2539
.pdf3.ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ПОЛЯ
3.1.Векторные линии
Постановка задачи. Найти векторные линии векторных полей
a = P(x, y) i +Q(x, y) j, |
или |
a = P ( x, y) i + R ( x, y) |
j , или |
a = P(x, y) i + R(x, y) j, |
|
План решения.
1. Запишем дифференциальные уравнения векторных линий
|
dx |
|
|
= |
dy |
при |
z = C, |
или |
|||
|
P(x, y) |
R(x, y, z) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
= |
|
|
dz |
|
при |
y = C, |
или |
|
P(x, |
y) |
|
R(x, y, z) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dy |
|
= |
|
|
dz |
|
при |
x = C. |
|
|
Q(x, y) |
|
R(x, y, z) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Мы учли, что в первом случае dz = 0, во втором случае dy = 0 и в третьем случае dx = 0, поскольку равна нулю соответствующая координата векторного поля.
2. Решая соответствующие дифференциальные уравнения, получим, что векторные линии (в пространстве) определяются системами уравнений
171
F(x, y) = C1
z = C2
или
F(x, z) = C1
y = C2
или
F( y, z) = C1
x = C2
Пример 1. Найти векторные линии векторного поля
a = 9z j −4 y k
Решение.
1. Так как первая координата поля P(x,y,z) = 0, то dx = 0 и, следовательно, x = C. Поэтому запишем дифференциальное уравнение векторных линий в виде:
dy |
= − |
dz |
, |
при x = C |
|
9z |
4 y |
||||
|
|
|
2. Решая дифференциальное уравнение, получим
9z 2 + 4 y 2 = C1 ,
x = C2 .
Ответ: Векторные линии определяются системой уравнений
9z 2 + 4 y 2 = C1 ,
x = C2 .
172
4.2. Поток векторного поля Постановка задачи. Найти поток векторного поля
a = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
через поверхность Σ , описываемую уравнением F(x,y,z)=0 и некоторыми неравенствами (нормаль образует острый угол с осью OZ).
План решения. По определению поток П векторного поля a через поверхность Σ с полем единичных нормалей no
определяется формулой
П = ∫∫(a, n0 ) dσ. |
(1) |
Σ |
|
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0, определяется формулой
gradF
n0 = ± | gradF | = ±{cosα, cos β, cos γ}.
Учитывая что нормали должны образовывать острый угол с осью OZ т.е. что cosγ>0, выбираем в этой формуле знак плюс или знак минус.
Имеем
n0 = cosα i +cos β j +cos γ k , cos γ > 0.
2. Находим скалярное произведение
(a,n0 )=P(x, y, z)cosα +Q(x, y, z)cos β +R(x, y, z)cosγ = f (x, y, z).
173
3.В силу формулы (1), поток определяется поверхностным интегралом:
П= ∫∫(a, n0 ) dσ = ∫∫ f (x, y, z) dσ.
ΣΣ
4.Переходим от поверхностного интеграла первого рода к
двойному, проецируя Σ на плоскость XOY:
dxdy
П = ∫∫Σ f (x, y, z)dσ = ∫∫D f (x, y, z(x, y)) | cos γ | ,
где D – проекция Σ на плоскость XOY; z(x,y) определяем из уравнения поверхности F(x,y,z)=0.
Замечание. Если уравнение F(x,y,z)=0 не определяет однозначно функцию z=z(x,y), то проецируем Σ на другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можно также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).
5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному. Записываем ответ, не забывая о размерности.
Пример 2. Найти поток векторного поля
a = −x i + 2 y j + z k
через часть плоскости x+2y+3z=1, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).
Решение.
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0, определяется формулой
n0 = ± |
gradF |
|
. |
|
| gradF |
| |
|||
|
|
|||
|
174 |
|
|
В данном случае F(x,y,z)=x+2y+3z-1 и, следовательно,
n0 |
= ± |
{1, 2, 3}. |
|
|
14 |
Учитываем, что нормали должны образовывать острый угол с осью OZ, т.е. что cosγ=±3/√14>0, выбираем в этой формуле знак плюс. Имеем
n0 |
|
1 |
, |
2 |
, |
3 |
|
= |
14 |
14 |
14 |
. |
|||
|
|
|
|
|
2. Находим скалярное произведение:
|
(a, n0 ) = |
1 |
(−x + 4 y +3z)dσ. |
|
|
14 |
|
3. |
Согласно |
|
формуле (1), поток определяется |
поверхностным интегралом: |
|||
|
П = ∫∫ |
|
1 (−x + 4 y +3z)dσ. |
|
Σ |
|
14 |
4. Переходим от поверхностного интеграла к двойному, проецируя Σ на плоскость XOY:
П = ∫∫ |
1 (−x +4 y +3z)dσ = |
|
|
|
|
Σ |
14 |
|
|
|
|
|
= ∫∫ |
1 (−x +4 y +3z) z=(1−x−2 y) / 3 |
dxdy |
| |
, |
|
D |
14 |
| cos γ |
|
|
где D – проекция Σ на плоскость XOY и cosγ=3/√14.
Поверхность Σ определяется условиями
175
|
x |
|
|
Σ = (x, y, z) : |
x |
|
|
|
|
+2 y +3z =1, |
|
|
|
≥ 0, y ≥ |
. |
0, z ≥ 0 |
|
|
|
Её проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих Σ:
Σ = {(x, y, z) : |
z = (1 − x − 2 y) / 3, |
|
|
|
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 } |
|
|||
|
|
x≥0, y≥0 |
|
|
D = (x, y) : |
0 ≤ (1 − x |
|
||
|
|
− 2 y) / 3 |
|
|
.
Отсюда
D=
5.Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:x, y) : 0 ≤ y ≤1/ 20 ≤x ≤1−2 y(
П = ∫∫(−x +4 y +3z) |
|
|
|
dxdy |
|
= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z=(1−x−2 y) / 3 | cosγ |
| |
|
|
|
||||||||
D |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1/ 2 |
|
1−2 y |
|
|||
= |
|
∫∫(1−2x +2 y)dxdy = |
|
∫ dy ∫(1−2x +2 y)dx = |
|
|
. |
||||||
3 |
3 |
18 |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||
Ответ: П = 1/18 ед. потока.
176
3.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
Постановка задачи. Найти поток векторного поля
a = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
через часть поверхности x2+y2=r2 , вырезаемую плоскостями z=0 и z=h (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
План решения. По определению поток П векторного поля a через поверхность Σ с полем единичных нормалей n0
определяется формулой
П = ∫∫(a, n0 )dσ. |
(1) |
Σ |
|
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0, определяется формулой
n0 = ± |
gradF |
. |
|
| gradF | |
|||
|
|
В данном случае F(x,y,z)= x2+ y2 - r2 и, следовательно,
n0 |
= ± {x, y,0} . |
|
x2 + y 2 |
Учитывая, что нормали должны образовывать острый угол с осью OX при x>0, т.е. cosα>0 при x>0, и тупой угол с осью ОХ при x<0, т.е. cosα<0 при x<0, выбираем в этой формуле знак плюс.
2. Находим скалярное произведение
(a, n0 ) = P(x, y, z)x +Q(x, y, z) y = f (x, y, z) x2 + y 2
177
3.Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным интегралом:
П= ∫∫(a, n0 )dσ = ∫∫ f (x, y, z)dσ.
ΣΣ
4.Вводим на заданной поверхности (цилиндре)
криволинейные координаты
x = ρ cosϕ,y = ρ sin ϕ,
z = z.
В этих координатах поверхность задаётся условиями
ρ = r,
0 ≤ϕ ≤ 2π, ,0 ≤ z ≤ h.
Поскольку dσ = rdϕdz, имеем
П = r2∫π dϕ∫h f (r cosϕ, r sin ϕ, z)dz.
00
5.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забывая о размерности.
Пример 3. Найти поток векторного поля
a = x i + y j + z k
через часть поверхности x2 + y2 =1, вырезаемую плоскостями z=0 и z=2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
178
Решение.
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0, определяется формулой
n0 = ± |
gradF |
|
| gradF | |
||
|
В данном случае F(x,y,z) = x2 + y2 –1 и, следовательно,
= ± {x, y,0} n0 x2 + y 2
Учитывая, что нормали должны образовывать острый угол с осью OX при x>0, т.е. cosα>0 при x>0, и тупой угол с осью ОХ при x<0, т.е. cosα<0 при x<0, выбираем в этой формуле знак плюс.
(a, n0 ) = P(x, y, z)x2+Q(2x, y, z) y = x2 + y 2 x + y
2.Находим скалярное произведение
3.Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным интегралом:
П = ∫∫(a, n0 )dσ = ∫∫
x2 + y 2 dσ.
Σ Σ
4. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
x = ρ cosϕ,y = ρ sin ϕ,
z = z.
В этих координатах поверхность задаётся условиями
179
ρ =1,0 ≤ϕ ≤ 2π, ,0 ≤ z ≤ 2.
Поскольку dσ =1 dϕdz и x2+y2=1, имеем
П = 2∫π dϕ∫2 dz.
00
5.Вычисляем повторный интеграл
П= 2∫π dϕ∫2 dz =4π.
0 0
Ответ: П = 4π (ед. потока).
3.4. Поток векторного поля через часть сферы
Постановка задачи. Найти поток векторного поля
a = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
через часть сферы
x2 +y2 +z2 =r2 ,
вырезаемую плоскостью z=0 (z≥0) (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
План решения. По определению поток П векторного поля a через поверхность Σ с полем единичных нормалей n0
определяется формулой
П = ∫∫(a, n0 )dσ. |
(1) |
Σ |
|
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0, определяется формулой
180