (A) ),

(9)

AB

A

X = km0 ∫

ρ(M ) cosθ

dl, Y = km0 ∫

ρ(M ) sinθ

dl ,

(10)

r

2

r

2

AB

AB

JG

mI sinα

dl,

(11)

F = ∫

r

2

AB

где dl — элемент длины

проводника, r — расстояние от

элемента тока до магнитной

массы, α

— угол между

линии x = aet cos t ,

y = aet sin t ,

z = aet от точки О (0,0,0) до

точки A(a,0, a) ; б)

y =

x2

,

z =

x3

от x = 0 доx = 3 .

2

6

Решение. а) Воспользуемся формулой (1), тогда

t2

L = ∫ dl = ∫ x2 + y2 + z2 dt .

OA

t1

0 = aet sin t ,

0 = aet ,

откуда

t = −∞ ;

1 = et cos t ,

0 = et

sin t ,

1 = et откуда t = 0. Таким образом

L = ∫0

a2e2t (cos t −sin t)2 + a2e2t (sin t +cos t)2 +a2e2t dt =

.

−∞

0

0

= a

3

∫

et dt = a

3 lim et

= a 3.

β→−∞

β

−∞

б) Примем переменную х

за параметр t,

тогда: x

= t,

y =

t2

,

z =

t3

. Отсюда по формуле (1) имеем:

2

6

L = ∫ x2 + y2 + z2 dt = ∫3

1+t2 + t4 dt =

1

∫3 (2 +t2 )dt

AB

0

4

2

0

1

(2t +

t

3

3

=

)

= 7,5.

2

3

0

10.2. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой: а)

параболами

y = x2

и x = y2 ;

б)

астроидой

x = a cos3 t ,

y = a sin3 t ; в) петлей декартова листа

x3 + y3 = 3axy .

S =

1

∫ xdy − ydx +

1 ∫ xdy − ydx =

2 OA

2 AO

.

=

1

1

2

dx −

1 1

2

dy =

1

1

+

1

1

2

∫0

x

y

2

3

=

3

.

2 ∫0

3

б) Воспользуемся формулой (2). Для этого находим диф-

ференциалы dx = −3a cos2 t sin tdt ,

dy = 3a sin2 t cos tdt . Пара-

=

3 a2

2∫π sin2 t cos2 tdt =

3 a2

2∫π sin2 2tdt =

2

0

8

0

=

3

a2

2∫π (1−cos 4t)dt =

3

a2 (t

−

1 sin 4t)

2π

=

3

πa2 .

16

0

16

4

0

8

параметрические уравнения

x =

3at

,

y =

3at2

.

1

+t3

1

+t3

y

Геометрический параметр

t =

= tgθ

есть угловой

x

от 0 до

π

, при этом параметр t

изменяется от 0 до ∞. Находя

2

дифференциалы

dx = 3a

1−2t3

dt,

dy = 3a

2t −t4

dt

и

(1+t3 )2

(1+t3 )

2

1 ∞

2

t(2t −t4 )

t2 (1−2t3 )

S =

9a

−

dt

=

2 ∫0

3

)

3

(1

+t

3

)

3

(1+t

=

9a2

∞

t2dt

= −

3

a2

lim

1

β

=

3

a2 .

∫0 (1+t3 )2

+t3

2

2

β→∞ 1

0

2

а)

y =

2x , z = y , x =

8 ; б) под первым витком винтовой

9

линии

x = a cos t , y = a sin t , z = bt ;

в)

x2

+

y2

=1, z = x (z ≥ 0) ;

a2

b2

L

вания L

параболический цилиндр

y = 2x . Дифференциал

′ 2

1

контура

равен dl =

dx = 1

+

2x dx . Подставляя под

1+( y )

знак интеграла z = y =

2x , получим

8

8

8

9

1

9

1

3

S = ∫

2x 1+

dx = ∫(2x +1)

2 dx = 1

2 (2x +1)2

9 =

98 .

2x

0

0

2

3

0

81

б)

Дифференциал

контура

в

данном

случае

равен

dl =

x2 + y2 + z2 dt =

a2 +b2 dt .

Отсюда

площадь

цилиндрической поверхности

2π

S = 2∫π bt a2 +b2 dt = b a2 +b2 t2

= 2π2b a2 +b2 .

0

2

0

в) Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде

x = a cos t ,

y = bsin t .

Дифференциал дуги равен dl =

a2 sin2 t +b2 cos2 tdt . При

z ≥ 0 площадь цилиндрической поверхности равна

S = k ∫a cos t

a2 sin2 t +b2 cos2 tdt =

L

π

= 2ak ∫2 cos t

b2 +(a2 −b2 )sin2 tdt =

0

sin t = u

1

=

c

2

= a

2

−b

2

= 2ak ∫ b2 +c2u2 du.

0

Интегрируя по частям, будем иметь

2

2 2

b2

2

2 2

1

b

+c u

+ c ln(cu +

b +c u

)

S = ak u

=

0

2

= ak a + b

ln a +c .

c

b

x = ρ cosϕ ,

г) Перейдем к полярной

системе координат

y = ρsinϕ ,

тогда уравнение

окружности

в

плоскости хОу

будет

ρ = R cosϕ .

При

z ≥ 0

площадь

цилиндрической

S = ∫ R2 − x2 − y2 dl = 22∫π

R2 − ρ2

ρ2 + ρ′2 dϕ =

L

0

=

2∫π

R2 − R2 cos2 ϕ R2 cos2 ϕ + R2 sin2 ϕdϕ =

0

= 2R2

2∫π sinϕdϕ = 2R2 .

0

10.4. Найти массу: а)

участка

кривой

y = ln x между

точками с абсциссами x = 1

и x = 2 , если плотность кривой в

1

2

2

точки

ρ = kt , k

- коэффициент пропорциональности;

в) всей

кардиоиды r = a(1+cosϕ) , если плотность ρ = k

r .

Решение. а) По формуле (3), учитывая, что ρ = x2 , имеем

m = ∫2

x2dl . Так как dl =

1

1+ x2 dx , то

1

x

2

2

1

1

3

2

1

5

3

35

∫

2

2

3

m =

(1

+ x )2 xdx =

(1+ x )2

=

(

5) −

=

5.

3

3

2

24

1

1

2

2

б) Первому витку отвечает изменение параметра t

от 0 до

2π . Выразим через параметр плотность:

m = 2∫π k a2 +b2

a2 +b2t2 dt = k a2 +b2 2∫π

a2 +b2t2 dt

0

0

2

2π

m = k a2 +b2

t

a2 +b2t

2 +

a

ln

(bt + a2 +b2t2 )

=

2

2b

0

2

2

2

2

2

a2

2πb +

a2 + 4π 2b2

= k a

+b

π

a

+ 4π

b

+

ln

.

2b

a

dl = ρ

+(ρ )

dϕ =

a

(1+cosϕ)

+a

sin

ϕdϕ =

2

′ 2

2

2

2

2

m =

2∫π k

a(1+cosϕ)a 2 1+cosϕdϕ =

0

= ka

2a

2∫π (1+cosϕ)dϕ = 2kπa

2a.

0

10.5. Найти координаты центра тяжести: а) однородной

полуарки циклоиды x = a(t −sin t) , y = a(1−cos t)

(0 ≤ t ≤π) ;

б) первого полувитка винтовой линии x = a cos t ,

y = a sin t ,

z = bt , считая

плотность постоянной;

в)

кардиоиды

r = a(1+cosϕ) , считая плотность ρ =1 .

плотность ρ постоянной величиной. Тогда

m = π∫ρ

x2 + y2 dt = aρπ∫

(1−cos t)2 +sin2 tdt = 2aρπ∫sin

t

dt =

2

0

0

0

−4aρ cos

t

π

= 4aρ .

2

0

my = π∫ρa2 (t −sin t)

(1−cos t)2 +sin2 tdt =

0

2

π

t

t

=

2a

ρ

∫0

t sin

−sin t sin

dt =

2

2

= 2a2 ρ

−2t cos

t

+ 4sin

t

+

4

sin3

t

π

=

4

2

32

2

3

2

0

=

2a

2

ρ

4

+

=

a

2

ρ.

3

3

mx

= π∫ρa2 (1−cos t)

(1−cos t)2 +sin2 tdt =

0

2

π

t

t

= 2a

ρ

∫0

sin

−cos t sin

dt =

2

2

2

t

1

3t

t

π

= 2a

ρ −2t cos

+

cos

−cos

=

2

3

2

2

0

Отсюда x =

my

=

8

a ,

y

c

=

m

x

=

4

a .

c

m

3

m

3

ρ за знаки интегралов.

В этом случае, при вычислении

необходимых величин, ρ

целесообразно опустить, приравняв

ее, например, единице

m = π∫ x2 + y2 + z2 dt = π∫ a2 +b2 dt =π a2 +b2 .

0

0

myz = π∫x

x2 + y2 + z2 dt = a

a2 +b2

π∫cos tdt =

0

0

= a

a2 +b2 sin t

π

= 0.

= π∫y

0

π∫sin tdt =

mxz

x2 + y2 + z2 dt = a a2 +b2

0

0

= −a

a2 +b2 cos t

π

= 2a

a2 +b2 .

myz = ∫ zdl = bπ∫t

0

t2

π

1 bπ2 a2 +b2 .

a2 +b2 dt = b

a2 +b2

=

AB

0

2

0

2

Отсюда

x

=