2539

∂z

= 3x2 −3y = 0,

∂z

= 3y2 −3x = 0.

∂x

∂y

б) grad

u

=

vgradu −ugradv

.

v

2

v

grad (uv)=

∂

(uv)iG+

∂

(uv) Gj +

∂

(uv)kG =

∂x

∂y

∂z

= u

∂v

G

+v

∂u

G

+u

∂v

G

+v

∂u

G

∂v G

∂u

G

dx

i

dx

i

dy

j

dy

j +u

∂z

k +v

dz

k =

= u

∂v

G

dv

G

+

dv

G

∂u

G

∂u

G

+

∂u G

=

i +

dy

j

dz

k

+v

∂x

i +

dy

j

∂z

k

dx

= ugrad v +vgrad u.

б) Аналогично

G

G

G

u

∂

u

∂ u

∂ u

grad

=

i

+

j

+

k =

∂z

v

∂x v

∂y v

v

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

∂v

=

v

∂x

−u

∂x

iG+

v

∂y

−u ∂z

Gj +

v

∂z

−u

∂z

kG =

v2

v2

v2

v

∂u G

+

∂u G

∂u

G

−u

∂v

G

+

∂v

G

+

∂v

G

∂x

i

∂y

j +

∂z

k

∂x

i

∂y

j

∂z

k

=

=

v2

G

G

∂az

∂ay

grad u = 2xi +

2 yj −2zk ,

rot a =

−

,

∂y

∂z

grad v = zi + zjG+(x + y)k .

Из условия ортогональности двух векторов

(grad u,grad v)= 2xz + 2 yz −2z(x + y) = 0 ,

следует ортогональность поверхностей уровня.

2.9. Вычислить grad u,

если u = 1 , где r =

x2 + y2 + z2 .

r

Решение. По определению градиента имеем

grad u =

xiG

+

yjG

+

zk

=

3

3

3

(x2 + y2 + z2 )2

(x2 + y2 + z2 )2

(x2 + y2 + z2 )2

=

xiG+ yjG+ zkG

=

rG

.

3

r

3

(x2 + y2 + z2 )2

странственная), каждая точка M которой характеризуется не-

которой физической векторной величиной aG = aG(M )= aG(rG),

где aG -

векторная функция точки, rG = xi + yjG+ zk - радиус

вектор точки М.

В декартовой системе координат вектор aG

G

G

G

равен a

= axi + ay

j + az k , где ax = ax (x, y, z), ay = ay (x, y, z),

az = az (x, y, z) -

проекции вектора а на координатные оси.

dx = dy = dz .

(1)

ax

ay

az

стационарным, а зависящее от времени – нестационарным.

2°.

Дивергенцией

векторного

поля

aG(M ) = axi + ay Gj + az kG

называется скаляр

∂ay

G

∂ax

∂az

G

div a

=

∂x

+

+ ∂z

≡ a .

(2)

∂y

Дивергенция может быть представлена в виде суммы сле-

дующих скалярных произведений

∂aG

G

G

∂a

G

daG

G

div a = i

∂x

+

j

∂y +k ∂z .

(3)

Если вектор aG характеризует поле скоростей текущей жид-

кости, то абсолютная величина

div a(M0 ) определяет

мощность источника или стока. Так

если

div a(M0 ) > 0 , то

точка

M0 называется источником, т.е. в любой бесконечно

малой

окрестности точки

M0

жидкость

возникает.

Если

div aG(M0 ) < 0 , то точка

M0

называется

стоком, т.

е. в

векторных произведений

∂aG

∂aG

G

G

∂aG

G

G

(5)

rot a

= i ,

+ j,

∂y

+ k ,

∂z

.

∂x

ется потенциальным (безвихревым). В этом случае существует

потенциал

U = f (rG) - скалярная функция,

определяемый из

уравнения

dU = axdx + ay dy + az dz , причем

grad U = aG .

удовлетворяет уравнению Лапласа

∂2U

+

∂2U

+

∂2U

= 0 или

dx2

dy2

dz2

U = 0 и называется

гармонической.

Здесь

-

оператор

Лапласа, равный = 2

=

∂2

+

∂2

+

∂2

.

∂x2

∂y2

∂z2

dx = dy

или dx = − dy .

ax

ay

x

y

Интегрируя, будем иметь ln x = −ln y +ln C; x =

C

, xy = C -

y

семейство гипербол.

б) Составим систему уравнений

dx

=

dy

=

dz

или xdx = ydy,

xdx = xdz.

1/ x

1/ y

1/ z

Интегрируя,

получим:

x2 − y2 = C , x2 − z2 = C

2

.

Таким

1

3.2. Найти дивергенцию векторного поля:

G

= x

2

G

+ xy

2

G

2

k в точке M (−1, 2,1);

а) a

yi

j

+ yz

ax = x2 y, ay = xy2 , az

= yz2 .

По

определению дивергенции (2)

имеем

G

+2xy +2 yz .

Отсюда дивергенция вектора в

div a = 2xy

точке

div aG(M ) = −4 −4 +4 = −4 < 0 , т.

е. точка М является

стоком.

б) По определению дивергенции имеем

G

∂rx

∂ry

∂rz

div r

=

∂x

+

+ ∂z

= 4 yz −2 yz −2 yz = 0 ,

∂y

т.е. в поле вектора

r

нет ни источников, ни стоков.

Данное

векторное поле будет соленоидальным.

3.3.Найти div

aG,b , если aG = xi + yjG+ zk , bG = yiG+ zjG+ xkG.

Решение. Найдем сначала векторное произведение

G

G

iG Gj

kG

2 G

2 G

2

2

=

x y z

= (yx − z )i +(yz − x ) j +(xz − y

)k .

a,b

y

z

x

Отсюда по формуле (2) имеем div

G

= y + z

+ x .

a,b

3.4. Доказать, что: a) div ( fa)= f

div aG+ aG grad f ;

б) div

G

G

G

G

G

G

a,b

= b

rot a

−a rot b .

Решение. а) По определению дивергенции, учитывая, что f

скалярная функция, имеем

G

∂( fax )

∂(fay )

∂( faz )

∂ax

∂ay

∂az

div ( f a)=

+

+

= f

+

+

+

∂x

∂y

∂z

∂x

dy

∂z

∂f

∂f

∂f

G

G

+ax ∂x + ay ∂y

+ az ∂z =

f div a

+ a grad

f .

б) Воспользуемся формулой (3), тогда

G

G

G

∂

G

G

G

∂

G

G

G

∂

G

G

div

a,b

= i

a,b

+ j

a,b

+ k

a,b

=

∂x

∂y

∂z

G

∂aG

G

+

a,

∂bG

G

∂aG

G

+

a,

∂bG

+

= i

,b

+

j

,b

∂x

∂x

∂y

∂y

G

∂aG

G

+

a,

∂bG

+k

,b

.

∂z

∂z

Учитывая свойства смешанного произведения

G

∂aG

G

G

G

∂aG

G

∂b

G

G

G

∂bG

и т.д.,

i

,b = b i ,

;

i

∂x

,b

= −a

i ,

∂x

∂x

3.5. Найти ротор векторных полей а) aG = yzi + xzjG+ xykG;

G

= x

2

G

2 G

2

k .

б) a

yzi + xy

zj + xyz

Решение.

а)

Здесь

ax

= yz, ay

= xz, az

= xy.

Пользуясь

формулой (4) будем иметь

Gj( y − y) + k (z − z) = 0 .

rot aG

= i (x − x)+

б) Здесь

ax

= x2 yz, ay

= xy2 z, az

= xyz2 .

По

формуле (4)

будем иметь

G

G

G

(xz

2

− xy

2

2

y − yz

2

)+ k (y

2

z − x

2

z)=

rot a

= i

)+ j (x

= x (z2 − y2 )iG+ y (x2 − z2 )Gj + z (y2 − x2 )kG.

3.6. Найти:

a)

rot

(aG b )aG ,

если

aG = xi + yjG+ zkG,

bG = iG+ Gj + kG;

б) rot

(rG b )aG, если rG = xi + yjG+ zk ,

b = iG+ Gj + kG,

G

G

G

G

a

= −i + j

−k .

Решение. а) Найдем сначала скалярное произведение век-

G

G

= x + y

+ z. Тогда

торов a

b

G

G

G

G

G

G

(a

b )a = x (x + y + z)i

+ y(x + y + z) j + z(x + y + z)k.

Отсюда по формуле (4) получим

G

G

G

G

G

G

rot (a

b )a

= (z − y)i

+(x − z) j +

(y − x)k .

б) Скалярное произведение равно

rG b = x + y + z . Отсюда

(rG b )aG = −(x + y + z)iG+(x + y + z)

Gj −(x + y + z)kG.

Таким образом, окончательно получим

G

G

G

G

G

G

G

+

G

+

rot (r b )a = (−1−1)i +(−1

1) j +(+1+1)k

= −2i

2k .

3.7. Является ли функция

U = a x2

+a y2 + a z2

+ 2a xy + 2a xz + 2a yz

1

2

3

12

13

23

гармонической?

Решение. Функция U является гармонической, если она

удовлетворяет уравнению

Лапласа

U = 0 . Находя вторые

частные

производные

∂2U

= 2a , ∂2U

= 2a , ∂2U = 2a ,

∂x2

1 ∂y2

2

∂z2

3

получим U = 2(a1 + a2 + a3 ). То есть данная функция будет

гармонической, если выполняется условие a1 +a2 +a3 = 0 .

3.8. Доказать,

что

векторное

поле

вектора

aG =

xi + yjG+ zkG

является гармоническим.

(x2 + y2 + z2 )

3

2

Решение. Векторное поле называется гармоническим, если

оно

является

одновременно

соленоидальным

div aG = 0

и

потенциальным rot a = 0 . Действительно

3

1

(x2 + y2 + z2 )

− x2 3(x2 + y2

+ z2 )

G

=

2

2

div a

(x2 + y2 + z2 )3

+

+ (x2 + y2 + z2 )

3

−3y2 (x2 + y2 + z2 )

1

2

2

+

(x2 + y2 + z2 )3