Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1505

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

34.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5444 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Рис. 15.10. Физическая модель портального манипулятора

обще исключить их можно, обеспечив безударный останов, когда относительная скорость V32 и относительное ускорение a32 звеньев в момент останова равны нулю. Однако это осуществимо только в регулируемом приводе при контурном управлении. Кроме того, при безударном останове в конце хода относительная скорость близка к нулю, а следовательно, время перемещения схвата в требуемое положение значительно возрастает. Компромиссным решением является останов с мягким ударом, при котором относительная скорость в конце хода V32= 0, а ускорение ограничено некоторым допустимым значением a32 < [a].

В механизмах с цикловым управлением режим движения с мягким ударом обеспечивается установкой упоров с демпферами, гасящими кинетическую энергию руки. Расчет демпфера ведется из условия AΣn = 0, которое обеспечивается равенством за цикл движения работы движущей

силы АF	и работы силы сопротивления демпфера АF (рис. 15.9, б):
Д3			с
	AF	= − AF	или FД3 (Р32 − hд ) = −Fc hд.
	Д3	с

В этом выражении неизвестны две величины: сила сопротивления демпфера Fc и перемещение звена при демпфировании hд, одной из них задаются, вторую рассчитывают.

15.2.2. Пример построения динамической модели переходных процессов манипулятора

Модель переходных процессов рассмотрим на примере манипулятора МРЛ-901П.

Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 15.10, на котором обозначены q1, q2, q3 − смещение звеньев манипулятора вследствие деформации; α3 − угол изгиба основания консоли вследствие деформации; m − сосредоточенная масса; l − плечо приложения сосредоточенной массы.

Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень, обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная масса m. Исходными данными для расчета такой модели будут значение подвижной массы m, плечо приложения этой массы l, а

431

также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.

При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение А′ и Б′′соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движение.

Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты q1 , q2 и q3 . Для описания данной

модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

d	∂ T	−	∂	T	= Q j (j = 1,2,…,k),	(15.17)

			∂
dt ∂ q j				q j

где T − кинетическая энергия системы; Q − обобщенная сила; k − количество степеней свободы.

Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:

T =	1	( A11q12 + 2 A12 q1q2 + A22 q22 + 2 A23q2 q3 + A33q32 + 2 A13q1q3 ), (15.18)

2

коэффициенты Aik являются функциями координат q1 , q2 и q3 .

Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где q1 = q2 = q3 = 0 .

Располагая коэффициенты Aik (q1 , q2 , q3 ) по степеням и полагая для упрощения записи Aik (0, 0, 0) = aik = aki , получим:

T = 12 (a11q12 + 2a12 q1q2 + a22 q22 + 2a23q2 q3 + a33q32 + 2a13q1q3 ). (15.19)

Потенциальную энергию Π (q1 , q2 , q3 ) системы определим по формуле:

Π =

(

C q2+

2C q q+

q2+ 2C

q q+

C q2+ 2C q q

, (15.20)

11 1

1 2

33 3

13 1 3 )

∂ 2 П

= С

∂

2 П

; С

∂

2 П

;

∂ q2

∂

q∂

∂

где

∂ 2 П

= С

; С

;

∂ q∂

∂ q2

∂

∂q q

432

При этом учитываем, что в положении равновесия Π (0, 0, 0)= 0

и обобщенные силы также обращаются в нуль.

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы F1 , F2 , …, Fn . Потенциальная энергия в

состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил Fi отклонении от него выражается квадратичной формой вида (15.20).

Элементарная работа всех сил Fs , действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:

				n
	−δΠ +			∑ Fδ s		=rs	0,		(15.21)
				s=1
где δ П– приращение потенциальной энергии;
δΠ =	∂Π	δ	+q	∂Π	δ	+q∂Π	δ		q ;
δΠ =	∂	δ	+q	∂	δ	+q∂Π	δ		q ;
	∂	q	1	∂	q	2	∂	q	3
		1			2			3

δ rs− приращение перемещений,

δ r =	∂ rs δ q+		∂ rsδ	q+	∂	rδs	q .
s	∂ q	1	∂ q	2	∂ q		3
	1		2		3

Приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях δ q1 , δ q2 и δ q3 , получаем три уравнения:

∂Π

∂ q1

∂Π

∂ q2∂Π

∂ q3

= ∑ Fs		∂ rs = Q1* ,
n
s=1	∂	q1
n		∂ rs
= ∑ Fs		∂ rs		= Q2* ,	(15.22)
= ∑ Fs	∂			= Q2* ,	(15.22)
s=1	∂	q
s=1		2
n		∂ rs
= ∑ Fs		∂ rs	= Q3* ,
= ∑ Fs	∂		= Q3* ,
s=1	∂	q3

где Q1* , Q2* и Q3* − обобщенные силы для системы сил F1 , F2 , …, Fn , уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия (q1 = q2 = q3 = 0) . Заменяя в (15.22) производные потенциальной энергии их выражениями соглас-

433

но (15.20), получим систему уравнений, определяющих значение координат q1 , q2 и q3 в положении равновесия:

C11q1 + C12 q2 + C13q3 = Q1* ,
				+ C22 q2			+ C23q3				*	,
C21q1				+ C22 q2			+ C23q3			= Q2		,
C q				+ C q			+ C q			= Q*		,
		31	1		32	2		33	3		3
причем C12 = C21 , C23 = C32 и C13 = C31 .
Решение системы (15.23) имеет вид:
q = α Q + α								Q+ α		Q			,
					*			*			*
		1		11	1		12	2		13	3			,
	q = α Q + α							Q+ α		Q		*		,
					*			*				*
		2		21	1		22	2		23		3		,
q = α Q + α								Q+ α		Q		*		,
					*			*				*
		3		31	1		32	2		33	3

где α – коэффициенты, определяющие податливость звеньев,

(15.23)

(15.24)

		C	22	C	− C2							C C		32	− C C					C C	23	− C C
α	=		22	33	23	;				α	=	13		32	12		33	; α	=	12	23	13		23		;
	11			α							12			α					13		α
	11										12								13
α	=	C C			− C C		33			α	=	C C			− C2			α	=	C C	21	− C C		23			(15.25)
			23	31	21		33	;				11	33		13	;				13	21	11		23	;
					α			;					α			;					α				;
	21				α						22		α						23		α
	21										22								23
α	=	C C − C C							;	α	=	C C − C C					32	; α	=	C C	22	− C2	;
α	=		21	32	31		22		;	α	=	12		31	11		32	; α	=	11	22	12	;
	31				α						32			α					33	α
	31										32								33

α =								1									.
α =	C C C + C C C + C C								C − C C2				− C2	C − C	22	C2	.
	11	22	33	21	32	13	31	22		12	11	23	12	33	22	13

На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения усло-

вимся, что угол α 3 мал, и координаты	массы m запишем так:
q = q1 + q2 + q3 . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
Q* = − (mq + β q) ,	(15.26)

где Q* − обобщенная сила, β − коэффициент сопротивления, пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на

434

ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически − рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.

Сила Q* действует на все звенья манипулятора, следовательно:

Q* = Q* = Q* = Q*.			(15.27)
1	2	3

Коэффициенты Cij в формуле (15.23) будем определять из того, что согласно равенству (15.27) звенья можно рассматривать независимо друг

от друга. Положим, что сначала Q*			действует только по координате q ,
				1
затем только по координате q2		и наконец только по координате q3 , тогда
выражение (15.23) можно переписать:
			*
C11q1 + 0 q2 + 0 q3 = Q* ,				(15.28)
0 q1 + C22 q2 + 0 q3 = Q ,
	0 q + 0 q + C q = Q*.
	1	2	33 3

Таким образом, C12 = C21 = C23 = C32

= C13 = C31 = 0. Используя (15.25),

находим:

;

C11

; α

(15.29)

C22

C33

Коэффициенты α 11 , α 22 и α 33 определяют податливость звеньев ма-

нипулятора по координатам q1 , q2 и q3

соответственно. Выражая подат-

ливость звеньев через их жесткость, запишем:

(15.30)

где C1 , C2 и C3 – жесткости звеньев по координатам q1 , q2

и q3 соответ-

ственно.

Подставляя (15.30), (15.27) и (15.26) в формулы (15.24), получим:

435

		= −	1			(mq + β q);
	q

	1			C1

		= −	1			(mq + β q);
q2							(15.31)

				C2
		= −		1	(mq + β q).
q3

				C3

Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:

q = q1 + q2 + q3 , (15.32) q = q1 + q2 + q3.

В манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу. Чтобы в конечном итоге определить положение массы m, координаты которой q = q1 + q2 + q3 , достаточно сложить уравнения в системе (15.31):

q = −	C1 + C2 + C3			(mq + β q)	(15.33)

	C1C2C3
или
q = −		1	(mq + β q),		(15.34)

		C

где С − суммарная жесткость звеньев манипулятора.

Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.

Преобразуя (15.34), получаем уравнение, описывающее переходный процесс в системе

m	q +	β	q + q = 0.	(15.35)

C C

Уравнение (15.35) легко решается классическим способом при следующих начальных условиях:

q0 = 0 , q0 = v0 ,

(15.36)

где v0 – скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конечную точку.

436

Выражение (15.35) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения

		q(t) = C			*ek1x			+ C*ek2 x ,	(15.37)
		1						2
где C*	и C*	− произвольные постоянные, которые могут быть определе-
1	2
ны из начальных условий при t = 0; k1								и k2 − корни характеристического
уравнения
			m	k 2 +		β	k +1 = 0 .		(15.38)
				k 2 +			k +1 = 0 .		(15.38)
			C			C

Решение уравнения (15.38) будет иметь вид:

−

− 4

k1,2 =

Определим произвольные постоянные C1* и C2* , нений:

q(0)	= C1* + C2* ,
	= k1C1* + k2C2*.
q(0)	= k1C1* + k2C2*.

(15.39)

решая систему урав-

(15.40)

Решение системы (15.40) будет иметь вид:

	*	=	q(0)	− k2 q(0)
C1					,
C1			k1 − k2		,
			k1 − k2		(15.41)
	*	= y(0)		*
C2		= y(0)		− C1 ;

если учесть (15.36), то

C1*

− k2

(15.42)

= −

k1 − k2

Подставляя (15.42) в уравнение (15.37) и учитывая (15.39), имеем:

2 m

−4

q(t) =

−

, (15.43)

− 4

437

β 2

− 4

где −

− реальная часть;

− мнимая часть.

Тогда разделяя реальную и мнимую части в (15.43), получим:

−4

−

e−

− e

q(t) =

(15.44)

− 4

Учитывая, что

eix = cos x + i sin x,

(15.45)

имеем:

−

q(t) =

e 2m cos

−

− 4

−cos

− 4

t + i sin

t −

(15.46)

− 4

t + i sin

t .

Преобразуя выражение (15.46), получим решение уравнения (15.35):

− 4

−

q(t) =

e 2m

sin

(15.47)

− 4

Прологарифмируем выражение (15.47), предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:

438

− 4

ln ∆ =

ln v − ln

−

t ,

(15.48)

где ∆ − допустимая погрешность позиционирования.

Преобразуя (15.48), получим выражение для определения времени переходного процесса:

β 2

− 4

ln v0 − ln ∆ −

tп.п =

(15.49)

Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования β

в моде-

ли используются экспериментально полученные зависимости. В частности, коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.

Таким образом, время переходного процесса для данного типа манипулятора при заданных массе и положении рабочего органа определяется по выражению (15.49), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.

Определение коэффициента демпфирования. Источниками возник-

новения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его свободная консоль.

На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в табл. 15.1 и 15.2.

Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения. Так, при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения η = 0,03778 до максимального η = = 0,0066 (в исследуемых пределах) коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что демпфи-

439

рование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах как на этапе конструирования, так и в процессе его эксплуатации.

Таблица 15.1

Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний рабочего органа манипулятора МРЛ-901П на консоли

Величина	Период		Логарифми-	Коэффици-	Время
смещения	Период	Частота	Логарифми-	Коэффици-	Время
рабочего ор-	колебаний	колебаний	ческий дек-	ент демпфи-	затухания
гана вдоль	рабочего ор-	ω, с–1	ремент за-	рования β,	колебаний
консоли ly,	гана T, с		тухания ν	кг/c	tп.п, с
мм
0	0,057	17,54	0,956	369	0,6

175	0,067	15	0,693	227,55	0,9

350	0,08	12,5	0,446	122,65	1,2

Анализ результатов исследований показывает, что смещение рабочего органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, как и увеличение начального натяжения ремня, вызывает уменьшение коэффициентов демпфирования, что существенно (в 2–3 раза) увеличивает время полного затухания собственных колебаний рабочего органа (см. табл. 15.1 и 15.2) и, как следствие, снижает реальную производительность.

Смещение рабочего органа относительно основания и увеличение натяжения ремня приводят также к уменьшению частоты собственных колебаний манипулятора, что должно учитываться при использовании его в технологических процессах, связанных с резонансными явлениями.

Комплексные исследования демпфирующих свойств манипулятора осуществлялись с целью установления численной зависимости коэффициента демпфирования от величины начального натяжения ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли (табл. 15.3). В качестве функции отклика выбиралась линейная модель. Поверхность отклика представлена на рис. 15.11.

Основные уровни и интервалы варьирования выбирались на основе результатов зондирующих экспериментов, а также исследований жесткости и точностных параметров манипулятора МРЛ-901П.

440

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5444 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202233.6 Mб141497.pdf
#
15.11.202233.7 Mб51499.pdf
#
15.11.2022640.99 Кб1150.pdf
#
15.11.202233.94 Mб21502.pdf
#
15.11.202234.35 Mб01503.pdf
#
15.11.202234.5 Mб261505.pdf
#
15.11.202235.5 Mб41507.pdf
#
15.11.202235.6 Mб11508.pdf
#
15.11.202236.57 Mб71509.pdf
#
15.11.2022643.13 Кб0151.pdf
#
15.11.202238.63 Mб51510.pdf