2539

1.4. Вычисление объемов тел

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0 и с боков цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область S (рис. 1.20), равен

V = ∫∫ f (x, y)dxdy .

S

Рис. 1.20

В ряде случаев вычисление объемов цилиндрических тел более сложной формы целесообразнее представлять в виде суммы (разности) объемов нескольких тел.

4.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а) z2 = xy, x = a, x = 0, x = a, y = 0;

б) y = x, y = 2 x, x + z = 3, z = 0;

в) x2 + y2 = 2x, z = ax, z = bx (a > b);

г) x2 + y2 + z2 = R2 , x2 + y2 = Rx (Внутри цилиндра).

31

Решение. а) Тело, объем которого требуется найти, ограничено сверху поверхностью z = xy , с боков плоскостями x = a , y = a . Половина тела показана на рис. 1.21.

Рис. 1.21

Рассматривая это тело как цилиндрическое, его объем по формуле (1) будет

б) Данное тело с боков ограничено цилиндрами y = x и

y = 2 x , сверху плоскостью х + z = 3, снизу плоскостью z = 0

(рис. 1. 22). Поскольку тело цилиндрическое, то для нахождения его объема воспользуемся формулой (1)

32

Рис. 1.24

Рассмотрим четвертую часть тела

Поскольку область интегрирования S полукруг, то целесообразно перейти к полярным координатам. Полярное

уравнение полуокружности при изменении ϕ от 0 до π2 будет

ρ = R cosϕ . Таким образом

34

Решение. а) Тело ограничено двумя пересекающимися цилиндрическими поверхностями. Для нахождения его объема рассмотрим восьмую часть (рис. 1.25). Тогда объем равен

Рис. 1.25

б) Тело ограничено двумя пересекающимися гиперболи-

ческими цилиндрами и плоскостью z = a 2 (рис. 1.26). Для нахождения объема рассмотрим четвертую часть. Проектируя на плоскость Oyz, будем иметь

Рис. 1.26

35

в) Тело представляет трехосный эллипсоид. Найдем объем его восьмой части. Для этого перейдем к обобщенным полярным координатам, положив x = aρ cosϕ, y = bρsinϕ ,

тогда якобиан преобразования будет I = abρ . Объем равен

36

1.5. Приложения двойного интеграла к механике

1°. Масса пластинки, занимающей область S плоскости Оху, определяется по формуле

2°. Статические моменты пластинки относительно координатных осей Ох и Оу вычисляются по формулам

где т - масса пластинки.

3°. Моменты инерции пластинки относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам

S

Момент инерции I0 , равный произведению массы на

квадрат расстояния до полюса, принято называть полярным моментом инерции.

Если пластинка однородна, то в приведенных формулах следует положить δ (x, y)=1.

37

4°. Для однородного цилиндрического тела с образующей, параллельной оси Oz, ограниченного поверхностью z = z(x, у), которая проектируется на плоскость Оху в область S, статические моменты относительно координатных плоскостей определяются по формулам

где m = ∫∫zdxdy - масса цилиндрического тела.

S

5°. Моменты инерции однородного цилиндрического тела относительно координатных плоскостей находятся по формулам

S

5.1.Найти массу пластинки, имеющей форму

прямоугольного треугольника с катетами OA = a и OB = b , если плотность ее в любой точке пропорциональна расстоянию точки от катета ОВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, воспользовавшись уравнением прямой в отрезках на осях

Пользуясь формулой (1), находим, что масса пластинки (рис. 1.27) будет

38

где к - коэффициент пропорциональности.

Рис. 1.27

5.2. Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями: а) у = х2, х = 2, у = 0; б) у2 = х2 - х4 (х

>0); в) ρ = a (1+cosϕ).

Решение. а) Покажем заданную плоскую фигуру на рис. 1.28. Учитывая, что пластинка однородна, находим по формулам (1) ее массу

Рис. 1.28

39

По формулам (2) находим статические моменты относительно координатных осей

Координаты центра тяжести по формулам (3) будут

xc = mmy = 32 , yc = mmx = 65 .

б) При x > 0 данная кривая ограничивает пластинку, симметричную относительно оси Ох (рис. 16.29). В этом случае yc = 0 .

Рис. 1.29

Масса пластинки равна

40