2539
.pdfD : x2 9 + y2 25 ≤1;
6.3.y ≥ 0;
μ = x2 y.
D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 4;
6.5.y ≥ 0, y ≤ x 2; μ = 8 y x3 .
6.7.D : x2 4 + y2 ≤1;
μ= 4 y4 .
D : x2 9 + y2 25 ≤1;
6.4.y ≥ 0;
μ = 7x2 y 18.
D : x2 9 + y2 ≤1;
6.6.x ≥ 0;
μ = 7xy6 .
D : 1 ≤ x2 4 + y2 9 ≤ 4;
6.8.x ≥ 0, y ≤ 3x 2;
μ = x y.
D : 1 ≤ x2 16 + y2 4 ≤ 4;
6.9.x ≥ 0, y ≤ x 2;
μ = x y.
D : x2 4 + y2 ≤1;
6.11.x ≥ 0, y ≥ 0; μ = 6x3 y3.
6.13. |
D : x2 |
9 + y2 |
4 ≤1; |
μ = x2 y2 . |
|
||
|
|
D : x2 4 + y2 ≤1;
6.15.x ≥ 0, y ≥ 0; μ = 30x3 y7 .
D : x2 + y2 25 ≤1;
6.17.y ≥ 0;
μ = 7x4 y.
D : x2 4 + y2 9 ≤1;
6.10.x ≥ 0, y ≥ 0;
μ = x3 y.
D : 1 ≤ x2 4 + y2 ≤ 25;
6.12.x ≥ 0, y ≤ x 2;
μ = x y3 .
D : x2 16 + y2 ≤1;
6.14.x ≥ 0, y ≥ 0;
μ = 5xy7 .
D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 3;
6.16.y ≥ 0, y ≤ 23 x;
μ = y x.
6.18. x + y = 2, |
x = y, |
z =12x 5, |
z = 0. |
201
6.19. |
D : |
x2 |
4 + y2 9 ≤1; |
|
μ = x2 . |
||
|
|
||
|
D : |
x2 |
9 + y2 ≤1; |
6.21.x ≥ 0;
μ =11xy8 .
D : 1 ≤ x2 + y2 16 ≤ 9;
6.20.y ≥ 0, y ≤ 4x;
μ = y x3 .
6.22. |
x2 |
+ y2 |
= 2, x = y, x = 0, |
|
z = 0, |
z = 30 y. |
|||
|
|
D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 5; |
D : x2 4 + y2 9 ≤1; |
||||
6.23. |
x ≥ 0, |
y ≤ 2x 3; |
6.24. |
x ≥ 0, |
y ≥ 0; |
|
|
μ = x y. |
|
μ = x5 y. |
|||
|
D : x2 4 + y2 25 ≤1; |
D : x2 + y2 |
4 ≤1; |
|||
6.25. |
6.26. |
x ≥ 0, |
y ≥ 0; |
|||
μ = x4 . |
|
|||||
|
|
|
μ =15x5 y3. |
|||
|
|
|
|
|||
|
D : 1 ≤ x2 |
4 + y2 9 ≤ 36; |
= 5 y |
2, x = 5y 6, |
||
6.27. |
x ≥ 0, |
y ≥ 3 x; |
x |
|||
6.28. |
|
5 |
||||
|
|
2 |
z = 0, z = 6 (3 + y ). |
|||
|
μ = 9 x y3 . |
|||||
|
D : x2 16 + y2 ≤1; |
D : 1 ≤ x2 9 + y2 16 ≤ 2; |
||||
6.29. |
x ≥ 0, |
y ≥ 0; |
6.30. |
y ≥ 0, |
y ≤ 4 x; |
|
|
μ =105x3 y9 . |
|
|
3 |
||
|
|
μ = 27 y x5 . |
D : 1 ≤ x2 16 + y2 ≤ 3;
6.31.x ≥ 0, y ≥ x 4;
μ = x y5 .
202
4.1. Задачи по разделу теория поля
Задача 1. Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в
точке M по направлению нормали к поверхности S , образующей острый угол с положительным направлением оси
Oz .
1.1. u = 4 ln |
(3 + x2 |
)− 8xyz, |
S : x2 |
− 2 y2 + 2 z2 |
= 1, |
M (1, 1, 1). |
|||||||||||||||||||||
1.2. u = x |
|
|
y + y |
|
|
z, |
S : |
4z + 2x2 − y2 = 0, |
M (2, 4, 4). |
||||||||||||||||||
1.3. u = −2ln (x2 −5)− 4xyz, |
S : x2 + 2 y2 − 2z2 |
=1, |
M (1, 1, 1). |
||||||||||||||||||||||||
1.4. u = |
1 |
|
x |
2 |
y − |
|
x |
2 |
+5z |
2 |
|
S : z |
2 |
= x |
2 |
+ 4 y |
2 |
|
|
M |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
− 4, |
|
−2, |
|
, 1 . |
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.5. u = xz2 − |
x3 y, |
S : x2 − y2 −3z +12 = 0, |
M (2, 2, 4). |
||||||||||||||||||||||||
1.6. u = x |
|
y − yz2 , |
|
S : x2 + y2 |
= 4z, |
M (2, 1, -1). |
|||||||||||||||||||||
1.7. u =7ln(1 13+ x2 )−4xyz, S : 7x2 −4y2 +4z2 =7, |
|
M (1, 1, 1). |
|||||||||||||||||||||||||
1.8. u = arctg(y x)−8xyz, |
S : x2 + y2 −2z2 =10, |
M (2, 2, -1). |
|||||||||||||||||||||||||
1.9. u = ln |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (1, -2, 4). |
|||||||
|
1 + x2 |
|
− xy |
z , |
S : 4x2 − y2 + z2 |
=16, |
|||||||||||||||||||||
1.10. u = |
|
|
x2 + y2 |
− z, |
S : x2 + y2 = 24z, |
M (3, 4, 1). |
|||||||||||||||||||||
1.11. u = x |
|
y −(z + y) |
|
x, |
S : x2 − y2 + z2 = 4, |
M (1, 1, -2). |
|||||||||||||||||||||
1.12. u = |
|
|
xy − |
|
|
4 − z2 , |
S : z = x2 − y2 , |
M (1, 1, 0). |
|||||||||||||||||||
1.13. u = (x2 + y2 + z2 )3 2 , S : 2x2 − y2 + z2 −1 = 0, |
M (0, -3, 4). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(3, 0, -4). |
||
1.14. u =ln 1+x2 +y2 |
|
− |
x2 |
+z2 , S: x2 −6x+9y2 +z2 =4z+4, |
|
Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке M по направлению вектора l .
203
1.15. |
u = (x2 + y2 + z2 )3 2 , |
1.16. |
u = x + ln (z2 + y2 ), |
||||||||||
l = i − j +k, |
|
l = −2i + j −k, |
|
|
|
|
|||||||
|
M (1, 1, 1). |
|
|
M (2, 1, 1). |
) |
|
|
|
|||||
|
u = x2 y − |
xy + z2 , |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
||
|
1.18. |
u = y ln 1+ x2 |
|
−arctg z, |
|||||||||
1.17. l = 2j − 2k, |
|
l = 2i −3j −2k, |
|
|
|
||||||||
|
M (1, 5, -2). |
|
M (0, 1, 1). |
|
|
|
|
||||||
|
u = x(ln y −arctg z), |
|
u = ln (3 − x2 )+ xy2 z, |
||||||||||
1.19. l = 8i + 4j +8k, |
1.20. l = −i + 2j − 2k, |
|
|
||||||||||
|
M (−2, 1, -1). |
|
M (1, 3, 2). |
|
|
|
|
||||||
|
u = sin (x + 2 y)+ xyz, |
|
u = x2 y2 z −ln (z −1), |
||||||||||
1.21. l = 4i +3j, |
|
1.22. l = 5i −6j + 2 |
|
5k, |
|||||||||
|
M (π 2, 3π 2, 3). |
|
M (1, 1, 2). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u = |
|
x |
|
− |
|
yz |
|
, |
|
|
u = x3 + y2 + z2 , |
|
|
y |
x + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||
1.23. l = j −k, |
|
1.24. l = 2i +k, |
|
|
|
|
|||||||
|
M (1, -3, 4). |
|
M (4, 1, -2). |
|
|
|
|||||||
|
u = xy + |
9 − z2 , |
|
u = 2 |
x + y + y arctg z, |
||||||||
1.25. l = −2i + 2j −k, |
1.26. l = 4i −3k, |
|
|
|
|
||||||||
|
M (1, 1, 0). |
|
M (3, 2, -1). |
|
|
|
|||||||
1.27. |
u = z2 + 2arctg (x − y), |
1.28. |
u = ln (x2 + y2 )+ xyz, |
||||||||||
l = i + 2j − 2k, |
l = i − j +5k, |
|
|
|
|
||||||||
|
M (1, 2, -1). |
|
|
M (1, -1, 2). |
|
|
|
|
204
u = xy − |
x |
u = ln (x + y2 + z2 ), |
|
|
, |
||
z |
|||
1.29. l = 5i + j −k, |
1.30. l = −2i − j +k, |
||
M (−4, 3, -1). |
M (1, -3, 4). |
u= x2 −arctg (y + z),
1.31.l = 3j − 4k,
M (2, 1, 1).
205
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u(x, y , z) |
и υ |
(x, |
y, |
|
z)в точке М . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. υ = |
|
|
x3 |
|
+ 6 y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6z |
3 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
yz2 |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.2. υ = |
4 |
|
|
|
6 |
|
− |
|
|
|
|
|
6 |
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
u |
= x |
2 |
yz |
3 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
9 y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2.3. υ = 9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
4z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
M |
|
|
|
|
|
, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
xy2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2.4. υ = |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
M 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
6z |
|
|
|
|
|
x |
3 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5. υ = |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 y |
|
|
|
+3 |
|
6z |
|
|
, |
|
u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
M 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
2.6. υ = 3 |
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2 |
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y2 |
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3 |
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z |
2 |
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1 |
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2 |
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2x |
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− |
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+3 |
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2z |
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u = |
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, |
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M |
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, |
2, |
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. |
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2 |
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xy2 |
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3 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||
2.7. υ = 6 |
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6x |
3 |
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−6 6 y |
3 |
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+ 2z |
3 |
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u |
= |
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xz |
2 |
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M |
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1 |
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1 |
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, |
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, 1 . |
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|
y |
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6 |
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|
6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||
2.8. υ = |
|
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6 |
− |
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6 |
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+ |
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2 |
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u = |
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yz |
2 |
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M |
|
1 |
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1 |
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|
1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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. |
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2x |
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2 y |
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3z |
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x |
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2 |
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2 |
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3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2.9. υ = 3 |
|
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2x |
2 |
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− |
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y2 |
|
−3 |
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2z |
2 |
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u |
= |
|
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xy2 |
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M |
|
1 |
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2 |
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, |
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, |
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, |
2, |
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. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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2 |
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|
|
|
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z2 |
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3 |
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|
|
|
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||
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3 |
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4 |
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|
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|
1 |
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|
|
|
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|
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|
|
|
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x3 y2 |
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|
1 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
2.10. υ |
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
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, |
|
u |
= |
|
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, |
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M 1, |
2, |
|
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|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
6z |
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|
|
z |
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6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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206
2.11.υ = − 4 x2 +
2.12.υ = 6x + 2y −
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
, u = |
|
|
|
, M |
2, |
9 y |
3z |
x |
2 |
yz |
||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
, |
u = |
|
, M |
2, |
||||
2 |
2z |
y2 z3 |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
3 |
6 |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
||
2, |
|
|
|
. |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
2.13. υ = x |
|
|
+ |
|
9 y |
|
|
|
+ 6z |
|
, |
|
|
|
u = xyz, |
|
M 1, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
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|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2.14. υ = |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
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|
M |
|
|
|
|
, |
|
|
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|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
2 y |
|
4z |
|
|
|
x2 z |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15. υ = 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 |
2z |
|
|
, |
|
|
u = xy |
|
z, |
M 1, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.16. υ = − |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
, u |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
2 y |
|
|
3z |
|
|
yz |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
2.17. υ = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
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|
|
|
|
, |
|
|
u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
M |
2, |
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
2z |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2.18. υ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 z3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
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|
− |
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, |
|
u = |
|
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, |
|
M |
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|
|
, |
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|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
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y |
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6 y |
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2.21. υ = |
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y2 |
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2.22. υ = |
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x |
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y2 z3 |
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2.23. υ = |
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u |
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, |
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M |
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2 |
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2.24. υ = |
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2x |
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− |
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, |
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u = |
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, |
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M |
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, |
2, |
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2 |
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3 |
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2.25. υ = |
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3y2 |
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2 |
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2x |
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− |
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− |
6 |
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2z |
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, |
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u = |
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, |
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M 1, |
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, |
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xy |
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3 .
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3 .
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3 .
2
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6 .
2.26. υ = x |
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+9 y |
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+ 6z |
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M |
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1, |
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xyz |
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2.27. υ = |
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2 |
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3 |
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3 |
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x |
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1 |
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3 |
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− |
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− |
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u |
= |
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M |
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2, |
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. |
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y |
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2z |
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y2 z3 |
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2 |
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2x |
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2 |
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2 |
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2.28. υ = − |
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+ |
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+ |
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yz, |
M |
2, |
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9 y |
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3 |
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2.29. υ = |
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x3 |
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8z3 |
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3 |
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− |
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− |
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u = |
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, |
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M |
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2, |
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2, |
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. |
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2 |
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2 |
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3 |
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x2 |
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2 y |
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2.30. υ = − |
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+ |
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+ |
8 3z3 , |
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u = |
x |
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M |
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, |
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, |
. |
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3 |
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2.31. υ = x |
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− y |
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−3z |
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, |
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u = |
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M |
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yz |
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2 |
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208
Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a . |
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3.1. a = 4 yi −9xj. |
3.2. a = 2 yi +3xj. |
3.3. a = 2xi + 4 yj. |
3.4. a = xi +3yj. |
3.5. a = xi + 4 yj. |
3.6. a = 3xi +6zk. |
3.7. a = 4zi −9xk. |
3.8. a = 2zi +3xk. |
3.9. a = 4 yj +8zk. |
3.10. a = yj +3zk. |
3.11. a = 2xi +8zk. |
3.12. a = xi +3zk. |
3.13. a = 4zj −9 yk. |
3.14. a = 2zj +3yk. |
3.15. a = 5xi +10 yj. |
3.16. a = 2xi +6 yj. |
3.17. a = yj + 4zk. |
3.18. a = xi + yj. |
3.19. a = 9 yi − 4xj. |
3.20. a = 5yi +7xj. |
3.21. a = 6xi +12zk. |
3.22. a = 2 yj +6zk. |
3.23. a = 4xi + yj. |
3.24. a = 9zi −4xk. |
3.25. a = xi + zk. |
3.26. a = 5zi +7xk. |
3.27. a = 7 yj +14zk. |
3.28. a = 2xi +6zk. |
3.29. a = 4xi + zk. |
3.30. a = 5zj +7 yk. |
3.31. a = 9zj − 4 yk. |
|
209
Задача 4. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S , вырезаемую плоскостями P1, P2 (нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными
поверхностями).
a = xi + yj + zk. a = xi + yj − zk.
4.1. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 2.
a= xi + yj + 2zk.
4.3.S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 3.
a= xi + yj + xyzk.
4.5. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 5. a=(x+y)i −(x−y)j+xyzk.
4.7. S: x2 +y2 =1,
P: z =0, P : z=4. |
|
1 |
2 |
a= xi + yj +sin zk.
4.9.S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 5.
Найти поток векторного поля
4.2. S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z = 4.
a= xi + yj + z3k.
4.4.S : x2 + y2 =1,
P1 : z = 0, P2 : z =1.
a=(x−y)i +(x+y)j+z2k.
4.6. S: x2 +y2 =1,
P: z =0, P : z=2. |
|
1 |
2 |
a=(x3 +xy2 )i +(y3 +x2y)j+z2k.
4.8. S: x2 +y2 =1,
P: z=0, P : z=3. |
||
1 |
2 |
+k. |
a = xi + yj |
||
4.10. S : x2 + y2 |
=1, |
P1 : z = 0, P2 : z = 2.
a через часть поверхности S ,
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
4.11. a=(x+xy2)i+(y−yx2)j+(z−3)k, S: x2 +y2 =z2 (z≥0), P: z=1.
4.12. a = yi − xj +k, S : x2 + y2 = z2 (z ≥ 0), P : z = 4.
210