2539

на частичные поверхности, ни от выбора точек M i , то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода

Вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению обычного двойного интеграла. Если поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz лишь в

одной точке, то уравнение поверхности имеет вид z =ϕ(x, y). Пусть поверхность S проектируется на плоскость Oxy в область D , тогда элемент площади dD = dS cos γ , где γ — угол между нормалью к поверхности S и осью Oz

cos1 γ = 1+ ∂∂ϕx 2 + ∂∂ϕy 2 .

Таким образом, интеграл (1) вычисляется по формуле

стороны поверхности S , по которой выполняется интегрирование. Если проекция поверхности S на плоскость Oxy неоднозначна, т. е. прямая, параллельная оси Oz ,

пересекает поверхность в двух или более точках, то при

101

интегрировании следует разбить S на части, каждая из которых проектируется на Oxy однозначно.

2°. Поверхностные интегралы второго рода. Разбивая по-

где f (M i )= f (xi , yi , zi ) — значение функции в произвольной точке M i . некоторого частичного элемента поверхности Si .

Предел этой последовательности (3) при стремлении диаметров всех частей Di к нулю называется поверхностным

интегралом второго рода

распространенным на выбранную сторону поверхности S . Знак плюс соответствует интегрированию по верхней стороне поверхности S , знак минус — интегрированию по нижней стороне. Сторону поверхности, обращенную в сторону положительного направления оси Oz , называют верхней, а в сторону отрицательного направления оси Oz — нижней.

Если проектировать элементы поверхности S на плоскость Oxz и Oyz , то получим два других поверхностных интеграла второго рода

102

Если сторона поверхности обращена в сторону положительного направления оси Oy , то в первом интеграле

берется знак плюс, если в сторону отрицательного направления оси Oy — минус. Во втором интеграле знак,

аналогично, определяется по направлению оси Ox .

Объединяя все эти интегралы, нетрудно получить поверхностный интеграл по координатам общего вида

∫ ∫ P(M )dxdy +Q(M )dxdy + R(M )dydz ,

S

где P(M ),Q(M ), R(M ) — некоторые функции от (x, y, z), оп-

ределенные в точках поверхности S .

Если поверхность цилиндрическая и перпендикулярна области интегрирования, то соответствующий поверхностный интеграл по координатам равен нулю.

11.1. Вычислить интегралы: а) ∫ ∫ xyz dS , где S — часть

Решение. а) Данный интеграл относится к поверхностным интегралам первого типа. Из уравнения поверхности находим

гольная область, ограниченная прямой x + y =1 и осями коор-

103

Проекция сферы на плоскость Oxy есть круг x 2 + y 2 = a 2 . Таким образом

Переходя к полярным координатам, решение сводится к двойному интегралу

11.2. Вычислить поверхностные интегралы:

104

Решение. а) Искомый интеграл относится к поверхностным интегралам второго типа. Поверхность тетраэдра состоит из четырех треугольников ABC, AOC, ABO и BOC поэтому вычисляем интеграл по координатам общего вида, соответственно, на три интеграла.

Рассмотрим сначала интеграл по поверхности треугольника ABC. Поскольку интегрирование ведется по верхней стороне треугольника, то интеграл берется со знаком плюс

I1 = ∫∫ xzdxdy + xydydz + yzdxdz =

ABC

= ∫∫ xzdxdy + ∫∫ xydydz + ∫∫ yzdxdz =

= ∫ xdx∫(1−x −y)dy + ∫ ydy ∫ (1−y −z)dz +

1 1−z

+∫ zdz∫(1−x −z)dz =

0 0

105

так как плоскость ACO перпендикулярна плоскости Oxy и Oyz и y = 0 .

Интеграл по поверхности треугольника OBC

I n = ∫∫ xzdxdy + ∫∫ xydydz + ∫∫ yzdxdz = 0 ,

OBC OBC OBC

так как плоскость ОВС перпендикулярна плоскостям Oxy и Oyz и y = 0 .

Таким образом, I = 18 .

б) Поскольку сторона поверхности, по которой берется интеграл, обращена в сторону, противоположную оси Oz , то интеграл берется со знаком минус

следует перейти к полярной системе координат

106

в) Разобьем поверхность эллипсоида плоскостью Oxy на верхнюю и нижнюю части, тогда

I = I1 + I 2 ,

где I1 = ∫∫ zdxdy , I1 =−∫∫ zdxdy .

минус перед интегралом, который отражает тот факт, что нижняя поверхность эллипсоида обращена в сторону отрицатель-

Переходя к обобщенным полярным координатам x = aρcosϕ, y = bρcosϕ и учитывая, что якобиан в этом случае равен I 0 = abρ, получим

1.12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов

1°. Масса материальной поверхности S

107

где δ(M ) — поверхностная плотность распределения массы в точке M (x, y, z) поверхности S.

Если проекция D поверхности S , заданной уравнением z = f (x, y), на плоскость Oxy однозначна, то формула (1) принимает вид

Аналогично поверхность S может быть спроектирована и на другие координатные плоскости.

2°. Координаты центра тяжести поверхности

относительно координатных плоскостей.

3°. Моменты инерции поверхности относительно координатных осей

108

4°. Моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей

5°. Силы притяжения масс, распределенных по поверхности. Если по некоторой поверхности S непрерывным образом

распределены массы с заданной в каждой точке M (x, y, z) плотностью δ(x, y, z), то проекции на координатные оси полной силы притяжения, с которой притягивается точка A(xc , yc , zc ) единичной массы поверхностью S , согласно закону всемирного тяготения, равны

6°. Ньютоновский потенциал поля простого слоя, расположенного по поверхности S , с плотностью δ(M ), на точку

A(xc , yc , zc ) единичной массы, определяется по формуле

109

12.1. Найти массу и координаты центра тяжести : а) од-

б) оболочки шара x 2 + y 2 + z 2 = R при z > 0 , если ее поверх-

ностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию оболочки.

Решение. а) В случае однородной оболочки формула (2) примет вид

m = ∫∫ 1+(zx′)2 +(z′y )2 dxdy .

S

Вычисляя производные zx′ и z′y , будем иметь

1+(zx′)2 +(z′y )2 = 1+4(x 2 + y 2 ).

Проекция оболочки на плоскость Oxy есть круг x 2 + y 2 =1. Переходя к полярной системе координат, получим

В силу симметрии xc = yc = 0 . Координату zc находим по последней из формул (3)

110