2539

Делаем замену

1+4ρ2 = t 2 ,

ρdρ=

1 t dt

и переходим к

4

ρ = 0 ,

t =1; при

новой переменной

интегрирования.

При

ρ =1, t = 5 . Отсюда

5

5

5 +1

1 π

1 π 10 5 2

(

)

4

2

zc =

∫

(t −t

)dt =

+

.

m 8

3

15

=

2(5

5 −1)

m 8

1

б) Поместим начало координат в центре шара, направив

ось z по вертикали.

Перейдем к сферическим координатам

x = R sin θcosϕ,

y = R sin θsin ϕ,

z = R cos θ, где R — радиус

оболочки шара.

Поверхностная плотность в сферических координатах

будет

δ(M )=

x 2 + y 2 = R sin θ,

а

дифференциал

поверхности dS = R 2 sin θdϕdθ.

Отсюда по формуле (1) имеем

2π

π

m = ∫∫ δ(M )dS = R

2

π2 R 3

3

2

∫ dϕ∫ sin

θdθ =

2 .

S

0

0

В

силу

симметрии

xc = yc = 0 .

Координата

zc равна

zc

=

mxy

, где статический момент mxy

будет

m

2π

π

mxy = ∫∫ δ(M )zdS = R

2

2πR 4

4

∫ dϕ∫ sin θcos θdθ =

3 .

S

0

0

Таим образом z

c

=

4R

.

3π

dS =

1+

x 2

+

y 2

dxdy = 2dxdy .

x 2 + y 2

x 2 + y 2

Отсюда

I z

=

2∫∫(x 2 + y 2 )dxdy .

S

Переходя к полярным координатам и учитывая, что об-

ласть интегрирования

D

в плоскости

Oxy есть

круг

x 2 + y 2 = h 2 , будем иметь

2π

h

2

I z = 2

∫

dϕ

∫

ρ3dρ =

πh 4 .

2

0

0

б) Моменты инерции относительно координатных плос-

костей находим по формулам (5). Учитывая, что dS =

2dxdy ,

получим

2 ∫∫ z

2 ∫∫(x

)dxdy = 2 πh

I xy =

2

dxdy =

2

+ y

2

4

,

2

D

D

2π

h

2

I xz

=

2

∫∫

y 2dxdy =

2

∫

sin 2 ϕdϕ

∫

ρ3dρ =

πh 4 ,

4

D

0

0

2π

h

2

I yz

=

2

∫∫

x 2dxdy =

2

∫

cos 2 ϕdϕ

∫

ρ3dρ =

πh 4 .

4

D

0

0

12.3.

Найти притяжение

однородной ρ =1

боковой

поверхности цилиндра

x 2 + y 2 = a 2 точки,

расположенной в

xc = yc = zc

= 0 .

Расстояние

от

произвольной

точки

M

поверхности

цилиндра

до

точки центра

основания

r = a 2 + z 2

. Запишем

уравнение

поверхности

цилиндра в

параметрическом

виде x = a cosϕ ,

y = a sinϕ ,

z = z , тогда

дифференциал поверхности dS = adϕdz .

В силу симметрии проекции силы притяжения Fx

и F

zdS

2π

H

3

Fz = ∫∫

= ∫ dϕ∫(a 2 + z 2 )−

2

zdz =

3

S

(a 2 + z 2 )2

0

0

1

1

= 2πa

−

.

2

2

a

a + H

При нахождении потенциала поверхности на центр

основания воспользуемся формулой (7)

dS

2π

H

dz

W = ∫∫

= a∫ dϕ∫

=

a

2

2

a

2

2

S

+ z

0

0

+ z

=

2πa ln

H +

a 2 + H

2

a

.

кции остается

постоянным.

Вдоль каждой из линий

f (x, y) = C (i =1, 2,...) , где C

- постоянные, скаляр z остается

i

i

изоповерхности имеют вид F(x, y, z) = Ci (i =1, 2,...)

и на

каждой из них скаляр

u остается постоянным.

Если скалярная

функция

точки

задана выражением

u(M ) = u(x1, x2 ,..., xn ) = u(r ) где

r -

радиус-вектор

точки

а)

z =

x2

+ y2

−1 б) z = x − y2

4

z = 0,1, 2 , запишем уравнения соот-

Решение. а) Полагая

ветствующих линий уровня:

x2

+

y2

=1,

x2

+

y2

= 2 ,

x2

+

y2

= 3 .

4

1

4

1

4

1

а) u = x2 + y2 − z ; б) u = x + y + z ; в) u = x2

+ x2

+ x2

+ x2 .

1

2

3

4

Решение. а) Полагая u = 0, ±1, ±2,..., получим уравнения

соответствующих поверхностей уровня:

x2 + y2 = z ,

x2 + y2 = z ±1,

x2 + y2

= z ± 2,...

В декартовой системе

координат

Oxyz

эти

поверхности

du = ∂F cosα + ∂F cos β + ∂F cosγ = NG lG ,

(1)

dl

∂x

∂y

∂z

0

lG;

где

cosα,cos β,cosγ

-

направляющие

косинусы вектора

lG0{cosα, cos β, cosγ} - единичный вектор направления lG ;

G

∂F

,

∂F

,

∂F

N

∂x

∂y

∂z

- нормальный вектор поверхности уровня.

Если точка (x,y,z) перемещается по прямой

x = x0 +l cosα ,

y = y0 +l cos β ,

z = z0 +l cosγ

со

скоростью

dl =1, то скаляр

u = F(x, y, z) изменяется

со

dt

скоростью

v = du = du .

dt

dl

В случае функции двух переменных z = f (x, y) производ-

ная в данном направлении вычисляется по формуле

dz

= ∂f cosα + df sinα ,

(2)

dl

∂x

dy

2°. Градиентом скаляра u = F(x, y, z) называется вектор

grad u =

∂F G

∂F

G

∂F

G

(3)

∂x

i +

∂y

j +

∂z

k ≡ F ,

∂ G

G

∂ G

∂

где =

i

+

j

+

k

- оператор Гамильтона (набла).

∂x

∂y

∂z

du = Пp

grad u ,

dl

l

du

и производная

в направлении градиента имеет наибольшее

значение

dl

du

=

grad u

=

∂F 2

∂F

2

∂F 2

(4)

+

+

.

dl

max

∂x

∂y

∂z

G

G

2.1. Дана функция z = ln(3x

2

+2 y

3

)

и

G

вектор n

= 3i

+ j .

частные производные ∂z =

6x

и

∂z

=

6 y

, а так

3x2 +2 y3

∂y

3x2 +2 y3

∂x

же их значения в точке M :

∂z

= −

6

и

∂z

12

. Отсюда

=

∂x

∂y

M

19

19

M

6 G

12

G

6

G

G

grad z = −

i +

19

j =

(−i

+ 2 j ).

19

19

Для определения производной по направлению вектора nG

найдем направляющие косинусы вектора n

cosα =

3

=

3

,

cos β =

3

.

32 +12

10

10

Отсюда по формуле (1) будем иметь

dz

= −

6 3

+

12 1

= −

6

.

dn

19

19

M

10

10

19

10

ux' (M ) = 2 , u'y (M ) = 2 , uz' (M ) = 2 .

Отсюда производная функции и в направлении вектора lG

в

точке М равна

u' (M ) = 2 cos 60D + 2 cos 60D + 2 cos 45D = 2 + 2. .

l

Градиент функции и в точке М равен grad u = 2i +2 Gj +2kG, а его

длина по формуле (4) будет

grad u

= 4 + 4 + 4 = 2 3.

2.3. Найти наибольшую крутизну поверхности z2 = xy

в

∂F

y

2

∂F

x

2

zx' (M ) = −

∂x

=

=

,

z'y (M )

= −

∂y

=

=

.

∂F

2z

4

∂F

2z

2

M

M

∂z

M

∂z

M

2

G

2

G

Отсюда grad z(M ) =

i +

j

, а его модуль

2

4

grad z(M )

=

2

+

2

=

10

.

16

4

4

cosα =

4

=

4

, cos β =

3

,

cosγ =

12 .

+32 +122

13

42

13

13

Для определения производной функции и в направлении

вектора M1M2 = lG

найдем частные производные

∂u = y + z,

∂u

= x + z,

∂u = x + y,

∂x

∂y

∂z

и их значения в точке M1

ux' (M1 ) = 5, u'y (M1 ) = 4, uz' (M1 ) = 3.

Таким образом, искомая производная равна

du

= 5

4

+4

3

+3 12

= 78 .

dl

13

13

13

13

2.5. С какой наибольшей скоростью может возрастать

функция u = ln(x2 − y2 + z2 )

при переходе

точки M (x, y, z)

∂u

=

2x

,

∂u =

−2 y

,

∂u

=

2z

;

∂x

x2 − y2 + z2

x2 − y2 + z2

∂z

x2

− y2 + z2

∂y

ux' (M0 ) = 2, uy' (M0 ) = −2, uz' (M0 ) = 2,

G

grad u(M0 ) = 2i −2 j

+ 2k.