2539
.pdf
n0 = ± |
gradF |
|
| gradF | |
||
|
У сферы, очевидно, внешняя нормаль в каждой точке совпадает с радиус-вектором этой точки, т.е.
= {x, y, z}
n0 x2 + y 2 + z 2 .
2. Находим скалярное произведение:
(a, n0 ) = P(x, y, z)x +Q(x, y, z) y + R(x, y, z)z = f (x, y, z). x2 + y 2 + z 2
П= ∫∫(a, n0 )dσ = ∫∫ f (x, y, z)dσ.
ΣΣ
3.Согласно формуле (1) поток определяется
поверхностным интегралом:
4. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты
x = ρ cosϕ sin θ,y = ρ sin ϕ sin θ,z = ρ cosθ.
В этих координатах поверхность задаётся условиями
|
|
ρ = r, |
|
|
|
|
≤ϕ ≤ 2π, |
|
|
0 |
|
|
|
|
≤θ ≤π / 2. |
|
|
0 |
|
Поскольку dσ =r2sinθ dϕ dθ и x2+y2=1, имеем |
|||
П = r 2 |
2∫π dϕπ∫/ 2f (r cosϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cosθ) sin θ dθ. |
||
|
0 |
0 |
181 |
|
|
|
|
5.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забывая о размерности.
Пример 4. Найти поток векторного поля
a = xi +( y + z) j +(z − y)k
через часть поверхности x2 + y2 + z2 = 9, вырезаемую плоскостью z=0 (z≥0) (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
Решение. |
|
|
|
1. |
Внешняя нормаль в каждой точке сферы x2 + y2 + z2=9 |
||
совпадает с радиус-вектором, т.е. |
|||
|
n0 |
= {x, y, z} . |
|
|
|
x2 + y 2 + z 2 |
|
2. |
Находим скалярное произведение |
||
|
(a, n0 ) = x2 + y( y + z) + z(z − y) = x2 + y 2 + z 2 . |
||
|
|
x2 |
+ y2 + z 2 |
3. |
Согласно формуле (1) поток определяется |
||
поверхностным интегралом: |
|||
|
П = ∫∫(a, n0 )dσ = ∫∫ x2 + y 2 + z 2 dσ. |
||
|
Σ |
|
Σ |
4. |
Вводим |
на |
заданной поверхности (сфере) |
криволинейные координаты
x = ρ cosϕ sinθ,y = ρ sin ϕ sinθ,z = ρ cosθ.
182
В этих координатах поверхность задаётся условиями
ρ =3,0 ≤ϕ ≤ 2π,
0 ≤θ ≤π / 2.
Поскольку dσ =9sinθ dϕ dθ, имеем Ответ: П = 54π (ед. потока).
3.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
Постановка задачи. Найти поток векторного поля
a = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
через замкнутую поверхность Σ (нормаль внешняя).
План решения. Поток векторного поля через замкнутую поверхность Σ в направлении внешней нормали вычисляется по формуле Остроградского
П = ∫∫∫diva dx dy dz, |
(1) |
Ω |
|
где Ω - область, ограниченная поверхностью Σ, и
diva = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz
– дивергенция векторного поля a .
1.Вычисляем дивергенцию div a .
2.Задаём область Ω неравенствами.
3.Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интеграл Записываем ответ, не забывая о размерности.
Пример 5. Найти поток векторного поля
183
a = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
через замкнутую поверхность Σ, являющуюся полной поверхностью цилиндра x2 + y2 =1, z=0, z=1 (нормаль внешняя).
Решение.
1. Вычисляем дивергенцию векторного поля:
diva = |
∂( y 2 |
+ z 2 ) |
+ |
∂(xy + y 2 ) |
+ |
∂(xz + z) |
= 2x + 2 y +1. |
|
∂x |
∂y |
∂z |
||||||
|
|
|
|
|||||
2. Задаём область Ω неравенствами.
Поверхность Σ, ограничивающая область Ω, состоит из трёх поверхностей и может быть записана в виде
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
z = 0 |
|
|
|
|
z =1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
x 2 + y 2 |
≤1 |
x 2 |
|
≤1 |
||||||
0 ≤ z ≤1 |
|
+ y 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этих условий находим систему неравенств, |
|||||||||||||||
определяющих область Ω: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤1, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ω = (x, y, z) : |
0 ≤ z ≤1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Форма области Ω такова, что удобно перейти к цилиндрическим координатам. Имеем
3. Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интеграл: Переходя к цилиндрическим координатам, получаем
Ответ: П=2π (ед. потока).
184
3.6. Работа силы
Постановка задачи. Найти работу силы
F = P(x, y) i + Q(x, y) j
при перемещении вдоль кривой L от точки M(x1,y1) к точке
N(x2,y2).
План решения.
1. Работа А силового поля равна криволинейному интегралу второго рода по кривой L:
A = ∫(F, d r) = ∫(x − y)dx +dy
LL
2.Вычисляем криволинейный интеграл.
Записываем ответ, не забывая о размерности.
Пример 6. Найти работу силы
F = (x − y)i + j
при перемещении вдоль кривой L: x2 + y2 =4 (y≥0) от точки М(2,0) к точке N(-2,0).
Решение.
1. Работа А силового поля равна криволинейному интегралу второго рода по кривой L:
A = ∫(F, dr ) = ∫(x − y) dx + dy
LL
2.Вычисляем криволинейный интеграл. Для этого:
а) поскольку L – верхняя полуокружность, её параметрические уравнения записываем в виде
x = 2 cos t, |
0 ≤ t ≤π. |
|
|
y = 2 sin t, |
|
Вычисляем dx=-2sintdt и dy=2costdt;
185
б) переходим от криволинейного интеграла к определённому:
A = ∫(x − y)dx + dy = |
π∫[(2 cos t −2 sin t(−2 sin t) + 2 cos t)]dt = 2π. |
L |
0 |
Ответ: А=2π (ед. Работы).
3.7. Циркуляция векторного поля
Постановка задачи. Найти циркуляцию векторного поля
a = P(x, y, z)i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k
вдоль замкнутого контура Г
План решения.
1. По определению циркуляция векторного поля равна криволинейному интегралу второго рода вдоль кривой Г:
A= ∫(a, d r) = ∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.
ГГ
2.Вычисляем криволинейный интеграл, сводя его к определённому:
A = ∫(a, d r) =
Г
t2
=∫[P(x(t), y(t), z(t))x′(t) +
t1
+Q(x(t), y(t), z(t)) y′(t) + R(x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt
Записываем ответ.
186
Пример 7. Найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура Г
Решение.
x = 2 cos t, |
|
|
t [0,2π]. |
y = 2 sin t, |
|
|
|
z =1−2 cos t −2 sin t, |
|
1. По определению циркуляция векторного поля равна криволинейному интегралу второго рода вдоль кривой Г:
A = ∫(a, dr ) = ∫ |
y dx −3xdy + xdz. |
|
||
|
Г |
Г |
3 |
|
2. Вычисляем криволинейный интеграл, сводя его к |
||||
определённому: |
|
|
|
|
A = ∫ y dx −3xdy + xdz = |
|
|||
Г 3 |
|
|
|
|
= |
2∫π (− |
4 sin 2 |
t −16 cos 2 t + 4 sin t cos t)dt =− |
52π . |
|
0 |
3 |
|
3 |
Ответ: А = -52π/3.
3.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
a = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
Постановка задачи. Найти модуль циркуляции векторного полявдоль замкнутого контура Г
F (x, y,z)=0
Г= (x, y, z): F1 (x, y,z)=0 .
2
187
